基于嵌套LSTM神经网络与传统Heston定价模型的期权理论价格动态修正研究12000字【论文】

基于嵌套LSTM神经网络与传统Heston定价模型的期权理论价格动态修正研究摘要期权是一种重要的金融衍生品，具有套期保值、风险投资等功能，期权定价问题一直是金融数学领域的重要研究方向之一。但是传统期权定价模型的假设比较严格，甚至于不适合市场实际情况，而假设过松又会导致模型较为复杂，难以得到一个确定的期权定价公式，因此，不仅人们需要掌握市场规律而且兼顾经济学理论。本文将嵌套LSTM神经网络与传统Heston定价模型结合，基于市场信息实现了对期权理论价格的动态修正，并选取上证500ETF看涨期权的日数据，对模型的可行性进行实证分析。本文研究结果表明：传统Heston期权定价模型的准确性优于BS期权定价模型，但两者仍难以准确刻画期权价格的波动性特征。通过将嵌套LSTM神经网络与传统期权定价模型结合，得到了Heston-NLSTM模型和BS-NLSTM模型，预测结果表明通过定价误差修正后的期权理论价更接近与市场价，能更为有效地捕捉到市场信息，且Heston-NLSTM模型的定价效果最好，误差最小。关键词：期权定价；Heston定价模型；市场校准；BS定价模型；嵌套NLSTM目录1.绪论 51.1.研究背景及意义 51.1.1研究背景 51.2.文献综述 61.2.1期权定价理论 61.2.2神经网络模型下的期权定价问题 71.2.3文献综评 81.3.研究内容、创新点及框架 81.3.1研究内容 81.3.2主要创新 91.3.3研究框架 92.理论介绍 102.1.期权定价理论 102.1.1期权相关概念 102.1.2Black-Scholes期权定价模型 102.1.3Heston随机波动率模型 122.1.4Heston模型校正问题 142.2.嵌套LSTM神经网络模型 143.期权定价模型的实证分析结果 193.1.数据选择与处理 193.2.描述性统计 203.3精度评价指标 223.4传统期权定价模型实证结果 233.5嵌套LSTM神经网络混合定价模型实证结果 253.5.1样本内拟合误差 263.5.2样本外预测误差 294.总结与不足 324.1本文总结 325.2研究局限性与展望 32参考文献 331.绪论1.1.研究背景及意义1.1.1研究背景 期权是一种重要的金融衍生工具，期权交易最早始于十八世纪后期的美国和欧洲，但由于制度不完善、定价理论的缺乏等方面的因素，期权交易的发展一直受到限制。1973年芝加哥期权交易所正式开始进行期权交易，才确定了统一标准的期权合约交易。期权具有风险对冲、套期保值等功能，它的出现极大程度上丰富了投资者的投资策略，能帮助投资者认识到风险构成，让投资者能根据自身的风险偏好合理配置金融资产。由于期权能满足投资者风险管理需求和投资需求，期权交易市场的规模越来越大，因此期权的定价理论也越发重要。在芝加哥期权交易所正式进行期权交易的同一年，Black和Schloes提出了BS期权定价模型，推导出了欧式期权定价公式。但该理论模型建立在一系列严格假设之上，过于严苛的假设与实际市场情形不符，通过BS公式得到的期权理论价格往往低于实际市场价格，模型的不准确导致定价偏差的产生。后面学者们对BS期权定价模型的假设进行改进，使其跟符号市场规律，产生了一系列重大成果。单一的期权定价理论仍难以描述复杂的期权价格变化过程，学者开始着眼于机器学习方法。机器学习方法是一类只依赖于市场数据的方法，通过捕捉市场有效信息来动态修正参数，而且无需考虑过多的专业领域知识，更容易理解和使用。在众多机器学习方法中，由于深度神经网络自身具备极强的非线性拟合能力，受到期权定价研究领域学者的广泛关注。嵌套LSTM神经网络结构引入门控机制来控制信息传递与保存，并通过嵌套的方式来增加神经元的复杂程度，能更高效的处理具有长期依赖关系的时间序列。因此本文将期权定价模型与嵌套LSTM神经网络相结合，得到一种期权定价混合建模的方法。1.1.2研究意义在期权定价的理论研究方面，本文将传统期权定价模型与嵌套LSTM神经网络相结合，通过捕捉市场的有效信息来对期权理论价格进行动态修正，削弱了严苛的理论模型假设的负面影响，提高了模型预测的精准度。这种将传统期权定价模型与基于数据驱动的机器学习方法结合的方式，给期权定价研究提供一种新的思路，未来可以从这两个方向入手改进这种方法。在实际运用方面，随着期权交易规模越来越大，期权在金融市场具有重要地位。