函数图像及介绍教案

函数图像及介绍教案一、基本信息1.课题名称：函数图像及介绍2.授课对象：[具体年级]学生3.授课时间：[X]课时4.授课地点：[具体教室]二、教学目标1.知识与技能目标学生能够理解函数图像的概念，知道函数图像是如何直观地表示函数关系的。学会绘制简单函数的图像，如一次函数、二次函数等，并能从图像中获取函数的相关信息，如定义域、值域、单调性、奇偶性等。掌握通过函数表达式来分析和判断函数图像特征的方法，以及根据函数图像来理解和解释函数性质的技巧。2.过程与方法目标通过观察、分析、比较不同函数的图像，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和归纳总结能力。经历绘制函数图像的过程，让学生体会数形结合的数学思想方法，提高学生运用数学方法解决实际问题的能力。在探究函数图像与函数性质之间的关系时，引导学生进行自主探究和合作交流，培养学生的探究精神和团队合作意识。3.情感态度与价值观目标通过欣赏函数图像的美妙和神奇，激发学生对数学的学习兴趣，培养学生对数学美的感受力。在教学过程中，让学生体验成功的喜悦，增强学生学习数学的自信心，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。引导学生认识数学在实际生活中的广泛应用，体会数学的应用价值，培养学生的数学应用意识。三、教学重难点1.教学重点函数图像的概念和绘制方法。从函数图像中获取函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等信息。理解函数图像与函数表达式之间的内在联系，能够根据函数表达式准确地画出函数图像，并根据函数图像分析函数性质。2.教学难点如何引导学生理解函数图像上的点与函数自变量和因变量之间的一一对应关系。对于一些复杂函数，如何通过分析函数表达式的特点来确定函数图像的大致形状和特征。运用函数图像解决实际问题时，如何建立合适的函数模型，并通过图像分析问题、解决问题。四、教学方法1.讲授法：通过简洁明了的语言，向学生传授函数图像的基本概念、绘制方法和相关性质，使学生对本节课的知识有一个初步的了解。2.演示法：利用多媒体教学手段，直观地展示函数图像的绘制过程、函数图像与函数性质之间的关系等，帮助学生更好地理解和掌握抽象的数学知识。3.讨论法：组织学生进行小组讨论，让学生在交流中分享自己的想法和见解，共同探讨函数图像的特点和应用，培养学生的合作学习能力和思维能力。4.探究法：引导学生自主探究函数图像的相关知识，通过观察、分析、实验等活动，让学生自己发现问题、解决问题，培养学生的探究精神和创新能力。五、教学过程（一）导入（5分钟）1.展示生活实例利用多媒体展示一些生活中常见的图像，如心电图、气温变化图、股票走势图等。提问学生：这些图像反映了什么信息？它们与我们所学的函数有什么关系？2.引出课题引导学生观察这些图像，发现它们都是用图形来表示两个变量之间的关系，而函数正是描述两个变量之间对应关系的数学模型。由此引出本节课的课题函数图像及介绍。（二）新课讲授（20分钟）1.函数图像的概念结合刚才展示的生活实例，讲解函数图像的概念：在平面直角坐标系中，对于一个函数$y=f(x)$，如果把自变量$x$和函数值$y$分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标满足$y=f(x)$的点$(x,y)$的集合，叫做函数$y=f(x)$的图像。强调函数图像上的点与函数自变量和因变量之间的一一对应关系，即对于函数定义域内的每一个自变量$x$的值，在函数图像上都有唯一的一个点与之对应；反之，函数图像上的每一个点的坐标$(x,y)$都满足函数表达式$y=f(x)$。2.绘制函数图像的方法以一次函数$y=2x+1$为例，讲解绘制函数图像的一般步骤：列表：选取一些自变量$x$的值，计算出相应的函数值$y$，列出表格。例如，当$x=2$时，$y=2\times(2)+1=3$；当$x=1$时，$y=2\times(1)+1=1$；当$x=0$时，$y=2\times0+1=1$；当$x=1$时，$y=2\times1+1=3$；当$x=2$时，$y=2\times2+1=5$。描点：根据表格中的数据，在平面直角坐标系中描出相应的点。