专题04 一次函数-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（人教版）

八年级数学下学期·期末复习大串讲专题04一次函数（6考点+3专题突破+5易错）人教版01020403目

录易错易混题型剖析考点透视押题预测六大常考点：知识梳理+针对训练三大专题突破（4图象与实际问题+2面积问题+3动态问题）五大易错易混经典例题+针对训练精选3道期末真题对应考点练图象法一、三二、四增大减小一、三、四二、三、四上加下减知识结构知识梳理知识点一：函数自变量的取值范围1.自变量的取值范围(1)定义：使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围.(2)确定自变量取值范围的方法：其一，要使函数关系式有意义；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义.(3)不同类型的函数自变量取值范围的确定类型特征举例取值范围整式型等式右边是关于自变量的整式y＝2x2＋3x－1全体实数分式型等式右边是关于自变量的分式使分母不为0的实数根式型偶次根式型等式右边是关于自变量的开偶次方的式子使根号下的式子为大于或等于0的数奇次根式型等式右边是关于自变量的开奇次方的式子全体实数1.函数的图象一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．通过图象可以数形结合地研究函数知识点二：函数的图象拓展：函数图象上的任意一点的坐标(x，y)中的x，y均满足函数解析式；满足函数解析式的任意一对x，y的值，所对应的点一定在这个函数的图象上.2.描点法画函数图象的一般步骤步骤描述注意列表表中给出一些自变量的值及其对应的函数值根据自变量的取值范围取值时，要从小到大或自中间向两边选取，并且取值要有代表性，以便全面地反映函数图象的全貌描点在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点描点时取点越多，图象就越准确连线按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来连线时用光滑的曲线，不要出现明显的拐弯点函数字母系数取值（k>0）图象经过的象限函数性质y＝kx+b(k≠0)b>0y随x增大而增大b=0b<0第一、三象限

第一、二、三象限

第一、三、四象限

知识点三：一次函数的图象与性质函数字母系数取值（k<0）图象经过的象限函数性质y＝kx+b(k≠0)b>0y随x增大而减小b＝0b<0第一、二、四象限

第二、四象限

第二、三、四象限

求一次函数解析式的一般步骤：（1）先设出函数解析式；（2）根据条件列关于待定系数的方程（组）；（3）解方程（组）求出解析式中未知的系数；（4）把求出的系数代入设的解析式，从而具体写出这个解析式.这种求解析式的方法叫待定系数法.知识点四：用待定系数法求一次函数的解析式

求ax+b=0(a，b是常数，a≠0)的解．

x为何值时，函数y=ax+b的值为0？

从“数”的角度看求ax+b=0(a,b是常数，a≠0)的解．

求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标．

从“形”的角度看(1)一次函数与一元一次方程知识点五：一次函数与方程、不等式解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0)．

x为何值时，函数

y=ax+b的值大于0？

解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0)．

求直线y=ax+b在x轴上方的部分（射线）所对应的横坐标的取值范围．

从“数”的角度看从“形”的角度看(2)一次函数与一元一次不等式

一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．(3)一次函数与二元一次方程组方程组的解

对应两条直线交点的坐标.建立模型：认真分析实际问题中的数量关系，找出其中的常量与变量，设出变量，根据已知条件建立一次函数关系式。确定定义域：根据实际问题的背景，确定自变量的取值范围，即函数的定义域。求解问题：利用一次函数的性质和相关数学知识，对建立的函数模型进行求解，得出结果。检验答案：将求得的结果代入原问题中进行检验，看是否符合实际意义，若不符合，则需要重新检查解题过程。知识点六：一次函数的应用

x≥1且x≠2

B针对训练A B C D知识点2：函数的图象3．

如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h与注水时间t的大致图象是(

)

CC

DA

B4．

匀速地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的(

)

AA．

10min时，水温升至100℃B．

加热0~10min时，水温随加热时间的增大而增大C．

加热10min后，水的温度不再变化D．

加热0~10min时，水的温度平均每分钟上升10℃5．

(跨学科融合)嘉琪同学对水进行加热，并记录了水的温度T(℃)随加热时间t(min)变化的大致图象如图所示．下列说法错误的是(

)