期权为投资者提供了以小博大的可能性，但也出现了由于交易不当给投资者造成了巨额损失，期权合理定价的重要性不言而喻。本文提出的基于嵌套LSTM神经网络期权定价混合建模方法相较于单一的期权定价理论或者神经网络结构，在市场上有更好的表现，能帮助投资者理解期权价格的波动行为，促进金融市场长期健康稳定发展。1.2.文献综述1.2.1期权定价理论期权定价的相关研究很早就有学者开始进行，Bachelier[1]构建了投机理论，第一次给出了布朗运动的数学定义，将股票价格的变化过程用标准布朗运动来描述。Black和Schloes[2]基于一系列市场假设，提出了BS期权定价模型，第一次得到了欧式期权定价公式。随着研究的深入，学者们发现BS期权定价模型的假设过于严格，与市场实际情况不符，为得到更贴近现实的期权定价公式，学者们在BS期权定价公式的基础上对模型假设进行改进。BS期权定价模型的一个重要假设是标的资产价格变化过程服从几何布朗运动，，但出现重大事件时，标的资产价格变化过程并不是如假设一般是连续的，会存在跳跃情形。Merton[3]认为标的资产的收益服从连续过程和跳跃过程的加总，通过引入傅里叶变换得到了跳跃扩散定价模型，派生的公式不仅有BS公式的特点，而且还不依赖于投资者的风险偏好和对标的资产收益的预期了解。BS期权定价模型最严重的一个问题是波动率微笑问题，将期权市场价带入公式中得到的标的资产价格波动率并不如假设一般是固定的，而是一条与时间t相关的曲线，这说明了BS期权定价模型中关于标的资产波动率是固定的假设是不成立的。Duan[4]用用广义自回归条件异方差(GeneralizedAutoRegressiveConditionalHeteroskedasticity，GARCH)模型代替BS期权定价模型中固定的标的资产波动率，GARCH期权定价模型能以简单的方式反应标的资产波动率的变化，实证表明GARCH模型可能一些与BS期权定价模型相关的系统偏差。Heston[5]假设标的资产价格与标的资产价格的波动率存在相关性，基于特征函数推导出具有随机波动性标的资产的欧式看涨期权价格公式，得到了一个显式的封闭解。模拟表明，波动率与标的资产之间的相关性能够解释BS期权定价模型的价格偏差问题。王恒和刘鹏[6]通过上证50ETF5分钟高频数据，构建基于利好、利空信息冲击的随机波动率期权定价模型，实证表明基于利好、利空信息冲击的期权定价模型预测精度较高。本文考虑采用Heston随机利率模型作为基准模型，并且Heston模型具有解析的闭式解，理论上具有完整清晰的优势。1.2.2神经网络模型下的期权定价问题为了更精准的估计期权价格，学者们开始关注以数据驱动为核心的机器学习方法，并将其应用在期权定价研究上。Hutchinson,L和Poggio[7]提出一种使用神经网络估计衍生金融证券资产价格的非参数方法，证明了神经网络可以训练出BS期权公式的理论价，并且训练完成的神经网络可用于样本外的期权定价和delta对冲。Culkin和Das[13]训练了一个全连接的前馈深度学习神经网络，以较高准确度复现了BS期权定价公式，并且介绍了如何选择超参数使得模型更加贴近市场价。Kim和Won[15]提出一种混合长短期记忆模型（LSTM）来预测股票价格波动，该模型将LSTM神经网络模型与各种GRACH模型相结合，并于单个期权定价模型和LSTM神经网络模型，以及一种结合GRACH模型的深度前馈神经网络相对比，实证表明将LSTM神经网络模型与三个GRACH类模型结合的混合模型误差最小，预测精度最高。杨昌辉、邵臻和刘辰等[17]将嵌套LSTM神经网络模型和传统定价模型结合，基于期权高频数据实现了对定价偏差的动态修正，并与其他单一模型相对比。实证表明嵌套LSTM神经网络模型和Heston定价模型结合的混合模型能有效提升期权定价的准确度，实证了方法的有效性。学者们还关注了神经网络输入、输出变量的选择问题，这对于构建神经网络非常关键。Amilon[8]，Liu和Oosterlee[9]使用标的资产价格和行权价格的比值作为输入变量建立神经网络期权定价模型;高同[10]引入LSTM神经网络，以隐含波动率作为输出变量，在其基础上再利用BS定价模型计算期权价格，实证表明该模型价格预测精度更高;柯楚秋[11]引入多个期权价格影响因素作为LSTM网络输入变量，并考虑到投资者非理性，构建投资者情绪指数并将其作为LSTM网络的输入变量，实证表明该模型的定价误差减小。