《逻辑学基础教程》课件-6第六章 复合命题及其推理（下）

第六章

复合命题及其推理（下）第一节负命题及其等值推理一、负命题及其逻辑形式负命题直言命题的否定命题复合命题简单命题否定的对象是某个命题否定主项表示的事物具有谓项所表示的性质负命题：否定某个命题的命题。【例】“所有金属都是固体”是不合乎事实的。注意：负命题与直言命题否定命题不同：负命题的结构：否定支＋否定词支命题：称为否定支，就是被它否定的那个命题否定支只有一个，可以用p、q、r等表示否定支可以是简单命题，也可以是复合命题命题联结词：称为“否定词”，记为符号“～”对应的自然语词：“并非”、“……是假的”、“……不合乎事实”用p表示否定支，负命题的逻辑形式：～p（读为“并非p”），称为“否定式”，表示“并非p”、“p是假的”二、负命题的逻辑性质及其真值表负命题与其支命题之间是“既不可同真、又不可同假”的矛盾关系。若否定支真，则相应的负命题假；若否定支假，则其相应的负命题真。据此，否定词“～”可定义为：～p真当且仅当p假负命题的真值表：p～pTFFT三、负命题推理的有效式（一）直言命题的负命题及其等值推理

～SAPSOP

～SEPSIP

～SIPSEP

～SOPSAP（二）复合命题的负命题及其等值推理1.联言命题的负命题及其等值推理以联言命题为支命题的负命题。【例】“这个超市卖的商品物美价廉”并不合乎事实。等值形式：～(p∧q)

～p∨～q【例】“这个超市卖的商品物美价廉”并不合乎事实，因此这个超市卖的商品或者物不美，或者价不廉。2.相容选言命题的负命题及其等值推理以相容选言命题为支命题的负命题。【例】“商品滞销的原因或者是价格高，或者是质量次”是假的。等值形式：～(p∨q)

～p∧～q【例】“商品滞销的原因或者是价格高，或者是质量次”是假的，这意味着，商品滞销的原因既不是价格高，也不是质量次。3.不相容选言命题的负命题及其等值推理以不相容选言命题为支命题的负命题。【例】并非“这件事要么是小张做的，要么是小王做的”。等值形式：～(p∨q)

(～p∧～q)∨(p∧q)【例】并非“这件事要么是小张做的，要么是小王做的”，这就是说，这件事情是小张和小李一起做的，或者既不是小张也不是小李做的。

4.充分条件假言命题的负命题及其等值推理以充分条件假言命题为支命题的负命题。【例】医学界并不认为“如果一个人患了SARS，他就会死亡”是个真命题。等值形式：～(p→q)

p∧～q【例】医学界并不认为“如果一个人患了SARS，他就会死亡”是个真命题，所以，一个人即使患了SARS，也不一定会死。5.必要条件假言命题的负命题以必要条件假言命题为支命题的负命题。【例】并非“只有天下雨，地才会湿”。等值形式：～(p←q)

～p∧q【例】并非“只有天下雨，地才会湿”，也就是说，即使天没有下雨，地也会湿。6.充分必要条件假言命题的负命题及其等值推理以充分必要条件假言命题为支命题的负命题。等值形式：～(p

q)

(p∧～q)∨(～p∧q)7、负命题的负命题以负命题为支命题的负命题。等值形式：～(～p)

p第二节复合命题推理的推广形式一、纯假言推理纯假言推理就是前提和结论均为假言命题的一种复合命题推理。（一）直接的纯假言推理（假言易位推理）直接的纯假言推理，就是只有一个假言前提的纯假言推理，它是根据假言命题的逻辑性质，通过改变其前件和后件的位置而进行的一种推理。又称易位推理。【例】只要患肺炎，就会发热；因此，如果不发热，就没有患肺炎。

常见的假言易位推理的有效式：(p→q)→(~q→~p)(p←q)→(~p→~q)(p←q)→(q→p)根据充分条件和必要条件可以互相转换的逻辑性质，上述三种有效式均为等值推理，故又可将其表述为：(p→q)

(~q→~p)(p←q)

(~p→~q)(p←q)

(q→p)（二）间接的纯假言推理（假言连锁推理）间接的纯假言推理也称为假言连锁推理，是前提和结论都为假言命题的纯假言推理。1.充分条件的假言连锁推理充分条件的假言连锁推理的前提都是充分条件假言命题，位置在后的假言前提的前件是前一假言前提的后件。其有效推理形式有2种：①肯定式(p→q)∧(q→r)→(p→r)【例】如果乱砍滥伐，就会破坏生态平衡；如果破坏生态平衡，就会收到大自然的惩罚；所以，如果乱砍滥伐，就会收到大自然的惩罚。②否定式（假言归谬推理）(p→q)∧(q→r)→(~r→~p)【例】名不正则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中；则民无所措手足。因此，若欲使民手足有措，则应正名。此例的完整推理形式为：(p→q)∧(q→r)∧(r→s)∧(s→m)→(m→n)→(~n→~p)2.必要条件的假言连锁推理必要条件的假言连锁推理的前提都是必要条件假言命题，结论是必要条件假言命题，推理的逻辑依据是必要条件假言命题的逻辑性质。其有效推理形式有2种：①肯定式(p←q)∧(q←r)→(r→p)【例】学校只有建立必要的规章制度，才会有良好的教学秩序；只有具备良好的教学秩序，才能搞好教学工作；所以如果要搞好教学工作，就要建立必要的规章制度。②否定式(p←q)∧(q←r)→(~p→~r)【例】只有打破平均主义，才能真正实行按劳分配；只有真正实行按劳分配，才能调动员工的积极性。所以，如果不打破平均主义，就不能调动员工的积极性。二、二难推理（一）二难推理及其有效式二难推理是由假言命题（充分条件的）和选言命题（相容的或不相容的）构成的一种复合命题推理，通常又称为假言选言推理。【例】如果你来参加婚礼，那么你是贪吃；如果你不来参加婚礼，那么你是怕花钱；你或者来参加婚礼，或者不来参加婚礼；所以，你或者是贪吃，或者是怕花钱。根据二难推理的结论是简单命题或简单命题的否定，还是复合的选言命题，二难推理分为简单式和复杂式；根据二难推理结论的得出是运用了充分条件假言推理的肯定式（肯定前件到肯定后件）还是否定式（否定后件到否定前件），二难推理分为构成式和破坏式。两者结合，二难推理有四种形式：简单构成式；简单破坏式复杂构成式；复杂破坏式1.简单构成式简单构成式的两个假言前提的后件相同、前件各不相同，选言前提断定不同的前件至少有一个是真的；根据充分条件假言推理“肯定前件就要肯定后件”的规则，在结论中都应当肯定假言前提那个相同的后件。推理形式：(p→r)∧(q→r)∧(p∨q)→r

【例】如果上帝能造出自己搬不动的石头，那么上帝不是万能的；如果上帝不能造出自己搬不动的石头，那么上帝也不是万能的；上帝或者造出自己搬不动的是头，或者不能造出自己搬不动的石头；总之，上帝不是万能的。2.简单破坏式简单破坏式的两个假言前提的前件相同、后件不同，选言前提断定不同的后件至少有一个是假的；根据充分条件假言推理“否定后件就要否定前件”的规则，在结论中应当否定假言前提那个相同的前件。推理形式：(p→q)∧(p→r)∧(~q∨～r)→~p

【例】如果张XX是一名优秀共产党员，那么他就应该自觉遵守党纪党规；如果张XX是一名优秀共产党员，那么他就应该全心全意服务群众；经过仔细调查并听取各方面的意见，发现张XX或者没有自觉遵守党纪党规，或者没有全心全意服务群众，所以，张XX不是一名优秀共产党员。3.复杂构成式复杂构成式的两个假言前提的前后件各不相同，选言前提断定不同的前件至少有一个是真的；根据充分条件假言推理“肯定前件就要肯定后件”的规则，在结论中应当断定假言前提那个不同的后件至少有一个为真。。推理形式：(p→r)∧(q→s)∧(p∨q)

→(

r∨s)

【例】如果小王是明知谣言还故意传播，那么他就是别有用心；如果小王是轻信谣言而四处传播，那么他就是愚昧无知；小王或者是明知谣言还故意传播，或者是轻信谣言而四处传播；所以，小王或者是别有用心，或者是愚昧无知。4.复杂破坏式复杂破坏式的两个假言前提的前后件各不相同，选言前提断定不同的后件至少有一个是假的；根据充分条件假言推理“否定后件就要否定前件”的规则，在结论中应当断定假言前提那个不同的前件至少有一个为假。推理形式：(p→r)∧(q→s)∧(～r∨～s)→(～p∨～q)