连线：用平滑的曲线将所描出的点依次连接起来，就得到了一次函数$y=2x+1$的图像。强调在绘制函数图像时，要注意自变量的取值范围，尽量选取具有代表性的点，使画出的图像能够准确地反映函数的特征。3.从函数图像中获取信息引导学生观察一次函数$y=2x+1$的图像，思考以下问题：函数的定义域和值域分别是什么？函数的单调性如何？函数图像与坐标轴的交点坐标分别是什么？组织学生进行小组讨论，然后请各小组代表发言，分享小组讨论的结果。教师进行总结和点评，讲解如何从函数图像中获取函数的定义域、值域、单调性、与坐标轴的交点等信息：定义域：函数图像在$x$轴上的投影所覆盖的$x$的取值范围，就是函数的定义域。对于一次函数$y=2x+1$，其定义域为$R$（全体实数）。值域：函数图像在$y$轴上的投影所覆盖的$y$的取值范围，就是函数的值域。对于一次函数$y=2x+1$，其值域也为$R$。单调性：观察函数图像的上升或下降趋势，如果函数图像从左到右上升，则函数单调递增；如果函数图像从左到右下降，则函数单调递减。对于一次函数$y=2x+1$，其图像从左到右上升，所以函数在定义域$R$上单调递增。与坐标轴的交点：函数图像与$x$轴的交点，其纵坐标为$0$；函数图像与$y$轴的交点，其横坐标为$0$。令$y=0$，可得$2x+1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，所以函数$y=2x+1$与$x$轴的交点坐标为$(\frac{1}{2},0)$；令$x=0$，可得$y=1$，所以函数$y=2x+1$与$y$轴的交点坐标为$(0,1)$。（三）案例实操（20分钟）1.布置任务让学生绘制二次函数$y=x^22x3$的图像，并观察图像的特征，分析函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质。2.学生自主绘制学生按照绘制函数图像的一般步骤，自主完成二次函数$y=x^22x3$的图像绘制。教师巡视指导，及时发现学生在绘制过程中出现的问题，并给予帮助和纠正。3.小组讨论组织学生进行小组讨论，交流自己所绘制的函数图像的特征，以及对函数性质的分析结果。每个小组推选一名代表，准备在全班进行发言。4.全班交流各小组代表依次发言，展示本小组的讨论成果。其他小组的学生可以进行提问和补充。教师对各小组的发言进行点评和总结，强调在绘制二次函数图像时需要注意的问题，以及如何准确地从图像中获取函数的性质：二次函数的图像是一条抛物线：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），其图像的开口方向由二次项系数$a$决定。当$a\gt0$时，抛物线开口向上；当$a\lt0$时，抛物线开口向下。在二次函数$y=x^22x3$中，$a=1\gt0$，所以抛物线开口向上。对称轴：二次函数图像的对称轴公式为$x=\frac{b}{2a}$。对于二次函数$y=x^22x3$，$a=1$，$b=2$，所以对称轴为$x=\frac{2}{2\times1}=1$。顶点坐标：将对称轴$x=1$代入函数表达式$y=x^22x3$，可得$y=1^22\times13=4$，所以顶点坐标为$(1,4)$。定义域和值域：二次函数的定义域为$R$。由于抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,4)$，所以函数的值域为$[4,+\infty)$。单调性：在对称轴左侧，函数单调递减；在对称轴右侧，函数单调递增。即当$x\lt1$时，函数单调递减；当$x\gt1$时，函数单调递增。奇偶性：判断一个函数是否为偶函数，需要看$f(x)=f(x)$是否成立；判断一个函数是否为奇函数，需要看$f(x)=f(x)$是否成立。对于二次函数$y=x^22x3$，$f(x)=(x)^22\times(x)3=x^2+2x3$，$f(x)\neqf(x)$且$f(x)\neqf(x)$，所以二次函数$y=x^22x3$既不是奇函数也不是偶函数。（四）成果展示（10分钟）1.展示优秀作品选取部分学生绘制的优秀函数图像作品，通过投影仪展示给全班同学欣赏。对这些优秀作品进行点评，表扬学生的认真态度和创新精神，鼓励其他学生向他们学习。2.学生讲解邀请绘制优秀作品的学生上台，讲解自己绘制函数图像的思路和方法，以及对函数性质的分析过程。