1.2.3文献综评 根据以上文献综述，可以发现随着金融市场的快速发展，期权交易趋于标准化和规范化，一系列期权定价理论被建立并得到广泛运用。从BS定价模型到跳跃扩散定价模型、列维定价模型、GARCH定价模型，Heston定价模型，尽管上述期权定价理论不断修正了标的资产、标的资产波动率、无风险利率等方面的理论假设，但与实际市场的矛盾之处仍旧存在，当模型假设和实现市场情形存在较大差异时，模型则会失效。为进一步提高模型预测精度，学者们开始研究以数据驱动为核心的机器学习方法来预测期权价格，多种神经网络模型被用于期权定价研究中。但少有文献将复杂的期权定价模型与神经网络模型结合进行相关研究。本文将嵌套LSTM神经网络与传统Heston定价模型结合，基于市场信息实现了对期权理论价格的动态修正。1.3.研究内容、创新点及框架1.3.1研究内容本文首先介绍了BS期权定价模型和基于随机波动率的Heston期权定价模型以及嵌套LSTM神经网络模型，并将传统权定价模型与嵌套LSTM神经网络模型结合，构造一种混合建模方法用于预测期权价格。将根据期权定价模型得出的理论价格以及相关参数作为输入层，以理论期权价格与市场价的误差为输出层，构建嵌套LSTM神经网络模型。最后以上证50ETF看涨期权为研究对象进行实证分析，并和BS期权定价模型以及Heston定价模型进行预测精度的比较。1.3.2主要创新本文将期权定价理论与嵌套LSTM神经网络模型相结合，得到了预测效果更优的混合期权定价模型，并选取上证50ETF看涨期权为实证对象，实证证实了方法的可行性。本文的创新点为以下两个方面:其一，本文将嵌套LSTM神经网络模型应用于上证50ETF看涨期权的价格预测。金融时间序列数据具有长期依赖关系的特征，而嵌套LSTM神经网络则通过引入门机制来控制神经元内部信息传递过程，并通过嵌套的方式来增加神经元结构的复杂程度，能够更有效地提取出金融时间序列中的时序信息。其二，BS模型中标的资产波动率为固定常数的基本假设与现实不符，考虑采用Heston随机波动率模型做为基准模型，提高模型的可信度，其次在确定Heston随机波动率模型下的期权价格后，将理论值和实际值之间的误差作为嵌套LSTM神经网络的输出层，进一步优化模型的精确度。1.3.3研究框架本文共分为4个部分，具体研究框架如下：本文第一部分是绪论部分，主要对研究背景及意义，国内外目前研究现状，研究思路及内容以及创新点进行总结和分析。 第二部分是理论部分，首先介绍了BS期权定价模型和Heston随机波动率期权定价模型。再介绍了嵌套LSTM神经网络模型，并将嵌套LSTM模型与期权定价模型相结合，得到混合期权定价模型。 第三部分是实证部分，以上证50ETF看涨期权为研究对象进行实证分析，证实方法的可行性。将根据期权定价模型得出的理期权论价格以及相关参数作为输入变量，以实际期权价格与理论价格之差为输出变量，构建嵌套LSTM神经网络模型，并将修正后的期权价格和期权定价模型得到的理论价格与市场价格进行对比，得出相关结论。 第四部分是研究结论、不足与展望，对本文模型进行总结，并对后续的研究提供相应的思路。2.理论介绍2.1.期权定价理论2.1.1期权相关概念期权，在金融学里的定义是期权买方向卖方支付一定费用后，获得了在未来某一特定时间以某一固定价格向期权卖方买进或者卖出某种商品的权力。其中买方支付的费用称为权力金，某种商品或证券称为标的资产，约定标的资产的固定价格成为行权价格，双方约定的未来某一特定时间称为到期日。到达到期日时，期权买方可以选择行权或者不行权，但是卖方有履行期权合约的义务。由于交易方式、标的资产类型、行权时间类型等方面的不同，产出了各式各样的期权。根据交易方式的差异，可将期权分为看涨期权和看跌期权。根据行权时间类型的差异，可分为欧式期权、美式期权和百慕大期权。2.1.2Black-Scholes期权定价模型期权定价理论是金融工程领域最核心的问题之一，期权的价格决定于标的资产价格和时间。设t时刻标的资产价格为，期权价格为，则存在函数使得。期权在到期日的价格等于期权的收益，即：其中T表示到期日，K表示行权价格。期权定价问题就是求解函数。1973年Black和Scholes构建了第一个期权定价模型，并给出了对应期权价格的解析解。该理论需要多个市场假设条件，具体如下：（1）市场是完全的，不存在无风险套利机会，没有买卖价差；（2）市场是无摩擦的，即不存在交易成本和税收成本；（3）所有资产是无限可分的，允许买空卖空；（4）标的资产没有分红或者派发股息；（5）无风险利率r为常数，投资者贷款和储蓄的利率均为无风险利率。