必修5-第二章-数列知识、题型、训练大全

④是数列中的最小项。(提示：)20、已知，把数列的各项排列成如下的三角形状：记表示第行的第个数，则____________.※21、如图，一个粒子在原点，第一秒内从原点运动到点，然后按照图示的方向由来回运动，每秒移动一个单位，那么粒子移动到点时用时________秒，经过2000秒时粒子所处的位置为点___________.43214321 12341234※22、对大于或等于2的自然数的次幂进行如下方式的“分裂”：1133537951172527929仿此，“分裂”中最大的数是________；若“分裂”中最小的数是211，则的值为_______.23、已知等差数列满足：，的前项和为。（1）求及。（2）令，求数列的前项和.24、（1）项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项与项数。一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求该数列的公差。25、（1）在等差数列中，，记，求数列的前30项和；（2）已知等差数列的前项和为，，求数列的前项和.26、已知等差数列的前三项为，前项和为。设，求和的值；设，求的值。27、等差数列在中，，求使取最大值时的值。28、有两个等差数列和，其前项和分别为和，若，求。29、已知等差数列的前项和为，点在直线上。数列满足，，且其前9项和为153.求，的通项公式；设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值。（提示：，）※30、设是公差不为零的等差数列，是其前项和，满足。求的通项公式及；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。设等差数列的前项和为，若.求取得最小值时的值；（2）求的取值集合，使.已知各项全不为零的数列的前项和为，且，其中。求数列的通项公式；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。§2.4等比数列【知识精要】定义：，则数列是等比数列;可以用于等比数列的证明；通项公式：（），可用于等比数列的判定；推广：；注：通项公式的推导可采用（1）归纳法（2）迭代法（3）累乘法（4）逐商法单调性：（1）递增数列（或）；（2）递减数列（或）；（3）常数列（）；（4）摆动数列（）。等比中项：如果在和之间插入一个数，使成等比数列，那么叫做和的等比中项。有或。中项公式：，可以用于等比数列的证明；若数列既是等差数列又是等比数列，则是非零常数列；若数列是各项都为正数的等比数列，则数列是等差数列；若数列是等差数列，则数列是等比数列；若数列是等比数列，则，也都是等比数列；数列是等比数列当且仅当是常数列；数列是等差数列当且仅当是常数列；若是等差数列，则数列是等比数列。9、设,若，则，可推广为：设，若，则。【典型例题】例1、已知数列的前项和，求证：是等比数列.【点评】可以利用例2、在数列中，，令.求证：数列是等比数列；（1）求的通项公式.【思路点拨】形如的递推关系式，可化为的形式，利用是等比数列求的通项公式.例3、已知数列满足：.（1）证明：数列是等比数列；（2）求的通项公式；若数列满足：,证明：数列是等差数列.【思路点拨】当利用一阶递推式无法证明一个等差数列时，就用二阶递推式.例4、已知数列是各项均为正数的等比数列，且成等差数列.又.求证：数列是等比数列.【思路点拨】先求，再求，利用定义证明。【实战演练】在等比数列中，，那么（）A、B、C、D、8在等比数列中，，公比，若，则（）A、9B、10C、11D、12已知等比数列满足：，且，则当时，（）A、B、C、D、4、已知等比数列中，，则_____________.5、等比数列中，,则_____________.6、已知，点在函数的图像上，设，求证：数列是等比数列.7、若正数成等比数列，且公比大于1，则当时，（）依次成等差数列B、各项的倒数依次成等比数列C、依次成等比数列D、各项的倒数依次成等差数列8、在等差数列中，公差，是和的等比中项，已知成等比数列，求数列的通项公式.9、设数列的前项和.求；（2）证明：是等比数列；（3）求的通项公式.已知数列的前项和是，且，证明：是等比数列；已知数列的前项和是，且，其中为常数且，.求证：是等比数列；（2）若数列的公比，数列满足，求证：是等差数列。§2.5等比数列的前项和【知识精要】设是数列的前项和，则等比数列的前项和公式（注意在使用公式是判断是否为1）；等比数列的前项和公式的推导采用的是错位相减法，错位相减法适合求数列的前项和，其中是等差数列，是等比数列（公比）；等比数列的连续项和：仍成等比数列；若等比数列有项，则；；数列为非常数列的等比数列，其中是的公比。【典型例题】例1、已知等比数列的公比。（1）若，求数列的前项和；（2）证明：对任意，成等差数列。例2、等比数列有项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求公比。例3、设是等比数列的前项和，若，求。例4、已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列。（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和。【实战演练】1、等比数列的公比,前n项和为,则()A.15B.63C.D.2、已知等比数列中，，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前项和为()A. B. C. D.3、等比数列中，公比，它的前项和为，数列的前项和为，则的值为（）A.B.C.D.4、已知等比数列的前项和，则=（）A.B.C.D.5、数列的前项和等于()A. B. C. D.等比数列中,公比，，则=.在等比数列中，若，，则公比___________；8、一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数。9、等比数列中，，求和.10、设数列的前项和，数列满足：，且，（1）求通项；(2)求前项的和.专题一数列求和分组求和例1、求和：；（2）求数列的前项和；（3）求数列的前项和。练习：已知是首项为，公差为的等差数列，是数列的前项和。求通项及；设是首项，为公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和。裂项相消法求和例2、在数列中，，点在直线上。求的通项公式；若，求数列的前项和.【方法总结】1、常见的裂项公式有如下形式：；（2）；；（4）.注：常见题目：设是公差为的等差数列，求数列前项和。解法如下：。练习：1、已知等差数列的前项和为，，则数列的前100项和为（）A、B、C、D、数列的通项公式是，若的前项和为10，则项数为（）A、11B、99C、120D、121已知数列：，设那么数列的前项和为（）A、B、C、D、已知数列的通项公式是，则数列的前项和为=_______________。设数列的前项和为，如果，那么________________.已知等差数列的前项和为，。求及；（2）令，求数列的前项和.求数列的前项和。错位相减法求和例3、求和.例4、已知数列的前项和为，且，数列满足.求，；（2）求数列的前项和.练习：1、已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，.求数列和的通项公式；记，证明：。已知数列的前项和为（其中为常数），且.求；（2）求数列的前项和.倒序相加法求和例5、函数对任意的都有。求和的值；求。练习：已知，，求的值.并项法求和例6、若数列的通项公式是，则___________.专题二数列通项公式的求法题型一、累加法例1、在数列中，，,求数列的通项公式.【方法归纳】形如的递推关系式，可采用累加法求通项公式。具体做法如下：，再验证时是否成立。练习：1、已知数列满足：，求数列的通项公式.2、已知数列满足：，求数列的通项公式.题型二、累乘法例2、数列中，若，求数列的通项公式.【方法归纳】形如的递推关系式，可采用累乘法求通项公式。具体做法如下：，再验证时是否成立。练习：3、如果数列满足：是首项为1，公比为2的等比数列，则()A、B、C、D、24、在数列中，，求.5、已知数列的前项和为，且.（1）求常数的值；（2）证明：数列是等差数列。题型三、构造法例3、已知数列满足：，求.【方法归纳】当题目中出现的形式时，把变形为，即，令，解得，从而构造出等比数列.练习：6、已知数列满足：，求.例4、（1）已知函数，数列满足：，求.已知数列满足：，求.【方法归纳】当题目中出现的形式时，两边取倒数，得到，从而构造出等差数列；当题目中出现的形式时，两边同除以，得到，从而构造出等差数列。例5、已知数列满足：，求.【方法归纳】形如的递推关系式，两边同除以，得到，从而