江苏省泰州市靖江高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学 含解析

江苏省泰州市靖江高级中学20232024学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（每题1分，共5分）1.已知函数\(f(x)=2x^23x+1\)，其对称轴为\(x=\)（）A.1B.1C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{1}{2}\)2.在直角坐标系中，点\(P(2,3)\)关于直线\(y=x\)的对称点坐标为（）A.(3,2)B.(2,3)C.(3,2)D.(2,3)3.已知复数\(z=3+4i\)，则其共轭复数\(\overline{z}\)为（）A.34iB.3+4iC.34iD.3+4i4.设\(\alpha\)是锐角，若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，则\(\cos\alpha\)的值为（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{3}{4}\)5.已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(4,1)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值为（）A.5B.5C.10D.10二、判断题（每题1分，共5分）1.函数\(y=x^3\)在\(x>0\)时单调递增。（）2.平行四边形的对角线互相垂直，则该平行四边形一定是菱形。（）3.当\(a>b\)时，\(\log_2a>\log_2b\)。（）4.对于任意实数\(x\)，函数\(y=\sqrt{x^2}\)的值域为\([0,+\infty)\)。（）5.若\(\tan\alpha=1\)，则\(\alpha\)的值为\(45^\circ\)。（）三、填空题（每题1分，共5分）1.函数\(y=2x1\)的图像是经过点\((0,1)\)的______直线。2.已知\(\cos\theta=\frac{1}{2}\)，且\(\theta\)在第二象限，则\(\sin\theta=\)______。3.若\(a^2+b^2=25\)且\(ab=10\)，则\(ab\)的值为______。4.向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,1)\)，则\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角余弦值为______。5.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n=\frac{n(2n+1)}{2}\)，则该数列的通项公式为______。四、简答题（每题2分，共10分）1.已知\(f(x)=x^24x+3\)，求\(f(x)\)的极值。2.已知直线\(l:2x3y+1=0\)和圆\(C:(x1)^2+(y+2)^2=25\)，求直线\(l\)与圆\(C\)的交点坐标。3.设\(\vec{a}=(3,2)\)，\(\vec{b}=(1,4)\)，求向量\(\vec{a}+\vec{b}\)的坐标。4.已知\(\log_28=3\)，求\(\log_216\)的值。5.已知等差数列\(\{a_n\}\)的首项为2，公差为3，求该数列的前5项和。五、应用题（每题2分，共10分）1.某工厂生产某种产品，每件成本为20元，售价为50元。若每天生产\(x\)件，则利润为\(y\)元。求\(y\)关于\(x\)的函数关系式。2.已知\(\cos\theta=\frac{1}{2}\)，求\(\sin2\theta\)的值。3.某商店销售两种商品，甲商品每件利润为5元，乙商品每件利润为10元。若商店每天销售甲商品\(x\)件，乙商品\(y\)件，则总利润为\(z\)元。求\(z\)关于\(x\)和\(y\)的函数关系式。4.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\)，求该数列的通项公式。5.已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(4,1)\)，求向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角。六、分析题（每题5分，共10分）1.已知函数\(f(x)=x^33x^2+2x\)，分析该函数的单调性。2.已知圆\(C:(x2)^2+(y3)^2=16\)，直线\(l:y=mx+1\)与圆\(C\)相切，求实数\(m\)的值。七、实践操作题（每题5分，共10分）1.在平面直角坐标系中，已知点\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，\(C(5,2)\)。求证：三角形\(ABC\)是等腰三角形。2.已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(4,1)\)，求向量\(\vec{a}\)在\(\vec{b}\)上的投影长度。答案解析1.选择题1.C2.A3.A4.A5.B2.判断题1.正确2.错误3.正确4.正确5.错误3.填空题1.下降2.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)3.\(\pm5\)4.\(\frac{4}{5}\)5.\(a_n=2n1\)4.简答题1.极小值\(f(1)=0\)，极大值\(f(2)=2\)。2.解方程组\(\begin{cases}2x3y+1=0\\(x1)^2+(y+2)^2=25\end{cases}\)得交点坐标。3.\(\vec{a}+\vec{b}=(4,2)\)。4.\(\log_216=4\)。5.\(S_5=35\)。5.应用题1.\(y=30x20x\)。2.\(\sin2\theta=\frac{3}{4}\)。3.\(z=5x+10y\)。4.\(a_n=n\)。5.夹角为\(60^\circ\)。6.分析题1.\(f(x)\)在\(x<1\)时单调递增，在\(x>1\)时单调递减。2.\(m=\pm\frac{4}{3}\)。7.实践操作题1.证明\(AB=BC\)。2.投影长度为\(\frac{6}{5}\)。八、专业设计题（每题2分，共10分）1.设计题1：已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)的顶点坐标为\((1,4)\)，且\(f(0)=3\)。请写出该函数的解析式，并绘制其图像。2.设计题2：设计一个关于等差数列的数学实验，通过实验探究等差数列前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\)的正确性。3.设计题3：给定函数\(g(x)=\frac{1}{x^24}\)，请设计一个程序（不使用代码），用于计算当\(x\)从10到10时，函数值的变化情况，并绘制其图像。4.设计题4：设计一个数学游戏，利用概率论的基本知识，让玩家通过投掷骰子决定胜负。请详细描述游戏规则及计算胜负概率的公式。5.设计题5：设计一个关于空间几何的模型，通过模型展示三棱锥的表面积和体积的计算过程。九、概念解释题（每题2分，共10分）1.解释题1：请解释“等差数列”的定义及其通项公式。2.解释题2：请解释“三角函数”的定义，并举例说明正弦函数和余弦函数的基本性质。3.解释题3：请解释“函数的单调性”的定义，并举例说明单调递增和单调递减的函数。4.解释题4：请解释“排列组合”的定义，并举例说明排列与组合的区别。5.解释题5：请解释“概率”的定义，并举例说明古典概型中的概率计算方法。十、思考题（每题2分，共10分）1.思考题1：已知函数\(f(x)=x^33x+2\)，请思考如何通过导数判断其单调性。2.思考题2：请思考如何利用三角函数公式证明\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)。3.思考题3：请思考如何利用数列的性质解决实际问题，例如计算贷款的等额本息还款计划。4.思考题4：请思考如何通过数学建模解决生活中的优化问题，例如最短路径问题。5.思考题5：请思考如何利用概率论解释天气预报中“降水概率”的含义。十一、社会扩展题（每题3分，共15