2024-2025学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的数乘运算学案新人教A版选修2-1VIP

PAGEPAGE13．1.2空间向量的数乘运算1.驾驭空间向量的数乘运算．2.理解共线向量定理及推论．3.理解共面对量定理及推论．[学生用书P50]1．向量的数乘运算定义与平面对量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍旧是一个向量，称为向量的数乘几何定义λ＞0λa与向量a方向相同λa的长度是a的长度的|λ|倍λ＜0λa与向量a方向相反λ＝0λa＝0，其方向是随意的运算律安排律λ(a＋b)＝λa＋λb结合律λ(μa)＝(λμ)aeq\a\vs4\al()(1)非零向量a与λa(λ≠0)的方向要么相同，要么相反．(2)由于向量a，b可平移到同一个平面内，故a±b，λa，λb，λ(a±b)也都在这个平面内，而平面对量满意数乘运算的安排律，所以空间向量也满意数乘运算的安排律．2．平行(共线)向量与共面对量平行(共线)向量共面对量定义位置关系表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：相互平行或重合平行于同一个平面的向量特征方向相同或相反特例零向量与随意向量共线充要条件对空间随意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb推论对空间随意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满意等式eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta，其中向量a为直线l的方向向量或在直线l上取向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))或对空间随意一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))推断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．()(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面对量．()(3)若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb.()(4)空间中随意三个向量肯定是共面对量．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×已知λ∈R，则下列命题正确的是()A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|aC．|λa|＝|λ||a| D.|λa|＞0答案：C若e1，e2不共线，则下列各组中的两个向量a，b共线的是()A．a＝e1－e2，b＝eq\f(1,2)e1＋eq\f(1,2)e2B．a＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,3)e2，b＝2e1－3e2C．a＝eq\f(1,3)e1－eq\f(1,2)e2，b＝2e1－3e2D．a＝e1＋e2，b＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,2)e2答案：C空间的随意三个向量a，b，3a－2b，它们肯定是()A．共线向量 B．共面对量C．不共面对量 D.既不共线也不共面对量答案：B3a＋2b－eq\f(1,2)(a－4b)＝________．答案：eq\f(5,2)a＋4b探究点1空间向量的数乘运算[学生用书P51]如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).【解】(1)因为P是C1D1的中点，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)因为N是BC的中点，所以eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)因为M是AA1的中点，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋(a＋c＋eq\f(1,2)b)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.1.[变条件]若将本例中“P为C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且eq\f(C1P,PD1)＝eq\f(1,2)”，其他条件不变，如何用a，b，c表示eq\o(AP,\s\up6(→))？解：因为eq\f(C1P,PD1)＝eq\f(1,2)，所以eq\o(C1P,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(C1D1,\s\up6(→)).所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1P,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝a＋eq\f(2,3)b＋c.2．[变条件]本例中若O是B1D1的中点，其他条件不变，如何用a，b，c表示eq\o(AO,\s\up6(→))？解：因为O为B1D1的中点．所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\a\vs4\al()利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合详细图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，奇妙利用中点坐标公式．在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式．(1)eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))；(2)eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))．解：(1)因为G是△BCD的重心，所以|eq\o(GE,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(BE,\s\up6(→))|，所以eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(GE,\s\up6(→)).又因为eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))，所以由向量的加法法则，可知eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).从而eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).(2)如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，则四边形APHQ为平行四边形，且有eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))，而eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))，eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FH,\s\up6(→)).探究点2空间向量的共线问题[学生用书P52]如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝eq\f(1,2)FC1，推断eq\o(ME,\s\up6(→))与eq\o(NF,\s\up6(→))是否共线．【解】由已知可得，eq\o(ME,\s\up6(→))＝eq\o(MD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1A1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(A1A,\s\up6(→))＝－eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(C1C,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FN,\s\up6(→))＝－eq\o(NF,\s\up6(→)).所以eq\o(ME,\s\up6(→))＝－eq\o(NF,\s\up6(→))，故eq\o(ME,\s\up6(→))与eq\o(NF,\s\up6(→))共线．[变条件]在本例中，若M、N分别为AD1，BD的中点，证明eq\o(MN,\s\up6(→))与eq\o(D1C,\s\up6(→))共线．证明：连接AC，则N∈AC且N为AC的中点，所以eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，由已知得eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD1,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D1C,\s\up6(→)).所以eq\o(MN,\s\up6(→))与eq\o(D1C,\s\up6(→))共线．eq\a\vs4\al()(1)推断向量共线的方法推断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb(b≠0)成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a＝λb(b≠0)，从而得出a∥b.(2)证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．①存在实数λ，使eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))成立；②对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)；③对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．1.已知非零向量e1、e2不共线，则使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________．解析：若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,λk＝1.))所以k＝±1.答案：±12.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，F在对角线A1C上，且eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→)).求证：E，F，B三点共线．证明：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.因为eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→))，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up6(→)).所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c.所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(A1F,\s\up6(→))－eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)(a－eq\f(2,3)b－c)．又eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up6(→))，所以E，F，B三点共线．探究点3空间向量的共面问题[学生用书P53]如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面相互垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝eq\f(1,3)BD，AN＝eq\f(1,3)AE.求证：向量eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))共面．【证明】因为M在BD上，且BM＝eq\f(1,3)BD，所以eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).同理eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→)).所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→)).又eq\o(CD,\s\up6(→))与eq\o(DE,\s\up6(→))不共线，依据向量共面的充要条件可知eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))共面．eq\a\vs4\al()证明空间三向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．已知非零向量e1，e2不共线，假如eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，求证：A，B，C，D四点共面．证明：令eq\o(AB,\s\up6(→))＝xeq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，则e1＋e2＝x(2e1＋8e2)＋y(3e1－3e2)＝(2x＋3y)e1＋(8x－3y)e2.因为e1和e2不共线，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝1，,8x－3y＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,5)，,y＝\f(1,5).))所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以A，B，C，D四点共面．