在以上市场假设条件的基础之上，进一步假设标的资产价格服从几何布朗运动，即：（2.1.1）式中表示标的资产在t时刻的价格，表示标的资产的期望收益率，表示标的资产价格的波动率，表示标准布朗运动。根据伊藤—德布林公式，则：（2.1.2）带入式（2.1.1），得到：（2.1.3）在t时刻构造资产组合，使得。投资者持有份额的股票，并将剩余部分投资于货币市场账户，则：（2.1.4）根据伊藤-德布林公式，则：（2.1.5）即：（2.1.6）根据，由式（2.1.3）和（2.1.6）则有：（2.1.7）（2.1.8）本文在此仅讨论欧式看涨期权，考虑边界条件,由式（2.1.8）得到下列柯西问题：（2.1.9）求解上述偏微分方程，得到欧式看涨期权价格的解析解：（2.1.10）其中：且N为标准正态分布的概率分布函数:2.1.3Heston随机波动率模型 Heston模型是在Black-Scholes模型上改进而来，沿用了市场假设条件，并将固定的标的资产波动率波动率修改为随机波动率模型，假设标的资产为某一股票。假设股票价格和波动率服从以下随机过程：其中，表示股票收益率的期望，表示股票波动率回归的平均值，表示股票波动率回归均值的速度，表示股票波动率的波动率，和是布朗运动，表示两个布朗运动和的相关系数。此外还有第5个参数，表示波动率的初始值。为保证股票波动率恒为正值，参数应满足Feller条件，即：。根据上述方程，通过对冲原则，得到关于期权价格的偏微分方程，如下所示：（2.1.11）其中，表示无风险利率，表示波动率风险价格。根据Heston[5]的理论研究，可得到欧式看涨期权价格的解析解：（2.1.12）其中：当=1,2时，，，，，其中为波动率风险价格，表示的实部，为虚数单位。根据特征函数进行傅里叶逆变换得到分布函数。可以发现Heston模型给出的闭式解十分复杂，最困难的部分在于积分运算，其余均为简单运算。计算欧式看涨期权的价格需要确定其中6个参数的值，其中表示股票收益率的期望，表示股票波动率回归的平均值，表示股票波动率回归均值的速度，表示股票波动率的波动率，表示波动率的初始值，为标的资产波动率的风险价格。无法直接通过观测得到，因此对于估计参数是非常困难的，但Heston随机波动率理论假定风险溢价，可知只跟波动率有关，跟投资者自身的风险偏好无关，因此在风险中性条件下。在等价鞅测度下，风险中性世界的期权价格等价于现实世界的期权价格，因此模型中需要的参数变为5个。2.1.4Heston模型校正问题所谓模型校正指的是通过市场价格对金融模型中的参数进行估计和校正，在实际运用中，金融模型的市场校正与其模型本身同样重要。本文通过极小化期权理论价格与市场价的定价误差来估计这些参数，即：（2.1.13）其中表示所估计的参数，表示理论价格，表示市场价格，表示2-范数的平方。该问题是一个非线性最小二乘问题，即：（2.1.14）其中为模型校正的期权个数，和分别是第个期权的理论价格和市场价格，表示标的资产价格，表示行权价，表示剩余到期时间。本文同时使用了暴力演算形式的全局最优化和局部最优化算法。总体思路是先粗略扫描整个误差平面，然后在可能性较大的局部进行深挖。Python中Scipy包中的Optimize模块有大量全局最优化和局部最优化算法可供选择。2.2.嵌套LSTM神经网络模型循环神经网络由输入层、隐含层和输出层组成，具体表现形式是神经网络对前面的信息进行记忆并且将其运用于当前输出的计算中。循环神经网络采取了基于时间步长的方向传播算法，但在实际运用中可能会出现梯度爆炸以及梯度消失等情况，导致信息传播的衰减速度呈指数级增长，无法保留长时间的信息。这使得循环神经网络只能保留短时间内的信息。长短期记忆（LongShortTermMemory,LSTM）神经网络引入门机制来控制信息保留，门机制的存在使神经网络既能记忆时间距离较长的信息，又能选择性遗忘冗余信息。LSTM神经网络引入一组特殊的记忆单元模块来替换循隐含层神经元，记忆单元由输入门（InputGate）、遗忘门(ForgetGate)和输出门(OutputGate)组成。输入门控制当前时间输入信息，遗忘门决定当前输入信息是否被长期记忆，输出门控制当前记忆输出信息，以上三个门对LSTM单元建立了内部状态的自循环。