让其他学生认真倾听，学习他们的解题技巧和思维方式，同时也可以提出自己的疑问和见解，与讲解的学生进行互动交流。（五）课堂总结（5分钟）1.知识回顾引导学生回顾本节课所学的主要内容，包括函数图像的概念、绘制函数图像的方法、从函数图像中获取函数信息的方法等。让学生用自己的语言总结函数图像与函数表达式之间的关系，以及如何通过函数图像来分析函数的性质。2.强调重点强调本节课的重点知识，如函数图像的绘制步骤、从图像中获取函数定义域、值域、单调性、奇偶性等信息的方法，以及数形结合思想在函数学习中的应用。提醒学生在今后的学习中，要注重运用数形结合的思想方法来解决数学问题，提高自己的数学思维能力。（六）作业布置（5分钟）1.书面作业完成教材上的相关练习题，巩固本节课所学的函数图像及性质的知识。已知函数$f(x)=3x2$，画出其函数图像，并分析函数的定义域、值域、单调性等性质。2.拓展作业思考如何通过函数图像来解决实际问题，例如：某商场以每件$20$元的价格购进一批商品，若每件售价为$x$元，则每天可销售$(30010x)$件。试写出每天的利润$y$（元）与售价$x$（元）之间的函数关系式，并画出函数图像，分析当售价为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少？要求学生将作业答案写在作业本上，下次课进行讲解和讨论。六、教学内容分析函数图像是函数的一种直观表示形式，它能够形象地反映函数的性质和变化规律。通过学习函数图像，学生可以更好地理解函数的概念，掌握函数的性质，提高运用数学知识解决实际问题的能力。本节课的教学内容主要包括函数图像的概念、绘制函数图像的方法以及从函数图像中获取函数信息的方法。在教学过程中，通过具体的函数实例，如一次函数和二次函数，引导学生逐步掌握函数图像的绘制步骤，并学会从图像中分析函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质。同时，注重培养学生的观察能力、逻辑思维能力和归纳总结能力，让学生体会数形结合的数学思想方法。在教学过程中，要注意引导学生理解函数图像上的点与函数自变量和因变量之间的一一对应关系，这是理解函数图像概念的关键。对于绘制函数图像的方法，要让学生通过实际操作，熟练掌握列表、描点、连线等步骤，并且能够根据函数表达式的特点，合理选取自变量的值，使画出的图像准确地反映函数的特征。在分析函数图像与函数性质之间的关系时，要引导学生从多个角度进行观察和思考，培养学生的综合分析能力。七、教学反思1.目标达成通过本节课的教学，大部分学生能够理解函数图像的概念，掌握绘制简单函数图像的方法，并能从图像中获取函数的相关信息，基本达成了教学目标。在教学过程中，通过实例分析、小组讨论、自主探究等活动，学生的观察能力、逻辑思维能力和归纳总结能力得到了一定的锻炼，对数形结合思想方法也有了初步的体会。2.问题分析部分学生在绘制函数图像时，还存在一些问题，如列表时取值不合理、描点不准确、连线不光滑等。这可能是由于学生对函数表达式的理解不够深入，或者是在操作过程中不够细心造成的。在从函数图像中获取信息时，有些学生对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等概念的理解还不够清晰，导致分析不准确。例如，在判断函数的奇偶性时，部分学生没有按照定义进行严格的验证，只是凭直观感觉判断。3.方法效果在教学方法上，采用讲授法、演示法、讨论法和探究法相结合的方式，能够激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。通过多媒体演示函数图像的绘制过程，使抽象的知识变得更加直观形象，有助于学生理解和掌握。小组讨论和自主探究活动的开展，培养了学生的合作学习能力和自主探究能力，但在小组讨论过程中，个别小组存在讨论不深入、参与度不高的情况，需要进一步加强引导和组织。4.学生反馈从学生的课堂反馈来看，大部分学生对函数图像的内容比较感兴趣，认为通过图像能够更直观地理解函数的性质。但也有部分学生反映，本节课的内容有些抽象，理解起来有一定的难度，希望能够增加更多的实例和练习。5.改进措施在今后的教学中，要加强对学生绘制函数图像的指导，通过更多的实例练习，让学生熟练掌握绘制函数图像