1．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则()A．a∥e1B．a∥e2C．a与e1、e2共面D．以上三种状况均有可能解析：选C.假设a与e1共线，则a＝ke1，所以a＝λe1＋μe2可变为(k－λ)e1＝μe2，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线相冲突，故假设不成立，则A不正确，同理B不正确，则D也错误．2．在平行六面体ABCD­EFGH中，若eq\o(AG,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))－2yeq\o(BC,\s\up6(→))＋3zeq\o(DH,\s\up6(→))，则x＋y＋z等于()A.eq\f(7,6) B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,6) D.eq\f(3,4)解析：选C.由于eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DH,\s\up6(→))，比照已知式子可得x＝1，－2y＝1，3z＝1，故x＝1，y＝－eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,3)，从而x＋y＋z＝eq\f(5,6).3．有下列命题：①若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点共线；②若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线；③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋eq\f(1,4)e2，则a∥b；其中真命题是________(把全部真命题的序号都填上)．解析：依据共线向量的定义，知若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①是假命题；若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))有公共点A，则A，B，C三点共线，所以②是真命题；由于a＝4e1－e2＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－e1＋\f(1,4)e2))＝－4b，所以a∥b，故③是真命题．答案：②③4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是上底面A1C1的中心，化简下列向量表达式，并在图中标出化简后的向量．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))；(2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).解：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→)).(2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(D1C1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→)).向量eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))如图所示．

[学生用书P54]学问结构深化拓展两个定理的再相识(1)直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．(2)证明(或推断)三点A，B，C共线时，只需证明存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))(或eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→)))即可；也可用“对空间随意一点O，有eq\o(OC,\s\up6(→))＝teq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－t)eq\o(OB,\s\up6(→))”来证明三点共线．(3)共面对量的充要条件给出了平面的向量表示式，说明空间中随意一个平面都可以由两个不共线的平面对量表示出来．(4)空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对(x，y)，使eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).满意这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满意这个关系式.[学生用书P129(单独成册)][A基础达标]1．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))等于()A.eq\o(AG,\s\up6(→)) B.eq\o(CG,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))解析：选A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×(2eq\o(BG,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→)).2．设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R，且λa＋μb＝0，则()A．λ＝μ＝0 B．a＝b＝0C．λ＝0，b＝0 D.μ＝0，a＝0解析：选A.因为a，b不共线，所以a，b均为非零向量，又因为λa＋μb＝0，所以λ＝μ＝0.3．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则肯定共线的三点是()A．A、B、D B．A、B、CC．B、C、D D.A、C、D解析：选A.因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b.eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→))，由于eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))有一个公共点B，所以A、B、D三点共线．4．在下列条件中，使M与A，B，C肯定共面的是()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0C.eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))解析：选C.因为eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，所以M与A，B，C必共面．5．给出下列命题：①若A，B，C，D是空间随意四点，则有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；③若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD；④对空间随意一点O与不共线的三点A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．其中不正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C.明显①正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②错误；若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则直线AB，CD可能重合，故③错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故④错误．故选C.6．化简：eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5(eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(2,3)c)－3(a－2b＋c)＝________．解析：原式＝(eq\f(1,2)＋5×eq\f(2,3)－3)a＋(eq\f(1,2)×2－5×eq\f(1,2)＋3×2)b＋(－3×eq\f(1,2)＋5×eq\f(2,3)－3)c＝eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c.答案：eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c7．在三棱锥A­BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则化简eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))的结果为________．解析：如图，延长DE交边BC于点F，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，故eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.答案：08．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λeq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))＝0，那么λ＋m＋n的值为________．解析：因为A，B，C三点共线，所以存在惟一实数k使eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝k(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以(k－1)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－keq\o(OC,\s\up6(→))＝0.又λeq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))＝0，令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，则λ＋m＋n＝0.答案：09.如图，设O为▱ABCD所在平面外随意一点，E为OC的中点，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))，求x，y的值．解：因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(3,2).10．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面．证明：令eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝a，eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝b，eq\o(D1D,\s\up6(→))＝c.因为M，N，P，Q均为棱的中点，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a，eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1P,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)c，eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\o(MD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))＋eq\o(C1Q,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c.令eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→))＋μeq\o(MP,\s\up6(→))，则－eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c＝eq\f(1,2)(μ－λ)a＋eq\f(1,2)λb＋eq\f(1,2)μc，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（μ－λ）＝－\f(1,2)，,\f(1,2)λ＝1，,\f(1,2)μ＝\f(1,2).))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝1.))所以eq\o(MQ,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))，所以向量eq\o(MQ,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(MP,\s\up6(→))共面，所以M，N，P，Q四点共面．[B实力提升]11．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))，则()A．O，A，B，C四点共面B．P，A，B，C四点共面C．O，P，B，C四点共面D．O，P，A，B，C五点共面解析：选B.由6eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝2(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋3(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))，故eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))共面，又它们有公共点P，因此，P，A，B，C四点共面．12．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外随意一点，若由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB