2025年考研信号与系统傅里叶变换真题试卷解析

2025年考研信号与系统傅里叶变换真题试卷解析一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1.下列哪个函数是周期函数？A.f(t)=e^(-t)B.f(t)=sin(2πt)C.f(t)=t^2D.f(t)=|t|2.下列哪个函数是偶函数？A.f(t)=sin(2πt)B.f(t)=cos(2πt)C.f(t)=e^(-t)D.f(t)=|t|3.下列哪个函数是奇函数？A.f(t)=sin(2πt)B.f(t)=cos(2πt)C.f(t)=e^(-t)D.f(t)=|t|4.下列哪个函数是实函数？A.f(t)=sin(2πt)B.f(t)=cos(2πt)C.f(t)=e^(-t)D.f(t)=|t|5.下列哪个函数是复函数？A.f(t)=sin(2πt)B.f(t)=cos(2πt)C.f(t)=e^(-t)D.f(t)=|t|6.下列哪个函数是时域连续函数？A.f(t)=sin(2πt)B.f(t)=cos(2πt)C.f(t)=e^(-t)D.f(t)=|t|7.下列哪个函数是时域离散函数？A.f(t)=sin(2πt)B.f(t)=cos(2πt)C.f(t)=e^(-t)D.f(t)=|t|8.下列哪个函数是周期离散函数？A.f(t)=sin(2πt)B.f(t)=cos(2πt)C.f(t)=e^(-t)D.f(t)=|t|9.下列哪个函数是实频域函数？A.f(t)=sin(2πt)B.f(t)=cos(2πt)C.f(t)=e^(-t)D.f(t)=|t|10.下列哪个函数是复频域函数？A.f(t)=sin(2πt)B.f(t)=cos(2πt)C.f(t)=e^(-t)D.f(t)=|t|二、填空题（共10题，每题2分，共20分）1.信号与系统的基本概念包括：时域、频域、线性、时不变、因果等。2.傅里叶变换的基本公式为：F{f(t)}=∫f(t)e^(-jωt)dt。3.傅里叶变换的逆变换公式为：f(t)=(1/2π)∫F{f(t)}e^(jωt)dω。4.傅里叶变换的性质包括：时域卷积定理、频域卷积定理、时域平移定理、频域平移定理等。5.傅里叶变换的时域微分定理为：f'(t)↔jωF{f(t)}。6.傅里叶变换的频域微分定理为：dωF{f(t)}↔-jtf(t)。7.傅里叶变换的时域积分定理为：∫f(t)dt↔(1/2π)F{f(t)}。8.傅里叶变换的频域积分定理为：∫F{f(t)}dω↔(1/2π)f(t)。9.傅里叶变换的时域反转定理为：f(-t)↔F{f(t)}。10.傅里叶变换的频域反转定理为：F{f(t)}↔F{f(-t)}。三、计算题（共10题，每题5分，共50分）1.已知函数f(t)=e^(-at)u(t)，其中a>0，求其傅里叶变换F{f(t)}。2.已知函数f(t)=t^2u(t)，求其傅里叶变换F{f(t)}。3.已知函数f(t)=cos(2πt)u(t)，求其傅里叶变换F{f(t)}。4.已知函数f(t)=e^(-at)sin(2πt)u(t)，其中a>0，求其傅里叶变换F{f(t)}。5.已知函数f(t)=t^3u(t)，求其傅里叶变换F{f(t)}。6.已知函数f(t)=cos(3πt)sin(2πt)u(t)，求其傅里叶变换F{f(t)}。7.已知函数f(t)=e^(-at)sin(2πt)u(t)，其中a>0，求其傅里叶逆变换f(t)。8.已知函数f(t)=t^2u(t)，求其傅里叶逆变换f(t)。9.已知函数f(t)=cos(2πt)u(t)，求其傅里叶逆变换f(t)。10.已知函数f(t)=e^(-at)sin(2πt)u(t)，其中a>0，求其傅里叶逆变换f(t)。四、证明题（共1题，共10分）4.证明傅里叶变换的时域卷积定理：若f(t)和g(t)是两个实函数，则它们的时域卷积等于它们频域乘积的逆变换，即(f*g)(t)=(1/2π)∫F{f(τ)}F{g(t-τ)}dτ。五、应用题（共1题，共10分）5.已知信号f(t)=e^(-at)u(t)，其中a>0，求其频域函数F{f(t)}，并分析其频谱特性。六、综合题（共1题，共20分）6.设信号f(t)=t^2u(t)，其中u(t)为单位阶跃函数，求其傅里叶变换F{f(t)}，并画出其频谱图。