下图2-1中矩形部分为LSTM神经网络的一个记忆单元，信息从输入层传入，分别会流入本记忆单元的门结构进行信息处理后，完成后传递至某一输出层的单元以及流入下一记忆单元单元。其工作机制如下图2-1所示：图2-1LSTM神经网络结构LSTM神经网络最大的优势在于通过门结构来控制信息的传递，门机构的存在使得LSTM神经网络可以在每一时刻控制记忆单元的状态，（1）遗忘门：遗忘门控制时刻的输入信息保留到时刻的单元状态，表达式如下所示：（2.2.1）其中，表示激活函数sigmoid函数，即：，表示遗忘门的权重矩阵，表示时刻的记忆单元输出信息和时刻的记忆单元输入信息拼接成的向量，表示偏置量。（2）输入门：输入门控制时刻的输入信息有多少保留到时刻的单元状态，时刻信息的更新过程表达式如下所示：（2.2.2）其中，表示sigmoid函数，表示输入门的权重矩阵，表示和拼接成的向量，表示偏置量。时刻的记忆单元输出信息和时刻的记忆单元输入信息共同决定时刻输入门的状态更新值：（2.2.3）其中表示激活函数，表示偏置量。时刻的单元状态更新值和时刻输入门的状态更新值共同决定当前记忆单元的状态更新值：（2.2.4）其中（2.2.4）式中的符号表示矩阵的Hadamard积。（3）输出门: 输出门控制时刻的单元状态有多少保留至时刻输出，表达式如下：（2.2.5）其中，表示sigmoid函数，表示输入门的权重矩阵，表示和拼接成的向量，表示偏置量。时刻输出门的状态更新值和单元状态更新值共同决定时刻的输出值，表达式如下：（2.2.6）LSTM模型虽然能捕捉序列历史信息，但目前的LSTM大多都是堆栈式的LSTM结构，即一系列LSTM结构一层一层堆栈起来处理信息。2017年JoelRubenAntonyMoniz和DavidKruege[18]提出了嵌套NLSTM神经网络结构（Nested-LSTM,NLSTM），即通过嵌套的方式增加深度。其工作机制如下图2-2所示：图2-2嵌套LSTM神经网络结构不同于LSTM神经网络结构，嵌套LSTM神经网络结构单元状态的更新方式为，它将代替LSTM神经网络中的加运算。所谓嵌套就是体现在用另一个LSTM神经网络单元来实现记忆函数，即记忆单元由一个LSTM神经网络结构得到，根据上述特征，嵌套LSTM神经网络中记忆函数的输入和隐含状态为：（2.2.7）（2.2.8）内部LSTM的状态和门控信息的更新过程为：（2.2.9）其中，，，，，分别表示时刻记忆函数的输出、输入、输入门、遗忘门、单元状态和输出门。当记忆函数是通过加运算得到时，嵌套LSTM网络则会退化为LSTM神经网络。相较于传统的LSTM神经网络，嵌套LSTM网络能处理更长时间的时间序列数据，实现更多的时间层级。实验表明，在相同的参数条件下，嵌套LSTM网络整体性能优于一般的堆栈式LSTM。3.期权定价模型的实证分析结果3.1.数据选择与处理 本文实证对象是上证50ETF看涨期权，于2015年2月19日在上海证券交易所正式上市，是国内首支场内期权，标的资产为上证50ETF。上证50ETF期权的行权方式是到期日行权，即为欧式期权，到期日为每个月的第4个星期三，在交收日进行交割，交收日为到期日的次一交易日，市场上正在交易的月份包括当月，下月以及随后两个季月。可分为看涨期权和看跌期权两种，在单个交易日内，投资者可双向持仓，收盘后交易系统自动进行对冲，合约主要内容如下表3-1所示：表3-1上证50ETF看涨期权合约主要内容合约标的上证50etf合约类型欧式看涨期权合约单位10000份到期月份当月、下月及随后两个季月行权价格9个（1个平值期权、4个实值期权和4个虚值期权）行权方式到期日行权交割方式以实物资产进行交割到期日到期月份的第四个星期三行权日同到期日交收日到期日的次一交易日交易时间上午9:15-9:25；9:30-11:30下午13:00-15:00最小报价0.0001元申报单位1张或其整数倍 本文的数据均来自于wind金融数据库，实证对象为上证50ETF看涨期权，时间跨度为2021年1月1日至2021年12月31日。本文从交易量，是否已退市，剩余到期日三个方向进行，具体为剔除包含交易量为0，剩余到期日不足1周或剩余到期日期在300天以上特点的期权数据。筛选后发现2021年12月22日到期的期权满足条件，具有代表性，因此选取了2021年4月29日至2021年12月14日，上证50ETF12月看涨期权的共2178个日交易数据。