2024年高考数学考纲解读与热点难点突破专题01集合常用逻辑用语教学案理

PAGEPAGE1专题01集合、常用逻辑用语【2024年高考考纲解读】从近几年高考题来看,涉及本节学问点的高考题型是选择题或填空题．有时在大题的条件或结论中出现,所以在复习中不宜做过多过高的要求,只要敏捷驾驭小型综合题型就可以了．要驾驭以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合的交、并、补的基本运算；要能够利用集合之间的关系,利用充要性求解参数的值或取值范围；要驾驭命题的四种形式及命题真假的推断；还得留意以新定义集合及集合的运算为背景考查集合关系及运算．要活用“定义法”解题,重视“数形结合”,定义是一切法则和性质的基础,是解题的基本动身点,留意方法的选择,抽象到直观的转化．要体会数学语言的简洁性与明确性,发展运用数学语言沟通问题的实力．体会分类探讨思想、数形结合思想、函数方程思想等数学思想在解题中的运用．【网络构建】【重点、难点剖析】一、集合的概念及运算1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A．(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A．(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A．2．集合运算中的常用方法(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解．(2)图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解．(3)Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图法求解．【方法技巧】解答集合问题的策略：(1)集合的化简是实施运算的前提，等价转换是顺当解题的关键．解决集合问题，要弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；抓住集合中元素的三特性质，对互异性要留意检验；(2)求交集、并集、补集要充分发挥数轴或韦恩图的作用；(3)含参数的问题，要有分类探讨的意识．留意空集的特别性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性．二、充分与必要条件的推断充分、必要条件与充要条件的含义若p、q中所涉及的问题与变量有关，p、q中相应变量的取值集合分别记为A，B，那么有以下结论：p与q的关系集合关系结论p⇒q，qeq\o(⇒,/)pABp是q的充分不必要条件peq\o(⇒,/)q，q⇒pBAp是q的必要不充分条件p⇒q，q⇒pA＝Bp是q的充要条件peq\o(⇒,/)q，qeq\o(⇒,/)pAB，BAp是q的既不充分也不必要条件【方法技巧】命题真假的判定方法：(1)一般命题p的真假由涉及到的相关学问辨别；(2)四种命题的真假的推断依据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；(3)p∨q、p∧q、┐p命题的真假依据p，q的真假与逻辑联结词的含义判定；(4)要判定一个全称命题是真命题，必需对限定集合M的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成马上可(也就是通常所说的“举一个反例”)．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中能找到一个x＝x0，使p(x0)成马上可；否则，这一存在性命题是假命题．三、命题真假的判定与命题的否定1．四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2．复合命题真假的推断方法含逻辑联结词的命题的真假推断：“p∨q”有真则真，其余为假；“p∧q”有假则假，其余为真；“綈p”与“p”真假相反．3．全称量词与存在量词(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．【方法技巧】充分条件必要条件的判定方法：(1)定义法：分清条件和结论；找推式，推断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；下结论，依据推式及定义下结论；(2)等价转化法：条件和结论带有否定词语的命题，常转化为其逆否命题来推断；(3)集合法：小范围可推出大范围，大范围不能推出小范围．【题型示例】题型一、集合的含义与表示、集合的运算例1、(2024·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4【解析】由题意可知A＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0，－1)，(0,1)，(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}，故集合A中共有9个元素，故选A．【答案】A【变式探究】解决集合问题的3个留意点(1)集合含义要明确：构成集合的元素及满意的性质．(2)空集要重视：已知两个集合的关系，求参数的取值，要留意对空集的探讨．(3)“端点”要取舍：要留意在利用两个集合的子集关系确定不等式组时，端点值的取舍问题，肯定要代入检验，否则可能产生增解或漏解现象．【变式探究】[2024·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝()A.{x|－1<x<2}B.{x|－1≤x≤2}C.{x|x<－1或x>2}D.{x|x≤－1或x≥2}【命题意图】本题考查集合补集的运算、一元二次不等式的解法，考查学生的计算实力．【答案】B.【解析】∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}，∴∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.【变式探究】[2024·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B.8C.5D.4【命题意图】本题考查集合中元素的个数，考查了学生的理解实力与推理实力．【变式探究】（2024年浙江卷）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则A.B.{1，3}C.{2，4，5}D.{1，2，3，4，5}【答案】C【解析】因为全集，，所以依据补集的定义得，故选C.【变式探究】（2024年天津卷）设全集为R，集合，，则A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B选项.【变式探究】（2024年北京卷）设集合则A.对随意实数a，B.对随意实数a，（2，1）C.当且仅当a<0时，（2，1）D.当且仅当时，（2，1）【答案】D【解析】若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.【变式探究】（2024年江苏卷）已知集合，，那么________．【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：.