2025版高考数学一轮复习课后限时集训58模拟方法-概率的应用文含解析北师大版

PAGE1-课后限时集训(五十八)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事务“sinx≤eq\f(1,2)”发生的概率为()A．eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)D[x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))时，sinx≤eq\f(1,2)，故概率为eq\f(\f(π,3),π)＝eq\f(1,3).]2．(2024·遂宁模拟)已知函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－3,3]，在定义域内任取一点x0，使f(x0)≤0的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,6)C[由f(x0)≤0可得－1≤x0≤2，所以D＝3－(－3)＝6，d＝2－(－1)＝3，故由几何概型的计算公式可得所求概率为P＝eq\f(d,D)＝eq\f(1,2)，故选C．]3．(2024·惠州模拟)如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y＝eq\f(1,x)，y＝－eq\f(1,x)，y＝x，y＝－x及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,8)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,8)A[依据图像的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是eq\f(1,4)，选A．]4．在区间[－1,3]上随机取一个数x，若x满意|x|≤m的概率为eq\f(1,2)，则实数m为()A．0 B．1C．2 D．3B[区间[－1,3]的区间长度为4.不等式|x|≤m的解集为[－m，m]，区间长度为2m，由eq\f(2m,4)＝eq\f(1,2)，则m＝1.]5．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A．1－eq\f(π,4) B.eq\f(π,12)C．eq\f(π,4) D．1－eq\f(π,12)A[鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－eq\f(π,4)，故选A．]6．(2024·西安调研)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，0≤x＜1，,lnx＋e，1≤x≤e))在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是()A．eq\f(1,e) B．1－eq\f(1,e)C．eq\f(e,1＋e) D．eq\f(1,1＋e)B[当0≤x＜1时，恒有f(x)＝ex＜e，不满意题意．当1≤x≤e时，f(x)＝lnx＋e.由lnx＋e≥e，得1≤x≤e.∴所求事务的概率P＝eq\f(e－1,e)＝1－eq\f(1,e).]7．有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,4)B[设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，则P1＝eq\f(V半球,V圆柱)＝eq\f(\f(2π,3)×13,π×12×2)＝eq\f(1,3).故点P到点O的距离大于1的概率P＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]二、填空题8．(2024·怀化期末)在区间[－3,5]上随机取一个实数a，则使函数f(x)＝x2＋4x＋a无零点的概率为________．eq\f(1,8)[∵函数f(x)＝x2＋4x＋a无零点，∴Δ＝42－4a＜0，即a＞4.∵在区间[－3,5]上随机取一个实数a，且区间[－3,5]的长度为8，∴所求事务的概率为eq\f(1,8).]9．欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽视不计)，则正好落入孔中的概率是________．eq\f(4,9π)[依题意，所求概率为P＝eq\f(12,π·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝eq\f(4,9π).]10．(2024·青岛期末)已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB内作射线AM，则使∠CAM＜30°的概率为________．eq\f(2,3)[如图，在∠CAB内作射线AM0，使∠CAM0＝30°，于是有P(∠CAM＜30°)＝eq\f(∠CAM0的角度,∠CAB的度数)＝eq\f(30°,45°)＝eq\f(2,3).]B组实力提升1．(2024·南充月考)《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A．eq\f(3π,10) B．eq\f(3π,20)C．1－eq\f(3π,10) D．1－eq\f(3π,20)D[由题意可知，直角三角形斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为r＝eq\f(8×15,8＋15＋17)＝3，所以落在内切圆内的概率为P＝eq\f(π×32,\f(1,2)×8×15)＝eq\f(3π,20)，故落在圆外的概率为1－eq\f(3π,20).故选D.]2．已知线段AB的长为10，在线段AB上随机取两个点C、D，则CD＞2的概率为()A．eq\f(2,5) B．eq\f(4,5)C．eq\f(4,25) D．eq\f(16,25)D[设CA＝x，DA＝y，则x，y∈[0,10]，CD＝|CA－DA|＝|x－y|.由题意知点(x，y)形成的区域是边长为10的正方形及其内部，其面积为S＝10×10，而满意CD＞2的区域如图中阴影部分所示，其面积为S1＝2×eq\f(1,2)×8×8＝64，则CD＞2的概率为P＝eq\f(64,100)＝eq\f(16,25).]3．如图所示，图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面绽开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内随意抛掷一质点，它落在长方体的平面绽开图的概率是eq\f(1,4)，则此长方体的体积是________．(1)(2)3[设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面绽开图内的概率P＝eq\f(2＋4h,2h＋22h＋1)＝eq\f(1,4)，解得h＝3(负值已舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.]4．(2024·湖南娄底质检)在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝AC＝eq\r(3)，∠BAC＝120°，D为棱BC上一个动点，设直线PD与平面ABC所成的角为θ，则θ不大于45°的概率为________．eq\f(2,3)[因为PA⊥平面ABC，所以直线PD与平面ABC所成二面角的平面角为∠PDA．因为D为BC上的动点，结合图形(图略