下表3-2给出部分数据示例：表3-2510050.SH数据示例交易时间期权结算价行权价无风险利率标的资产均价剩余到期时间2021-04-290.4423.12.585%3.4972372021-04-290.3743.22.585%3.4972372021-04-290.3133.32.585%3.4972372021-04-290.2613.42.585%3.4972372021-04-290.2123.52.585%3.4972372021-04-290.1733.62.585%3.4972372021-04-290.1403.72.585%3.4972372021-04-290.1123.82.585%3.4972372021-04-290.0883.92.585%3.4972372021-04-300.4263.12.580%3.487236表中给出在交易日上证50ETF看涨期权的相关信息，包括期权结算价，行权价，无风险利率，标的资产均价以及剩余到期时间，这些信息被用于BS模型，Heston模型，以及作为嵌套LSTM神经网络的输入变量。3.2.描述性统计 本文对标的资产和无风险收益率进行基本统计分析。上证50ETF价格走势如图3-1所示，样本区间为2021年4月29日至2021年12月14日，可以看到其价格整体上呈走低态势，约在5月27日价格达到最高为3.6609元，而后整体价格走低，在8月20日到达谷值为3.1236元，随后价格走势一直呈波动性变化。图3-1上证50ETF价格走势 再得到标的资产的对数收益率序列的走势图，具体结果如图3-2所示。图3-2上证50ETF日对数收益率走势 从图3-2可以直观的看到，对数收益率一直呈现上下波动状态，并未出现某种趋势，即对数收益率是平稳的。 在期权定价模型中，无风险利率是一个重要参数，是构建对冲资产组合的前提条件，假设它是一个常数，近年来学者们对其进行改进，可以针对随机波动的无风险利率进行建模。由于无风险利率是不可测的，需选择相应的利率来替代无风险利率，本文选取3个月的SHIBOR，即上海银行间同业拆放利率作为无风险利率，利率走势如图3-3所示。图3-33个月SHIBOR走势图SHIBOR一开始持续走低，在8月20号到达谷值2.3530%，随后整体呈上涨趋势，但仍低于初始水平。3.3精度评价指标 本文考虑3种精度评价指标对各个模型的精度进行了比较，即均方误差（MeanSquaredErorr,MSE），平均绝对误差(MeanAbsoluteDeviation,MAE)和平均绝对百分比误差(MeanAbsolutePercentageErorr,MAPE)。具体表达式分别如下：（3.3.1）（3.3.2）（3.3.3）式中是第期模型预测值，是第期真实值，是样本数量。 MSE是计算预测值与真实值间误差平方和的大小，MAE是计算预测值与真实值间误差绝对值和的大小，MPAE是计算预测值与真实值间相对误差绝对值和的大小。本文综合考虑所有评价指标以评估模型的准确性。3.4传统期权定价模型实证结果本文重点关注了BS期权定价模型和Heston期权定价模型这两种定价模型，后者在前者的基础上对波动率为常数的假设进行改进，构建了随机波动率模型。对于BS期权定价模型，期权价格公式中的五种变量中只有标的资产波动率无法直接观测得到，因此标的资产波动率的估计是模型的核心问题。常见的方式是采用历史波动率，前期隐含波动率或GRACH波动率等变量进行替代，本文选择年化历史波动率代替。历史波动率为标的资产在一定期限内对数收益率的标准差，即：（3.4.1）（3.4.2）（3.4.3）其中为第期标的资产价格，为其对数收益率，为标的资产的日历史波动率，（3.4.4）为标的资产的年化历史波动率，用于代替标的资产波动率。 2021年12月到期的上证50ETF看涨期权在BS定价模型下的理论价格与实际市场价格的对比图如图3-4所示。图3-4：BS定价模型下的期权价格直观上可以发现BS定价模型与市场价存在着较为明显的差异，特别是在前期，理论价明显低于市场价，随后理论价整体上趋于市场价，原因可能是在前期上证50ETF看涨期权的剩余到期时间过长，投资者认为有利可图，能够对冲其他金融资产的风险，因此在主观上影响了投资者的决策，进而导致期权市场价格偏高。Heston期权定价模型的核心问题是参数的估计，模型中有5个未知参数，本文通过极小化期权理论价格与市场价的误差函数来估计这些参数。