2024高中数学第二章概率2.6正态分布精练含解析北师大版选修2-3

PAGE1-§6正态分布A组1.下列函数是正态分布密度函数的是()A.f(x)=,μ和σ(σ>0)都是实数B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=解析:依据正态分布密度函数f(x)=进行推断.答案:B2.设随机变量ξ听从正态分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),则c=()A.1 B.2 C.3 D.4解析:因为ξ~N(2,9),所以正态密度曲线关于x=2对称,又概率表示它与x轴所围成的面积,所以=2,所以c=2.答案:B3.听从正态分布N(0,1)的随机变量X在区间(-2,-1)和(1,2)内取值的概率分别为P1,P2,则()A.P1>P2 B.P1<P2C.P1=P2 D.不确定解析:∵X~N(0,1),∴正态曲线关于y轴对称.∴随机变量在(-2,-1)和(1,2)内取值的概率相等,即P1=P2.答案:C4.已知随机变量ξ听从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ<0)=()A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.84解析:由ξ~N(2,σ2),可知正态曲线的对称轴为直线x=2,易知P(ξ<0)=P(ξ>4)=1-P(ξ≤4)=1-0.84=0.16.答案:A5.在正态分布N中,随机变量在(-∞,-1)∪(1,+∞)内的概率为()A.0.997 B.0.046C.0.03 D.0.003解析:∵μ=0,σ=,∴P(x<-1或x>1)=1-P(-1≤x≤1)=1-P(μ-3σ≤x≤μ+3σ)=1-0.997=0.003.答案:D6.在某项测量中,测量结果ξ听从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为.

解析:∵ξ听从正态分布N(1,σ2),∴ξ在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同,均为0.4.∴ξ在(0,2)内取值概率为0.4+0.4=0.8.答案:0.87.若随机变量X的概率分布密度函数是φμ,σ(x)=(x∈R),则E(2X-1)=.

解析:∵σ=2,μ=-2,∴EX=-2.∴E(2X-1)=2EX-1=2×(-2)-1=-5.答案:-58.在一次测试中,测量结果X听从正态分布N(2,σ2)(σ>0),若X在(0,2)内取值的概率为0.2,求:(1)X在(0,4)内取值的概率;(2)P(X>4).解(1)由X~N(2,σ2),得对称轴为x=2,画出示意图,∵P(0<X<2)=P(2<X<4),∴P(0<X<4)=2P(0<X<2)=2×0.2=0.4.(2)P(X>4)=[1-P(0<X<4)]=×(1-0.4)=0.3.9.已知某地农夫工年均收入ξ听从正态分布,某密度函数图像如图所示.(1)写出此地农夫工年均收入的概率密度曲线函数式;(2)求此地农夫工年均收入在8000~8500元之间的人数百分比.解设农夫工年均收入ξ~N(μ,σ2),结合图像可知μ=8000,σ=500.(1)此地农夫工年均收入的正态分布密度函数表达式为P(x)=,x∈(-∞,+∞).(2)∵P(7500<ξ≤8500)=P(8000-500<ξ≤8000+500)=0.683,∴P(8000<ξ≤8500)=P(7500<ξ≤8500)=0.3415.∴此地农夫工年均收入在8000~8500元之间的人数百分比为34.15%.B组1.设随机变量X听从正态分布N,集合A={x|x>X},集合B=,则A⊆B的概率为()A. B. C. D.解析:由A⊆B得X≥.∵μ=,∴P.答案:C2.关于正态曲线的性质:①曲线关于直线x=μ对称,并且曲线在x轴上方;②曲线关于y轴对称,且曲线的最高点的坐标是;③曲线最高点的纵坐标是,且曲线无最低点;④σ越大,曲线越“高瘦”;σ越小,曲线越“矮胖”.其中正确的是()A.①② B.②③ C.④③ D.①③答案:D3.(2024·武汉市重点中学高二期末联考)随机变量ξ~N(2,10),若ξ落在区间(-∞,k)和(k,+∞)的概率相等,则k等于()A.1 B.10 C.2 D.解析:∵区间(-∞,k)和(k,+∞)关于x=k对称,∴x=k为正态曲线的对称轴,∴k=2,故选C.答案:C4.某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成果听从正态分布,其密度函数为f(x)=(x∈R),则下列命题不正确的是()A.该市这次考试的数学平均成果为80分B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D.该市这次考试的数学成果方差为100解析:因为μ=80,σ=10,所以A,D正确,依据3σ原则知C正确.答案:B5.已知X~N(0,1),则X在区间(-∞,-2)内取值的概率为.

解析:因为X~N(0,1),所以X在区间(-∞,-2)和(2,+∞)内取值的概率相等.又知X在(-2,2)内取值的概率是0.954,所以X在(-∞,-2)内取值的概率为=0.023.答案:0.0236.已知随机变量ξ听从正态分布N(μ,σ2),且P(ξ<1)=,P(ξ>2)=0.4,则P(0<ξ<1)=.

解析:由P(ξ<1)=得μ=1,所以随机变量ξ听从正态分布N(1,σ2),所以曲线关于x=1对称.因为P(ξ<2)=0.6,所以P(0<ξ<1)=0.6-0.5=0.1.答案:0.17.导学号43944046假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是听从正态分布N(800,502)的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值;(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.683,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997)(2)某客运公司用A,B两种型号的车辆担当甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天来回一次.A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?解(1)由于随机变量X听从正态分布N(800,502),故有μ=800,σ=50,P(700<X≤900)=0.954.由正态分布的对称性,可得p0=P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<X≤900)=P(700<X≤900)=0.977.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x,y,则相应的营运成本为(1600x+2400y)元.依题意,x,y还需满意:x+y≤21,y≤x+7,P(X≤36x+60y)≥p0.由(1)知,p0=P(X≤900),故P(X≤36x+60y)≥p0等价于36x+60y≥900.于是原问题等价于求满意约束条件且使目标函数z=1600x+2400y达到最小的x,y.作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6).由图可知,当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时,直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小,即z取得最小值.故应配备A型车5辆、B型车12辆.8.导学号43944047为了解一种植物的生长状况,抽取一批该植物样本测量高度(单位:cm),其频率分布直方图如图所示.(1)求该植物样本高度的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)假设该植物的高度Z听从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2,利用该正态分布求P(64.5<Z<96).附:≈10.5,若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.683,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954.解(1)=55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.05=75,s2=(55-75)2×0.1+(65-75)2×0.2+(75-75)2×0.35+(85-75)2×0.3+(95-75)2×0.05=110.(2)