【例】如果你的矛是最锋利的，那么它就会刺破你的盾；如果你的盾是最坚固的，那么它就能挡住你的矛；或者你的矛不能刺破你的盾，或者你的盾挡不住你的矛；所以，或者你的矛不是最锋利的，或者你的盾不是最坚固的。（二）驳斥二难推理的主要方法1.指出其推理的前提不真实：指出其假言前提不真（即前件不是后件的充分条件），或其选言前提不真（即其选言肢不穷尽）2.指出其推理形式无效：违反假言推理或选言推理的规则3.构造一个与之针锋相对的二难推理三、假言联言推理假言连言推理：以两个（或两个以上）充分条件假言命题和一个联言命题（其连言支数目与假言前提的数目相同）为前提，推出一个联言命题作为结论的复合命题推理。两种有效式：肯定式和否定式1.肯定式其联言前提肯定两个（或两个以上）充分条件假言前提的前件，从而在结论中肯定两个（或两个以上）充分条件假言前提的后件。【例】如果一个数的末尾数字为5，那么它就能被5整除；如果一个数的各位数字之和是3的倍数，那么它就能被3整除；有个数的末位数字为5，并且各位数字之和是3的倍数，所以，这个数既能被5整除，又能被3整除。推理形式：(p→q)∧(r→s)∧(p∧r)→(q∧s)2.否定式其联言前提否定两个（或两个以上）充分条件假言前提的后件，从而在结论中否定两个（或两个以上）充分条件假言前提的后件。【例】如果琴声来自琴，则匣中之琴应有声音；如果琴声来自手指，则不弹琴的手指应有声音；但是匣中之琴没有发出声音，不弹琴的手指也没有发出声音；所以，琴声既非仅来自琴，也非仅来自手指。推理形式：(p→q)∧(r→s)∧(~q∧~s)→(~p∧~r)三、反三段论反三段论，是以一个表述三段论的充分条件假言命题为前提，而推出一个将[该三段论的前提之一和结论加以否定并互换其位置而形成的充分条件假言命题]作为结论的复合命题推理。推理形式：(p∧q→r)→(p∧~r→~q)(p∧q→r)→(q∧~r→~p)【例】如果一个演绎推理的前提真实且形式有效，则其结论必然为真；所以，如果该推理的前提真实但结论为假，则该推理的形式必然无效。【例】如果一个演绎推理的前提真实且形式有效，则其结论必然为真；所以如果该推理的形式有效但结论为假，则该推理的前提中必然有假命题。第三节命题逻辑的现代形式命题逻辑：以命题作为基本逻辑单位的逻辑推理。词项逻辑：将概念或词项作为基本逻辑单位的逻辑理论。一、多重复合命题和自然语言的

符号化将以自然语言为载体的多重复合命题符号化：①用p、q、r、s等命题变项符号分别表示各个简单命题。②按自然语言中多重复合命题的逻辑含义确定其中各个成分命题的先后配置次序。【例】如果今天下雨，那么出门上班就必须穿雨衣或者打雨伞，并且还得穿雨鞋。如果用p、q、r、s分别表示“今天下雨”“出门上班必须穿雨衣”“出门上班必须打雨伞”“出门上班穿雨鞋”，则此例可写作：蕴含式：p→((q∨r)∧s)其含义为“如果p，则（q或者r）并且s”合取式：(p→(q∨r))∧s其含义为“（如果p，则q或者r），并且s”二、命题的永真式、永假式和协调式真值函数：函数与自变元的值均为真值的函数。根据不同命题形式所表示的不同的真值函数，所有的命题形式可分为三大类：永真式、永假式和协调式。我们可以用真值表来刻画一个命题形式的真值函数。如果一个命题形式中命题变项的个数为n，那么该命题形式的真值函数就有2个。2n若用“f()”代表真值函数，那么只有一个命题变项p的真值函数的个数可以列表如下：其中f1(p)到f4(p)四个真值函数都可以用命题形式来表示：f1(p)是恒取真值的函数，表示它的命题形式可以是p∨~p也可以是p→pf2(p)的特点在于当p真时它真，当p假时它假，故它对应的命题形式就是pf3(p)则相反，它时对P的否定，可以表示为~pf4(p)恒取假值，它所对应的命题形式有p∧~p，~(p∨~p)，和~（p→p),等。pf1(p)f2(p)f3(p)f4(p)TTTFFFTFTF由于真值函数在取值上有恒真、恒假和有真有假之分，因此表示真值函数的命题形式亦可相应地分成永真式、永假式和协调式三种。1.永真式：就是表示取值恒真的真值函数的命题形式，又称重言式。定义：一命题形式是永真式，当且仅当不论其命题变项取何值，命题形式的值恒为真。2.永假式：是表示取值恒假的真值函数的命题形式，又称矛盾式。定义：一命题形式是矛盾式，当且仅当不论其命题变项取何值，命题形式的值恒为假。3.协调式：表示取值有真有假的真值函数的命题形式，或者说，既非永真式又非永假式的命题形式。定义：一命题形式是协调的，当且仅当不论其命题变项取何值，命题形式的值有真有假。三、命题形式的判定方法1.真值表判定方法真值表判定方法的程序：（1）找出待判定的命题形式中的所有（不同的）命题变项，列举出这些命题变项的各种取值组合。（2）从左到右、由简而繁地列举出该命题形式的各个组成部分，最后一列为该待判定的命题形式本身。（3）根据五个命题联结词的真值表，计算出命题形式各个组成部分的真值，最后得出该

