数学分析-第二型曲线积分

§2第二型曲线积分第二型曲线积分与第一型曲线积分不一样是在有方向曲线上定义积分,这是因为第二型曲线积分物理背景是求变力沿曲线作功,而这类问题显然与曲线方向相关.三、两类曲线积分联络一、第二型曲线积分定义二、第二型曲线积分计算返回第1页一．第二型曲线积分定义在物理中还碰到过另一种类型曲线积分问题.比如一质点受力作用沿平面曲线

从点A移动到点

B,

求力

所作功,见图20-2.第2页为此在曲线内插入个分点一起把有向曲线分成n个有向小曲线段若记小曲线设力在轴方向投影分别为那么弧长为则分割细度为段第3页又设小曲线段在轴上投影分别为

分别为点坐标.记于是力在小曲线段上所作功其中为小曲线段上任一点.因而力

沿曲线所作功近似地等于其中

第4页当细度时,上式右边和式极限就应该是

所求功.这种类型和式极限就是下面所要讨论第二型曲线积分.定义1设函数定义在平面有向可

求长度曲线上.对任一分割它把分

成n个小曲线段第5页其中记个小曲线段弧长

为分割细度又设分点

在每个小曲线段上任取一点若极限存在且与分割T与点取法无关,则称此极限为函数沿有向曲线L上第二型坐标为并记第6页曲线积分,记为或上述积分(1)也可写作或第7页为书写简练起见,(1)式常简写成

或式可写成向量形式若L为封闭有向曲线,则记为若记则(1)

或于是,力沿有向曲线

第8页对质点所作功为若L为空间有向可求长曲线,为定义在L上函数,则可按上述方法类

似地定义沿空间有向曲线L上第二型曲线积分,并记为或简写成第9页当把看作三维向量时,(4)式也可表示成(3)式向量形式.第二型曲线积分与曲线L方向相关.对同一曲线,当方向由A到B改为由B到A时,每一小曲线段方向改变,从而所得也随之改变符号,故

第10页有

而第一型曲线积分被积表示式只是函数与

弧长乘积,它与曲线L方向无关.这是两种类型曲线积分一个主要区分.

类似与第一型曲线积分,第二型曲线积分也有以下一些主要性质:

1．

第11页也存在,且2.若有向曲线由有向曲线首尾衔接而成,都存在,则也存在,且第12页二．第二型曲线积分计算第二型曲线积分也可化为定积分来计算.

设平面曲线其中上含有一阶连续导函数,且

点坐标分别为又设上连续函数,则沿L

第13页第二型曲线积分读者可仿照§1中定理20.1方法分别证实由此便可得公式(6).对于沿封闭曲线L第二型曲线积分(2)计算,可

第14页在L上任意选取一点作为起点,沿L所指定方向前进,最终回到这一点.

例1计算其中L分别沿图20-3中路线:(i)直线段(ii)(iii)(三角形周界).第15页解(i)直线参数方程为故由公式(6)可得(ii)曲线为抛物线

第16页(iii)这里L是一条封闭曲线,故可从A开始,应用上段加即可得到所求之曲线积分.因为沿直线线积分为所以性质2,分别求沿上线积分然后相第17页沿直线线积分为所以沿直线线积分可由(i)及公式(5)得到:第18页例2计算这里L为:

(i)沿抛物线一段(图20-4);

(ii)沿直线(iii)沿封闭曲线解(i)第19页(ii)(iii)在OA一段上,一段上,一段上与(ii)一样是一段.所以第20页(见(ii))沿空间有向曲线第二型曲线积分计算公式也与

(6)式相仿.设空间有向光滑曲线L参量方程为所以第21页起点为终点为则这里要注意曲线方向与积分上下限确实定应该一致.L是螺旋线:例3计算第二型曲线积分第22页上一段(参见图20－5).解由公式(7),第23页例4

求在力作用下,(i)质点由沿螺旋线所作功(图20-5),其中

(ii)质点由A沿直线所作功.解如本节开头所述,在空间曲线L上力F所作功为(i)因为第24页(ii)参量方程因为所以例5设L为球面和平面交线,若面对x轴正向看去,L是沿逆时针方向,求第25页(i)

(ii)(i)由对称性，解

L参数方程为第26页所以，(ii)由对称性，*例6

设G是R2中有界闭域，是上连续

可微函数,是在G上连续函数.第27页则对任意,存在对于任意分割只要必有其中为端点折线.证由有界性,存在使得第28页令由P,Q在G一致连续性,存在

使得就有由在上一致连续性,存在使得第29页就有.任意分割,满足令设为连接与线段,其斜率为设方程为则第30页于是设在到那段曲线为

则

第31页所以第32页注例6告诉我们曲线上积分可用折线上积分来迫近.第33页*三.两类曲线积分联络在要求了曲线方向之后,能够建立它们之间联络.有向光滑曲线,它以弧长s为参数,即使第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不一样物理原型,且有着不一样特征,但在一定条件下,如于是其中l为曲线L全长,且点坐标分别为

第34页曲线L上每一点切线方

向指向弧长增加一方.现以分别表示

切线方向轴正向夹角,则在曲线上

每一点切线方向余弦是上连续函数,则由(6)

式得第35页最终一个等式是依据第一型曲线积分化为定积分公式.注当(9)式左边第二型曲线积分中L改变方向时,积

分值改变符号,对应在(9)式右边第一型曲线积分中,

曲线上各点切线方向指向相反方向(即指向弧

长降低方向).这时夹角分别与原来

第36页夹角相差一个弧度从而都

要变号.所以,一旦方向确定了,公式(9)总是成立.

第37页复习思索题

1.设在光滑曲线L上连续,