本文同时使用了暴力演算形式的全局最优化和局部最优化算法，本文未关注于比较不同优化算法的性能优劣，这不是本文的主要内容，旨在计算出Heston定价模型的5个未知参数即可，利用PythonScipy包中的Optimize模块得到参数估计值为:2021年12月到期的上证50ETF看涨期权在Heston定价模型下的理论价格与实际市场价格的对比图如下图3-5所示。图3-5Heston模型的期权理论价格直观上看出Heston模型的结果明显好于BS模型，但在部分区域仍与市场价存在这较为明显的价格误差。 为进一步检验Heston模型和BS模型定价的精准性，本文考虑上述性能评价指标，计算了对应的指标。具体结果如表3-3所示：表3-3模型定价的精准性检验模型MSEMAEMAPEBS0.0031890.0401730.629221Heston0.0001660.0087080.196495由此可以看出，本文的Heston模型三种精度评级指标都比B-S模型低，说明Heston模型定价精准性高于B-S模型。3.5嵌套LSTM神经网络混合定价模型实证结果上述两种期权定价模型的MAPE较大，而MSE和MAE都较小，本文考虑在两种模型的基础上，引入嵌套LSTM神经网络，将影响期权的变量和期权的理论价格作为输入变量，将市场价和理论价之差作为输出变量，通过数据进行自我学习以修正理论价格，到达减小误差的目的。本文将期权理论价格和理论上影响期权价格的因素，即无风险利率，标的资产价格，剩余到期时间，标的资产波动率，行权价作为输入变量，期权实际价格与理论价格之差作为输出变量，通过嵌套LSTM神经网络生成的价格误差用于修正理论价格，提高模型预测精度。由于数据样本较少，本文参考了K折交叉验证法的思想，本文随机选择1800条数据作为训练集，200条数据作为验证集，余下数据作为样本外的测试集。多次重复上述过程，以证实模型的可行性。3.5.1样本内拟合误差本文的模型包涵一层嵌套LSTM神经网络，函数作为三个门的激活函数，函数作为隐含层和输出层的激活函数，模型优化函数为Adam。为确定隐藏层神经元个数和学习率，固定迭代次数为800次，使神经元个数在区间内以10为间隔进行变动，学习率在区间内以0.001为间隔进行变动，多次实验后确定嵌套LSTM神经网络的隐含神经元个数分别为128和64，学习率为0.01，损失函数为均方误差MSE。为避免模型出现过拟合问题，本文采用Dropout的正则化技术，即对神经元进行概率性失活处理，随机剔除一些神经元，仅训练剩余的神经元，选取Dropout率为0.2。除了神经网络参数的设置外，还需要每次样本集数据大小(Batch-size)和训练次数(Epoch)。Batch-size的选择包括32，64和128三种，Epoch通过Loss曲线确定。通过多次实验确定BS-NLSTM模型的Batch-size为128，Loss值曲线如下图3-6所示：图3-6BS-NLSTM模型的Loss值曲线可以发现当Epoch为20时曲线趋于稳定，且没有出现模型过拟合的问题。得到验证集的结果如图3-7所示。图3-7BS-NLSTM模型上证50ETF期权定价误差的预测直观上看到LSTM神经网络对定价误差进行预测的过程中，既有改进的部分，也有恶化的部分。在Heston模型的基础上，用相同参数设置对定价误差进行训练，通过多次实验确定BS-NLSTM模型的Batch-size为64，Loss值曲线如下图3-8所示：图3-8Heston-NLSTM模型的Loss值曲线并预测验证集的期权价格定价误差，结果如图3.9所示：图3-9Hesto-NLSTM模型上证50ETF期权定价误差的预测同样的，直观上看到LSTM神经网络对Heston模型定价误差进行预测的过程中，既有改进的部分，也有恶化的部分。可以看出Heston模型得到的期权理论价格整体误差较小，因此对于某些极端误差较大的情况下，预测能力较弱。 两种模型在直观上均得到了一定程度的改进，为进一步检验经嵌套LSTM神经网络模型修正后的模型定价的精准性，本文考虑上述三种性能评价指标，并分析了它们误差结果。具体结果如表3-4所示：表3-44种模型对验证集期权价格预测结果的定价误差模型MSEMAEMAPEBS0.0034460.0393010.669959Heston0.0001420.0077070.221445BS-NLSTM0.0006310.0198441.943661Heston-LSTM0.0001070.0071290.494448 可以看出，通过嵌套LSTM神经网络对期权理论价格的修正，两种期权定价模型的MSE和MPAE均减小，说明嵌套LSTM神经网络能促进期权理论价格的修正。