2025版高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和教学案含解析理

PAGE1-其次节等差数列及其前n项和[考纲传真]1.理解等差数列的概念.2.驾驭等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在详细的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关学问解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝eq\f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1d,2)＝eq\f(na1＋an,2).3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}和{a2n＋1}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(7)等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.eq\o([常用结论])1．等差数列前n项和的最值在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，即全部正项之和最大，若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，即全部负项之和最小．2．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则有eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).3．等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列．[基础自测]1．(思索辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对随意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2. ()(2)等差数列{an}的单调性是由公差d确定的． ()(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数． ()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×2．(教材改编)等差数列11,8,5，…，中－49是它的第几项()A．第19项 B．第20项C．第21项 D．第22项C[由题意知an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14＝－49得n＝21，故选C.]3．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于()A．－1B．0 C．1 D．6B[a2，a4，a6成等差数列，则a6＝0，故选B.]4．小于20的全部正奇数的和为________．100[小于20的正奇数组成首项为1，末项为19的等差数列，共有10项，因此它们的和S10＝eq\f(101＋19,2)＝100.]5．(教材改编)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.－1[由S2＝S6得a3＋a4＋a5＋a6＝0，即a4＋a5＝0，又a4＝1，则a5＝－1.]等差数列基本量的运算1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a18＝54，S19＝437，则a2018的值是()A．4039B．4038 C．2019 D．2038A[设等差数列{an}的公差为d，由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋22d＝54，,19a1＋171d＝437，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,d＝2，))所以a2018＝5＋2024×2＝4039，故选A.]2．(2024·武汉模拟)已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于()A．－1B．－2 C．－3 D．－4C[由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a7＝2a1＋6d＝－8，,a2＝a1＋d＝2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝－3，,a1＝5，))故选C.]3．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最终一天织布的尺数为()A．18B．20 C．21 D．25C[用an表示第n天织布的尺数，由题意知，数列{an}是首项为5，项数为30的等差数列．所以eq\f(30a1＋a30,2)＝390，即eq\f(305＋a30,2)＝390，解得a30＝21，故选C.]4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________.－72[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a12＝a1＋11d＝－8，,S9＝9a1＋\f(9×8,2)d＝－9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝－1.))∴S16＝16×3＋eq\f(16×15,2)×(－1)＝－72.][规律方法]等差数列运算问题的通性通法1等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程组求解.2等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.等差数列的判定与证明【例1】已知数列{an}中，a1＝eq\f(3,5)，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满意bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．[解](1)证明：因为an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝eq\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,an)))－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(an,an－1)－eq\f(1,an－1)＝1.又b1＝eq\f(1,a1－1)＝－eq\f(5,2).所以数列{bn}是以－eq\f(5,2)为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知bn＝n－eq\f(7,2)，则an＝1＋eq\f(1,bn)＝1＋eq\f(2,2n－7).设f(x)＝1＋eq\f(2,2x－7)，则f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，＋∞))上为减函数．所以当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.[拓展探究]本例中，若将条件变为a1＝eq\f(3,5)，nan＋1＝(n＋1)·an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式．[解]由已知可得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(an,n)＋1，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝1，又a1＝eq\f(3,5)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是以eq\f(a1,1)＝eq\f(3,5)为首项，1为公差的等差数列，∴eq\f(an,n)＝eq\f(3,5)＋(n－1)·1＝n－eq\f(2,5)，∴an＝n2－eq\f(2,5)n.[规律方法]等差数列的四个判定方法1定义法：证明对随意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数.2等差中项法：证明对随意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，依据定义得出数列{an}为等差数列.3通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对随意正整数n恒成立，依据定义判定数列{an}为等差数列.4前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，依据Sn，an的关系，得出an，再运用定义法证明数列{an}为等差数列.