2024高中数学第一章计数原理1.4简单计数问题精练含解析北师大版选修2-3

PAGE5-§4简洁计数问题A组1.设集合A={0,2,4},B={1,3,5},分别从A,B中任取2个元素组成无重复数字的四位数,其中能被5整除的数共有()A.24个 B.48个 C.64个 D.116个解析:只含0不含5的有:=12;(2)只含5不含0的有:=12;(3)含有0和5的有:①当0在个位时,有=24;②当5在个位时,有=16.共有12+12+24+16=64个.答案:C2.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144 B.120 C.72 D.24解析:先把3把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把3人带椅子插放在4个位置,共有=24种放法,故选D.答案:D3.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有()A.24对 B.30对 C.48对 D.60对答案:C4.将A,B,C,D,E排成一列,要求A,B,C在排列中依次为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻),这样的排列数有 ()A.12种 B.20种 C.40种 D.60种解析:(排序肯定用除法)五个元素没有限制全排列数为,由于要求A,B,C的次序肯定(按A,B,C或C,B,A),故除以这三个元素的全排列再乘以2,可得×2=40.答案:C5.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法种数为()A.24 B.28 C.36 D.48解析:穿红色衣服的人相邻的排法有=48种,同理穿黄色衣服的人相邻的排法也有48种.而红色、黄色同时相邻的有=24种.故穿相同颜色衣服的不相邻的排法有-2×48+24=48种.答案:D6.某校打算参与2024年中学数学联赛,把10个选手名额安排到高三年级的8个教学班,每班至少一个名额,则不同的安排方案共有种.

解析:原问题等价于把10个相同的小球放入8个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将10个小球排成一排,从中间9个间隙中选出7个截成8段(有=36种截法),对应放到8个盒子里,有36种放法.因此,不同的安排方案共有36种.答案:367.(2024·山东潍坊高二检测)张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园,为平安起见,首尾肯定要排两位爸爸,另外,两个小孩肯定要排在一起,则这6人的入园依次排法种数为.(用数字作答)

解析:第一步:将两位爸爸排在两端有2种排法;其次步:将两个小孩视作一人与两位妈妈随意排在中间的三个位置上有种排法;第三步:将两个小孩排序有2种排法.故总的排法有2×2×=24(种).答案:248.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券安排给4个人,每人2张,不同的获奖状况有种(用数字作答).

解析:不同的获奖状况分为两种,一是一人获两张奖券一人获一张奖券,共有=36种;二是有三人各获得一张奖券,共有=24种.因此不同的获奖状况有36+24=60种.答案:609.导学号43944014某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种不合格商品.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种不合格商品必需在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一种不合格商品不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(5)至多有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?解(1)从余下的34种商品中,选取2种,有=561(种),故某一种不合格商品必需在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中,选取3种,有种或者=5984(种).故某一种不合格商品不能在内的不同取法有5984种.(3)从20种合格商品中选取1件,从15种不合格商品中选取2件有=2100(种).故恰有2种不合格商品在内的不同的取法有2100种.(4)选取2件不合格商品有种,选取3件不合格商品有种,共有选取方式=2100+455=2555(种).故至少有2种不合格商品在内的不同的取法有2555种.(5)随意选取3件的总数有种,因此共有选取方式=6545-455=6090(种).故至多有2种不合格商品在内的不同的取法有6090种.B组1.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144 B.120 C.72 D.24解析:插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可.故排法种数为=24.故选D.答案:D2.(2024·广东惠州市统考)任取三个互不相等的正整数,其和小于100,则由这三个数构成的不同的等差数列共有()A.528个 B.1056个 C.1584个 D.4851个解析:先确定等差数列的中间项,再确定第一、三项.设这三个成等差数列的数分别为a,b,c.由题意得a+b+c≤100,即3b≤100,得b可以取2,3,…,33,共32个数.第一类,b=2时,a,c的取值共有2个(a=1,c=3和a=3,c=1,对应的是两个数列);其次类,b=3时,a,c的取值共有4个;…第三十二类,b=33时,a,c的取值共有64个.依据分类加法计数原理,可得满意题意的数列共有2+4+…+64=1056个.答案:B3.(2024·江西南昌高三联考)将6名报名参与运动会的同学分别支配到跳绳、接力、投篮三项竞赛中(假设这些竞赛都不设人数上限),每人只参与一项,则共有x种不同的方案,若每项竞赛至少要支配一人时,则共有y种不同的方案,其中x+y的值为()A.1269 B.1206 C.1719 D.756解析:依题意得x=36=729,当每项竞赛至少要支配一人时,先分组,有=90种,再排列,有=6种,所以y=90×6=540,因此x+y=1269,故选A.答案:A4.数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列,设第一行的数为N1,其中N2,N3分别表示其次、三行中的最大数,则满意N1<N2<N3的全部排列的个数是.

解析:(元素优先法)由题意知6必在第三行,支配6有=3种方法,第三行中剩下的两个空位支配数字有=20种方法,在留下的三个数字中,必有一个最大数,把这个最大数支配在其次行,有=2种方法,剩下的两个数字有=2种排法,按分步乘法计数原理,全部排列的个数是=240.答案:2405.(2024·浙江宁波效实中学第一学期)对一个各边长不相等的凸五边形的各边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边染相同的颜色,则不同的染色方法共有种.

解析:不妨假设AB边染黄色,BC边染红色,①若CD边染黄色,则DE边染蓝色,AE边染红色,或DE边染红色,AE边染蓝色,共2种状况;②若CD边染蓝色,则DE边染红色,AE边染蓝色,或DE边染黄色,AE边染红色或DE边染黄色,AE边染蓝色,共3种状况,依据对称性,不同的染色方案共有(2+3)×3×2=30种.答案:306.从一架钢琴挑出的十个音键中,分别选择3个,4个,5个,…,10个同时按下,可发出和声,若有一个音键不同,则发出不同的和声,则这样的不同的和声数为(用数字作答).

解析:可发出和声的状况共分以下8类:当选择3个音键时,有种状况;当选择4个音键时,有种状况;……当选择10个音键时,有种状况.所以不同的和声数为+…+=968.答案:9687.导学号43944015把7个完全相同的小球放置在三个盒子中,允许有的盒子一个也不放.(1)假如三个盒子完全相同,有多少种放置方法?(2)假如三个盒子各不相同,有多少种放置方法?解(1)因为小球完全相同,三个盒子也完全相同,所以把7个小球分成三份,比如分成3个、2个、2个这样三份放入三个盒子中,无论哪一份小球放入哪一个盒子,均是同一种放置方法,因此,只需将7个小球分成如下三份:(7,0,0),(6,1,0),(5,2,0),(5,1,1),(4,3,0),(4,2,1),(3,3,1),(3,2,2)即可.所以共有8种不同的放置方法.(2)设三个盒子中小球的个数分别为x1,x2,x3,明显有x1+x2+x3=7,于是,问题就转化为求这个不定方程的非负整数解的组数问题,令yi=xi+1(i=1,2,3),得y1+y2+y3=10,问题又成为求不定方程y1+y2+y3=10的正整数解的组数的问题,把10个小球排成一排,在10个小球中间的9个空中,任取两个空插入“隔板”,即可将10个球分成三组,故不定方程的解有=36组.故有36种放置方法.8.导学号43944016已知平面α∥β,在α内有4个点,在β内有6个点.(1)过这10个点中的3点作一平面,最多可作多少个不同平面