【变式探究】（2024年北京卷）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则AB=A.{0，1}B.{–1，0，1}C.{–2，0，1，2}D.{–1，0，1，2}【答案】A【解析】，因此AB=，选A.【变式探究】(1)若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，A∩B＝B，则实数m的取值范围是________．【答案】[－1，＋∞)题型二充分与必要条件的推断例2、（2024年浙江卷）已知平面α，直线m，n满意mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以依据线面平行的判定定理得，由不能得出与内任始终线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.【变式探究】（2024年天津卷）设，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不重复条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】肯定值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.【变式探究】(2024·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】|a－3b|＝|3a＋b|⇔|a－3b|2＝|3a＋b|2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2⇔2a2＋3a·b－2b2＝0，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0⇔a⊥b，故选C．【方法技巧】充分、必要条件的3种推断方法(1)利用定义推断：干脆推断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在推断时，确定条件是什么，结论是什么．(2)从集合的角度推断：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．(3)利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来推断真假．【变式探究】[2024·天津卷]设θ∈R，则“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))<eq\f(π,12)”是“sinθ<eq\f(1,2)”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查了充分条件与必要条件，考查三角函数的图象及性质，考查学生的计算实力及推理实力．【答案】A.【解析】当eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))<eq\f(π,12)时，可解得0<θ<eq\f(π,6)，即0<sinθ<eq\f(1,2)，故充分性成立；由sinθ<eq\f(1,2)可取θ＝0，但此时不满意条件eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))<eq\f(π,12)，故必要性不成立．故选A.【变式探究】命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2【答案】D.【解析】由全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题得，命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2【变式探究】已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点；命题q：函数y＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p且綈q为真命题，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－∞，2]C．(1，2]D．(－∞，1]∪(2，＋∞)【答案】C.【解析】由题意可得，对命题p，令f(0)·f(1)<0，即－1·(2a－2)<0，得a>1；对命题q，令2－a<0，即a>2，则綈q对应的a的范围是(－∞，2]．因为p且綈q为真命题，所以实数a的取值范围是1<a≤2.故选C.题型三命题真假的判定与命题的否定例3、[2024·全国卷Ⅰ]设有下面四个命题p1：若复数z满意eq\f(1,z)∈R，则z∈R；p2：若复数z满意z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满意z1z2∈R，则z1＝eq\x\to(z)2；p4：若复数z∈R，则eq\x\to(z)∈R.其中的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【答案】B【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若eq\f(1,z)∈R，即eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝biR，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.则z1＝eq\x\to(z)2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题，故选B.【变式探究】下列命题正确的是()A．命题“∃x∈[0,1]，使x2－1≥0”的否定为“∀x∈[0,1]，都有x2－1≤0”B．若命题p为假命题，命题q是真命题，则(綈p)∨(綈q)为假命题C．命题“若a与b的夹角为锐角，则a·b>0”及它的逆命题均为真命题D．命题“若x2＋x＝0，则x＝0或x＝－1”的逆否命题为“若x≠0且x≠－1，则x2＋x≠0”【答案】D【方法技巧】解决命题的判定问题应留意的3点(1)推断四种命题真假有下面两个途径，一是先分别写出四种命题，再分别推断每个命题的真假；二是利用互为逆否命题是等价命题这一关系来推断它的逆否命题的真假．(2)要判定一个全称命题是真命题，必需对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立．要判定一个特称(存在性)命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成马上可．(3)含有量词的命题的否定，需从两方面进行：一是改写量词或量词符号；二是否定命题的结论，两者缺一不行．【变式探究】“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是()A．∀x∈R，x2－πx<0 B．∀x∈R，x2－πx≤0C．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－πx0≤0 D．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－πx0<0【答案】D【解析】全称命