接着，对f(t)进行频域卷积操作，设卷积函数为g(t)=e^(-t)u(t)，求卷积结果f(t)*g(t)的时域表达式，并分析其特性。本次试卷答案如下：一、选择题1.B解析：周期函数满足f(t+T)=f(t)，其中T为周期。sin(2πt)是周期函数，周期为T=2π。2.B解析：偶函数满足f(-t)=f(t)。cos(2πt)是偶函数，因为cos(-2πt)=cos(2πt)。3.A解析：奇函数满足f(-t)=-f(t)。sin(2πt)是奇函数，因为sin(-2πt)=-sin(2πt)。4.A解析：实函数是定义在实数域上的函数。sin(2πt)是实函数。5.D解析：复函数是定义在复数域上的函数。|t|是复函数，因为可以取复数值。6.B解析：时域连续函数在其定义域内没有间断点。sin(2πt)是时域连续函数。7.A解析：时域离散函数是在离散时间点上有定义的函数。sin(2πt)在离散时间点上有定义。8.A解析：周期离散函数满足f(nT+k)=f(nT+k-T)，其中n和k是整数。sin(2πt)满足此性质。9.A解析：实频域函数的频谱是实数。sin(2πt)的频谱是实数。10.B解析：复频域函数的频谱是复数。cos(2πt)的频谱是复数。二、填空题1.信号与系统的基本概念包括：时域、频域、线性、时不变、因果等。2.傅里叶变换的基本公式为：F{f(t)}=∫f(t)e^(-jωt)dt。3.傅里叶变换的逆变换公式为：f(t)=(1/2π)∫F{f(t)}e^(jωt)dω。4.傅里叶变换的性质包括：时域卷积定理、频域卷积定理、时域平移定理、频域平移定理等。5.傅里叶变换的时域微分定理为：f'(t)↔jωF{f(t)}。6.傅里叶变换的频域微分定理为：dωF{f(t)}↔-jtf(t)。7.傅里叶变换的时域积分定理为：∫f(t)dt↔(1/2π)F{f(t)}。8.傅里叶变换的频域积分定理为：∫F{f(t)}dω↔(1/2π)f(t)。9.傅里叶变换的时域反转定理为：f(-t)↔F{f(t)}。10.傅里叶变换的频域反转定理为：F{f(t)}↔F{f(-t)}。三、计算题1.解：F{f(t)}=(1/a-jω)e^(-jωa)u(-jω)解析：使用傅里叶变换的定义，将f(t)代入公式计算得到结果。2.解：F{f(t)}=(2jω/ω^3)u(-jω)解析：使用傅里叶变换的定义，将f(t)代入公式计算得到结果。3.解：F{f(t)}=πδ(ω-1)+πδ(ω+1)解析：使用傅里叶变换的性质和狄拉克δ函数，将f(t)代入公式计算得到结果。4.解：F{f(t)}=(1/a-jω)e^(-jωa)u(-jω)解析：使用傅里叶变换的性质，将f(t)代入公式计算得到结果。5.解：F{f(t)}=(2jω/ω^3)u(-jω)解析：使用傅里叶变换的性质，将f(t)代入公式计算得到结果。6.解：F{f(t)}=πδ(ω-3)+πδ(ω+1)解析：使用傅里叶变换的性质和狄拉克δ函数，将f(t)代入公式计算得到结果。7.解：f(t)=(1/a+jω)e^(jωa)u(jω)解析：使用傅里叶逆变换的定义，将F{f(t)}代入公式计算得到结果。8.解：f(t)=(1/2)τ^2u(τ)解析：使用傅里叶逆变换的性质，将F{f(t)}代入公式计算得到结果。9.解：f(t)=cos(2πt)u(t)解析：使用傅里叶逆变换的性质，将F{f(t)}代入公式计算得到结果。10.解：f(t)=(1/a+jω)e^(jωa)u(jω)解析：使用傅里叶逆变换的性质，将F{f(t)}代入公式计算得到结果。四、证明题4.解：证明：设F{f(t)}=F1(ω)和F{g(t)}=F2(ω)，则有f(t)*g(t)=(1/2π)∫F1(ω)F2(ω)e^(jωt)dω。根据傅里叶变换的定义，对上式进行傅里叶变换得到：F{f(t)*g(t)}=F1(ω)F2(ω)。由于F{f(t)*g(t)}=F{f(t)}*F{g(t)}，所以有F1(ω)F2(ω)=(1/2π)∫F1(ω)F2(ω)e^(jωt)dω。对上式两边同时取傅里叶逆变换得到：f(t)*g(t)=(1/2π)∫F1(ω)F2(ω)e^(jωt)dω。证毕。五、应用题5.解：F{f(t)}=(1/a-jω)e^(-jωa)u(-jω)，频谱特性：当ω=0时，幅度为1/a，随着ω增加，幅度逐渐减小。解析：使用傅里叶变换的性质和单位阶跃函数的