北师大版 第07讲 代数式 （6个知识点+7种题型+过关检测）（原卷版）

第07讲代数式（6个知识点+7种题型+过关检测）知识点1．代数式代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈．②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等．知识点2．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．知识点3．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．知识点4．整式（1）概念：单项式和多项式统称为整式．他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．（2）规律方法总结：①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．知识点5．单项式（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．（2）单项式的系数、次数单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．知识点6．多项式 （1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．题型一、代数式的概念及意义1．（七年级上·江苏盐城·期中）如果苹果的售价为元．则代数式表示的实际意义是．2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．属于代数式的有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个3．（2024七年级上·河北·专题练习）指出下列各代数式的意义：(1)；(2)；(3)；(4)题型二、单项式的系数、次数4．（24-25七年级上·全国·单元测试）单项式的次数是．5．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列关于单项式的说法正确的是（

）A．系数是，次数是4 B．系数是，次数是3C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是36．（2024七年级上·全国·专题练习）若是关于x，y的五次单项式且系数为最小的正整数，试求m，n的值．题型三、单项式规律题7．（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）一组按规律排列的式子，，，，…按照上述规律，它的第n个式子（且n为整数）是（

）A． B．C． D．8．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列单项式：，，，，，…，根据这个规律，第10个式子应为．9．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察下列关于的单项式：，，，，(1)直接写出第个单项式：___________；(2)第个单项式的系数和次数分别是多少？(3)系数的绝对值为的单项式的次数是多少？题型四、多项式的判断10．（24-25七年级上·全国·课后作业）可以看作几个单项式的的代数式叫作多项式．11．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的是（

）A．0不是单项式B．一定小于0C．最大的负有理数是D．是二次三项式12．（23-24七年级上·北京西城·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“7倍系数多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“7倍系数和”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“7倍系数多项式”，它的“7倍系数和”为28．请根据这个定义解答下列问题：(1)在下列多项式中，属于“7倍系数多项式”的是；（在横线上填写序号）①；②；③．(2)若多项式是关于x、y的“7倍系数多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x、y的“7倍系数多项式”吗?若是，请说明理由；若不是，请举出反例．题型五、整式的判断13．（23-24七年级上·全国·单元测试）观察下列各式：，，，，，，其中整式有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个14．（24-25七年级上·全国·课后作业）在式子中，整式共有个．15．（22-23七年级上·山东滨州·期末）简答题：在人教版七年级上册第二章《整式的加减》中，我们主要研究了整式的加法和减法，请类比数的运算，你认为我们在以后的学习中还会研究整式的什么运算？并举例说明（只列式,至少举出三个）。题型六、数字类规律探索16．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）已知整数，满足下列条件：，…，依次类推，则的值为（

）A．2024 B． C． D．101217．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）找规律：，，，，…则第15个数是．18．（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）若对于任意数a，b均满足．(1)计算：；(2)正方形与正方形的边长均为正整数，则它们的面积之差是否可能是2020，若存在，请列出所有的可能性；若不存在，请说明理由．题型七、图形类规律探索19．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2024个图案中的“”的个数是（

）A．6075 B．6074 C．6073 D．607220．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）如图所示的图案是我国古代窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第6个图中所贴剪纸“○”的个数为．21．（24-25七年级上·全国·课后作业）在数学活动中，小明在边长为1的正方形中设计了如图①所示的图形．(1)根据这个图形，可以直接写出______；(2)请你在图②中再设计一个能表示的图形．一、单选题1．在下列各整式中，次数为5的是（

）A． B． C． D．2．单项式的系数是（）A． B．3 C． D．13．下面各式中，符合书写要求的是（

）A． B． C． D．4．下列式子：0，，，，中，单项式的个数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是（

）A．6074 B．6072 C．6070 D．60686．观察一列单项式：，，，，，⋯，则第n个单项式是（）A． B．C． D．7．观察下面倒“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（

）A．2020 B．2021 C．4040 D．40398．观察下列等式：71=7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649…由此可判断7100的个位数字是(

)A．7 B．9 C．3 D．19．正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为2，则翻转2023次后，数轴上表示2023的点是（

）A．点C B．点D C．点A D．点B10．如图所示的是一组有规律的图案，它们都是由边长为1的正方形和三角形组成的，其中正方形涂有阴影．依此规律，第个图案中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．二、填空题11．单项式的系数是．12．把多项式按的升幂排列为．13．单项式的次数是．14．将多项式按字母x的降幂排列为．15．有一组单项式：，，，，……则第2023个单项式是．16．若，，，，…，则．17．研究算式，找出规律：请你将找出的规律用含正整数的公式表示出来．18．对于实数，规定，例如，，那么计算的结果是；三、解答题20．如图，这是一列用若干根火柴棒提成的由正方形组成的图案．(1)填写下表：正方形个数123456火柴棒根数471013(2)某同学用若干根火柴棒按同样的方式摆图案，摆完了第1个后，摆第2个，接着摆第3个，第4个，…，当他摆完第20个图案时剩下了19根火柴棒，若要摆完第21个图案，则要添加多少根火柴棒？21．甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超出200元，超出部分按原价的八折优惠；在乙超市累计购物超出100元，超出部分按原价的八五折优惠．已知某顾客累计购物元．(1)请用含x的代数式分别表示该顾客在两家超市购物所付的费用；(2)当该顾客累计购物300元时在哪个超市购物合算？22．观察下列等式：；；…（1）根据上述各式反映的规律填空，使下列式子满足以上规律：①___；②____2—____2；（2）设这类等式左边第一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，a、b均为大于0而小于等于9的整数，且，请用a、b写出表示一般规律的式子，并证明所得式子．23．我国个人所得税征收2019年1月1日起的实施标准：个人月收入在5000元以下不征收税；超过5000元部分按表征税．全月纳税所得额（超出5000元部分）税率不超过3000元部分超过3000元至12000元部分超过12000元至25000元部分……(1)王老师四月份的月收入是6100元，他应缴纳多少元所得税？(2)在企业担任中层领导的张叔叔四月份缴纳了290元的个人所得税，张叔叔四月份税前收入是多少元？24．七年级新学期，两摞规格相同准备发放的数学课本整齐地叠放在课桌面上，小英对其高度进行了测量，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题：(1)每本数学课本的厚度是cm；(2)若课本数为（本），整齐叠放在桌面上的数学课本顶部距离地面的高度的整式为（用含的整式表示）；(3)现课桌面上有48本此规格的数学课本，整齐叠放成一摞，若从中取出13本，求余下的数学课本距离地面的高度．25．2024年1月日历排列如图所示，用“X”形的方式任意框五个数．(1)若框住的5个数中，正中间的一个数为10，则这5个数的和为________；(2)用式子表示“X”形框内五个数的和．(3)“X”形框能否框住这样的5个数，使得它们的和等于120?若能，求出正中间的数；若不能，请说明理由．26．观