D6．

周末小王骑电动车从家出发去商店买东西，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往商场．如图，表示他离家的距离y(km)与所用的时间x(min)之间关系的图象．请根据图中提供的信息回答下列问题：(1)小王在新华书店停留了多长时间？(2)小王距离商场多少千米时返回书店的？返回书店的速度是多少？(3)小王在哪段路上骑行的速度最快？最快速度是多少？解：(1)30－20＝10(min)．∴小王在新华书店停留了10

min．(2)6.25－6＝0.25(km)，(6－4)÷(20－15)＝0.4(km/min)．∴小王距离商场0.25

km时返回书店的，返回书店的速度是0.4

km/min．(3)小王在买到书后前往商场的速度最快，最快速度是(6.25－4)÷(35－30)＝0.45(km/min)．知识点3：一次函数的图象与性质7．

一次函数y＝(k－3)x＋2的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是(

)A．

k＞0 B．

k＜0 C．

k＞3 D．

k＜3

D

C9．

已知直线y＝2x＋1是某一直线向上平移3个单位长度所得到的，则该直线的表达式为(

)A．

y＝2x－2 B．

y＝2x＋4C．

y＝2x＋7 D．

y＝2x－5

ADCA B 10．

一次函数y＝ax＋b与正比例函数y＝abx(a，b为常数，且ab≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(

)

CC DA B 11．

若kb＜0，b－k＞0，函数y＝kx＋b与y＝bx＋k在同一坐标系中的图象是(

)

D12．

(2024·镇江)点A(1，y1)，B(2，y2)在一次函数y＝3x＋1的图象上，则y1

y2．(填“＞”“＜”或“＝”)

＜知识点4：待定系数法求函数关系式13．

已知一次函数的图象经过点(－3，7)和点(2，－3)．(1)求一次函数的解析式；(2)求该函数图象与x轴的交点坐标．

14．

若y与x－3成正比例，且x＝5时，y＝－4，试求出y与x的函数表达式．

解：由题意可设y＝k(x－3)(k≠0)．把x＝5，y＝－4代入上式，得－4＝(5－3)k．解得k＝－2．∴y＝－2(x－3)＝－2x＋6．∴y与x的函数表达式为y＝－2x＋6．

15．

如图，直线y＝kx＋b(k＞0)与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝3，OB＝4．(1)求直线AB的解析式；(2)若C是第一象限内的直线AB上一点，当△AOC的面积为6时，求点C的坐标．

知识点5：一次函数与方程、不等式16．

如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象与x轴，y轴分别交于点(2，0)，点(0，3)，关于x的方程kx＋b＝0的解是(

)A．

x＝2 B．

x＝3 C．

x＝0 D．

不确定

A17．

一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，点A(－1，4)在该函数的图象上，则不等式kx＋b＞4的解集为(

)A．

x≥－1 B．

x＜－1 C．

x≤－1 D．

x＞－1

B

(3)请直接写出关于x的不等式x＋1≥mx＋n的解集．

知识点6：一次函数的应用20．

某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠．设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需的费用为y1元；选择乙旅行社时，所需的费用为y2元．(1)请分别写出y1，y2与x之间的关系式；(2)该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？解：(1)由题意，得y1＝200×75%×x＝150x(10≤x≤25)，y2＝200×80%(x－1)＝160x－160(10≤x≤25)．(2)当150x＝160x－160时，解得x＝16．∴当x＝16时，两家旅行社费用一样；当150x＜160x－160时，解得x＞16．∴当16＜x≤25时，甲旅行社费用较少；当150x＞160x－160时，解得x＜16．∴当10≤x＜16时，乙旅行社费用较少．综上所述，当人数为16人时，两家旅行社费用一样；当人数在10≤x＜16范围内时，选择乙旅行社旅支付的游费用较少；当人数在16＜x≤25范围内时，选择甲旅行社支付的旅游费用较少．21．

端午节前夕，某大型超市采购了一批礼盒进行销售，这批礼盒有A型和B型两种共600个，其进价与标价如下表：型号进价标价A型90元120元B型50元60元(1)该超市将A型礼盒按标价的九折销售，B型礼盒按标价进行销售，当销售完这批礼盒后可获利9200元，求该商场购进A型、B型这两种礼盒各多少个；(2)这批礼盒销售完毕后，该超市计划再次按原进价购进A、B两种礼盒共200个，且均按标价进行销售，请问如何进货能保证这批礼盒销售完之后获得利润最大，且利润不能超过成本的25%．