命题形式的真值。例如：用真值表方法判断

(p∨q)∧~p→q和(p→q)∧~p→~q是否为永真式pq～p～qp∨qp→q(p∨q)∧~p(p→q)∧~p(p∨q)∧~p→q(p→q)∧~p→~qTTFFTTFFTTTFFTTFFFTTFTTFTTTTTFFFTTFTFTTT(p∨q)∧~p→q的取值全为真，可判定该命题形式是永真式(p→q)∧~p→~q的取值有一假，可判定它不是永真式熟练运用真值表pqp∧q

p∨qp∨qp→qp←qp

q～pTTTTFTTTTFFTTFTFFFTFTTTFFTFFFFFTTT用真值表判断不同的命题形式是否等值：

例：用真值表方法判定p→q、～p∨q和～（p∧～q）是否等值pq～p～qp∧~q

p→q～p∨q～（p∧～q）TTFFFTTTTFFTTFFFFTTFFTTTFFTTFTTT由上述真值表可知，p→q、～p∨q和～（p∧～q）的命题变项的真假组合相同的情况下，这三个命题本身的真值也相同，故三者是等值的。2.归谬赋值法基于普通真值表设计，主要用于判定蕴涵式及可以转化为蕴涵式的合取及析取式是否为永真式。逻辑依据：归谬法则。要证明命题形式A成立，首先假设A不成立，即假定~A成立；如果从~A合乎逻辑，导出形如p∧～p的逻辑矛盾，那么可断定~A不成立；由于~~A与A等值，故由否定~A就可得A，即A得证。步骤：（1）假设待判定得命题形式A→B不是永真式，即A→B取值为F；（2）从上述假设出发，由蕴涵得真值表可知A的取值应为T，B的取值应为F；（3）由（2）出发，根据各种命题联结词的真值表，依次对A和B的各个部分赋予相应的值，直到所有的命题变项被赋予了确定的真值为止；（4）检查所有命题变项的真值，若出现了赋值矛盾，根据归谬原则，（1）的假设就不成立，于是可判定A→B是永真式；若在赋值过程中始终没有矛盾，则表明（1）的假设可以成立，可判定A→B不是永真式。例题解析：充分条件假言推理肯定前件式有效（（p→q）∧～q）→～p1、

F2、

TTTF3、

FF

FT

例题解析1：

（p∧q→r）→(p→~q∨r)1.

F2.TF

3.

TF4.

FF5.

T6.

TFTF

例题解析2：（p→q）∧~p→

q∧～p1.

F2.

TF3.TT4.F5.

FTF6

F

F

若每一种赋值都导致矛盾，就可判断这是一个永真式；只要有一种可能的赋值不导致矛盾，就说明这不是永真式。下列情况会产生多种可能的赋值：（1）当合取式A∧B取值为F时，有三种可能的赋值情况：①A取值为T，B取值为F；②A取值为F，而B取值为T；③A和B均取值为F。（2）当析取式A∨B取值为T时，有三种可能的赋值情况：①A和B均取值为T；②A取值为T，而B取值为F；③A取值为F，而B取值为T。（3）当蕴涵式A

→B取值为T时，有三种可能的赋值情况：①A和B均取值为T；②A取值为F，而B取值为T；③A和B均取值为F。（4）当等值式AB取值为T时，有三种可能的赋值情况：①A和B均取值为T；②A和B均取值为F。（4）当等值式AB取值为T时，有两种可能的赋值情况：①A和B均取值为T；②A和B均取值为F。（5）当等值式AB取值为F时，有两种可能的赋值情况：①A取值为T，B取值为F；②A取值为F，B取值为T。例题解析3：（p∧r）∨(q∧r)→(p∨q)∧r1.TFF2.

FFFFTF矛盾3.FFTFFTFFFT矛盾4.FFFFFFFFFF矛盾

出现赋值矛盾，判断为永真式

用归谬赋值法判定等值：现将等值式转化为两个蕴涵式，若两个蕴涵式都是永真式，则原等值式为永真式。例题解析4：判定（p

→q）∧

(p→r)

(p

→

q∨r)是否为永真式。（1）（p→q）∧

(p→r)