但MAPE却大大增加，考虑到MAPE计算的是相对误差，而上证50ET看涨期权的价格较低，因此可能会造成较大误差。3.5.2样本外预测误差通过样本内数据集训练得到的嵌套LSTM神经网络，用得到的定价误差对理论价格进行修正，并将修正后的期权价格与期权实际价格做对比，得到BS模型和BS-NLSTM模型的理论值与真实值的结果如图3-10所示：图3-10BS模型和BS-NLSTM模型的理论值与真实值可以看出BS模型期权理论价格在嵌套LSTM神经网络下得到一定程度的改进，但在部分样本区间内拟合效果却恶化。Heston模型和Heston-NLSTM模型的理论值与真实值的结果如图3-11所示：图3-11Heston模型和Heston-NLSTM模型的理论值与真实值由图可以看出Heston模型期权理论价格在嵌套LSTM神经网络下得到改进,更加逼近证实值的情况。为进一步检验经嵌套LSTM神经网络修正后的模型定价的精准性，本文同样计算上述三种性能评价指标，并分析了它们误差结果。具体结果如表3-5所示：表3-54种模型对样本外预测集期权价格预测结果的定价误差模型MSEMAEMAPEBS0.0029520.0388340.653631BS-LSTM0.0007330.0221281.792836Heston0.0001840.0088330.190025Heston-LSTM0.0001460.0081560.454766从上表中直观看出，通过LSTM神经网络对期权理论价格的修正，两种期权定价模型的MSE和MPAE均减小，并且其中Heston-LSTM模型的MSE和MAE是最小的，说明了该模型在期权定价研究方向上具备一定优越性。4.总结与不足4.1本文总结本文首先介绍了BS期权定价模型和Heston期权定价模型，并将传统期权定价模型与LSTM神经网络模型结合，构造一种混合建模方法预测期权价格。将根据期权定价模型得出的理论价格以及模型的相关参数作为输入变量，以理论期权价格与市场价的误差为输出变量，构建嵌套LSTM神经网络模型，达到能动态修正期权价格的目的。最后以上证50ETF看涨期权为研究对象进行实证研究，并和传统BS期权定价模型以及Heston定价模型比较。本文的实证对象为上证50ETF看涨期权，选取了2021年4月29日至2021年12月14日，上证50ETF12月看涨期权共2178个日交易数据，标的资产上证50ETF的日数据以及3个月的SHIBOR的日数据。根据已有数据，借助python软件，拟合出BS和Heston模型的参数，从而得到期权的理论价格，并发现Heston模型准确性优于BS模型。通过样本内数据训练得到的嵌套LSTM神经网络，本文将它用于预测理论价与市场价的误差，得到了Heston-NLSTM模型和BS-NLSTM模型，预测结果显表明通过定价误差修正后的理论价更接近与市场价，且Heston-NLSTM模型的定价效果最好，误差最小。5.2研究局限性与展望上证50ETF期权是我国在2015年推出的首支场内期权期权，本文仅仅考虑了理论上影响期权价格的因素，宏观经济条件和投资者的主观判断同样会对期权价格造成影响，如投资者情绪，交易量，持仓量，宏观经济变量等因素为考虑到NLSTM神经网络的输入变量中。Heston期权定价模型的核心在于参数估计，本主通过非线性最小二乘法采用暴力求解的方法进行估计。这本质上是一个优化问题，整个求解过程计算量巨大且计算时间较长，当面对较大数据样本时，这种方法存在较大局限性，且不能运用于实际交易。希望进行更深入的理论研究，提出更精确且高效的优化算法。参考文献[1]BachelierL.AnnalesdeI'ecoleNormaleSuperieure.EnglishTranslationintheRandomCharacterofStockMarketPrices[D].Cambridge:MITPress,1964.[2]BlackF,ScholesM.ThePricingofOptionsandCorporateLiabilities[J].JournalofPoliticalEconomy,1973，81(3):637-654.[3]MertonRC.OptionPricingwhenUnderlyingStockReturnsareDiscontinuous[J]