(2)设该商场购进A型礼盒a个，则购进B型礼盒(200－a)个．由题意，得(120－90)a＋(60－50)(200－a)≤［90a＋50(200－a)］×25%．解得a≤50．∵每个A型礼盒的利润比B型礼盒的利润高，∴当a＝50时，利润最大．此时200－50＝150(个)．答：该商场购进A型礼盒50个，B型礼盒150个时，能保证这批礼盒销售完之后获得利润最大，且利润不能超过成本的25%．22．

(2024·黑龙江)甲、乙两货车分别从相距225km的A，B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：(1)到达配货站之前，甲货车的速度是

km/h，乙货车的速度是________

km/h；

(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y与行驶时间x之间的函数解析式；(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．

40

30

函数图象与实际问题

专项突破一类型一

由实物图形判断函数图象

DA.

B.

C.

D.

类型二

由实际情况的描述判断函数图象

AA.

B.

C.

D.

CA.

B.

C.

D.

BA.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

√类型三

由函数图象描述实际问题

BA.

B.

C.

D.

DA.

B.

C.

D.

BA.

B.

C.

D.

类型四

从函数图象中获取信息

D

√

A

一次函数与面积问题专项突破二类型一

直接利用面积公式求面积

（1）求这两个函数的解析式；

类型二

已知图形面积求点的坐标

一次函数的动态问题

专项突破三类型一

一次函数与动点

A

类型二

一次函数与动直线

D

类型三

一次函数与几何变换

A

A

易混易错

解：由题意，得m2－3＝1且m－2≠0．解得m＝±2且m≠2．∴m＝－2．

错解分析：由于问题中没有给出y随x的变化怎样变化，所以应该考虑到有可能y随x的增大而增大，也有可能y随x的增大而减小，本题的出错原因正是没有全面考虑到这一点而漏解出错．

【针对训练】

(创新题)定义：对于一个函数，当它的自变量x与函数值y满足m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是在［m，n］范围内的“标准函数”．例如：函数y＝－x＋4，当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以函数y＝－x＋4是在［1，3］范围内的“标准函数”．(1)正比例函数y＝x是在［1，2024］范围内的“标准函数”吗？并说明理由；解：对于y＝x，当x＝1时，y＝1；当x＝2

024时，y＝2

024，∴当1≤x≤2

024时，有1≤y≤2

024．∴正比例函数y＝x是在［1，2

024］范围内的“标准函数”．

(2)若一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)是在［2，6］范围内的“标准函数”，求一次函数的解析式．

易错点3．忽略隐含条件，考虑问题不周密【例3】已知直线y＝mx＋2m－4不经过第二象限，则m的取值范围是

．

错解：0＜m≤2．错解分析：因为直线y＝mx＋2m－4，当m＝0时，y＝－4，图象也不经过第二象限，所以m＝0也符合条件，以上的错解忽略了直线y＝b(b＜0)图象不过第二象限这一情况，从而导致了错解．正解：0≤m≤2．【针对训练】已知一次函数y＝(2m＋1)x＋m－3．(1)若这个函数的图象与y轴交于负半轴，求m的取值范围；(2)若这个函数的图象不经过第四象限，求m的取值范围．

易错点4．考虑问题不全面【例4】已知直线y＝－x＋5与x轴交于点A，直线上有一点P，满足△POA的面积为10，求点P的坐标．

图D19－1－1∴y1＝4，y2＝－4．分别代入y＝－x＋5，得x1＝1，x2＝9．∴点P的坐标为(1，4)或(9，－4)．

解得t＝3．∴OC＝3．(2)若点E在x轴上，且△BED的面积为10，求点E的坐标．

易错点5．画一次函数的图象没有考虑实际意义而出错【例5】已知等腰三角形的周长为20，把底边y表示为腰长x的函数，并画出图象．错解：∵等腰三角形底边长为y，腰长为x，周长为20，∴y＋2x＝20，即y＝－2x＋20．令x＝0，得y＝20．∴点A(0，20)．令y＝0，得x＝10．∴点B(10，0)．∴图象为过A，B的直线，如图．