(2024·贵州模拟)已知数列{an}满意a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；(2)证明数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差数列，并求{an}的通项公式．[解](1)由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，得eq\f(nan＋1－n＋1an,nn＋1)＝2，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝2，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是首项为eq\f(a1,1)＝1，公差d＝2的等差数列．则eq\f(an,n)＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.等差数列性质的应用►考法1等差数列项的性质的应用【例2】(1)(2024·长沙模拟)数列{an}满意2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，则a3＋a4＋a5等于()A．9B．10 C．11 D．12(2)(2024·银川模拟)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为()A．8B．12 C．6 D．4(1)D(2)A[(1)数列{an}满意2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，则数列{an}是等差数列，利用等差数列的性质可知，a3＋a4＋a5＝a2＋a4＋a6＝12.(2)由a3＋a6＋a10＋a13＝32得4a8＝32，即a8＝8.又d≠0，所以等差数列{an}是单调数列，由am＝8，知m＝8，故选A.]►考法2等差数列前n项和的性质【例3】(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45 C．36 D．27(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，eq\f(S2014,2014)－eq\f(S2008,2008)＝6，则S2019＝________.(1)B(2)8076[(1)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，即a7＋a8＋a9＝45，故选B.(2)由等差数列的性质可得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列．设其公差为d，则eq\f(S2014,2014)－eq\f(S2008,2008)＝6d＝6，∴d＝1.故eq\f(S2019,2019)＝eq\f(S1,1)＋2018d＝－2014＋2018＝4，∴S2019＝8076.][规律方法]应用等差数列的性质应留意两点1在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2km、n、p、q、k∈N*，则am＋an＝ap＋aq＝2ak是常用的性质.2驾驭等差数列的性质，悉心探讨每特性质的运用条件及应用方法，仔细分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口.(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝10，S2m－1＝110，则m＝________.(3)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n－2,2n＋1)，则eq\f(a7,b7)＝________.(1)60(2)6(3)eq\f(37,27)[(1)由题意知，S10，S20－S10，S30－S20成等差数列．则2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，即40＝10＋(S30－30)，解得S30＝60.(2)S2m－1＝eq\f(2m－1a1＋a2m－1,2)＝eq\f(22m－1am,2)＝110，解得m＝6.(3)eq\f(a7,b7)＝eq\f(2a7,2b7)＝eq\f(a1＋a13,b1＋b13)＝eq\f(\f(13,2)a1＋a13,\f(13,2)b1＋b13)＝eq\f(S13,T13)＝eq\f(3×13－2,2×13＋1)＝eq\f(37,27).]等差数列的前n项和及其最值【例4】(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是()A．5B．6 C．7 D．8C[(1)法一：由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，依据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.依据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7时，Sn最大．法二：由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.依据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大．法三：依据a1＝13，S3＝S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．依据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n＝eq\f(3＋11,2)＝7时，Sn取得最大值．](2)已知等差数列{an}的前三项和为－3，前三项的积为8.①求等差数列{an}的通项公式；②若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和Tn.[解]①设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝－3，,a1a1＋da1＋2d＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝－3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－4，,d＝3.))所以由等差数列通项公式可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.故an＝－3n＋5或an＝3n－7.②当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满意条件．故|an|＝|3n－7|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3n＋7，n＝1，2，,3n－7，n≥3.))记数列{3n－7}的前n项和为Sn，则Sn＝eq\f(n[－4＋3n－7],2)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(11,2)n.当n≤2时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－eq\f(3,2)n2＋eq\f(11,2)n，当n≥3时，Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋an)＝Sn－2S2＝eq\f(3,2)n2－eq\f(11,2)n＋10，综上知：Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)n2＋\f(11,2)n，n≤2，,\f(3,2)n2－\f(11,2)n＋10，n≥3.))[规律方法]求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0时，满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.(1)在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是()A．21B．20 C．19 D．18(2)设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.(1)B(2)130[(1)因为a1＋a3＋a5＝3a3＝105，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，所以a3＝35，a4＝33，所以d＝－2，a1＝39.由an＝a1＋(n－1)d＝39－2(n－1)＝41－2n≥0，解得n≤eq\f(41,2)，所以当n＝20时Sn达到最大值，故选B.(2)由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，所以n≤5时，an≤0，当n＞5时，an＞0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＋(a6＋…＋a15)＝S15－2S5＝130.]1．(2024·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2 C．4 D．8C[设{an}的公差为d，则由eq\b\lc\{\rc\(