福建省三明市泰宁县第一中学2013-2014学年高二上学期第二次阶段考试（数学文）

福建省三明市泰宁县第一中学2013-2014学年高二上学期第二次阶段考试（数学文）一、选择题要求：从每题给出的四个选项中，选出正确的一个。1.已知函数$f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{3})$，那么函数的周期$T$为：A.$2\pi$B.$\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{\pi}{3}$2.设$a,b,c$是等差数列，且$a+b+c=0$，那么$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}$的值为：A.2B.3C.4D.5二、填空题要求：直接写出答案。3.设复数$z=a+bi$（其中$a,b$为实数），若$z^2+2iz=4i$，则实数$a$的值为______。4.若函数$f(x)=x^3-3x+1$的图像与$x$轴的交点个数为______。三、解答题要求：写出解答过程。5.（本小题满分12分）已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1=1$，$S_{n+1}-S_n=2n+1$，求$\{a_n\}$的通项公式。（1）求$a_2$的值。（4分）（2）证明$\{a_n\}$是等差数列。（4分）（3）求$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$。（4分）四、解答题要求：写出解答过程。6.（本小题满分12分）已知函数$f(x)=\ln(x+1)-x$，其中$x>0$，求函数$f(x)$的极值及极值点。（1）求函数$f(x)$的导数$f'(x)$。（4分）（2）判断函数$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上的单调性。（4分）（3）求函数$f(x)$的极值及极值点。（4分）五、解答题要求：写出解答过程。7.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的右焦点为$F(ae,0)$，其中$e$为椭圆的离心率，且$a^2=3b^2$，直线$l$与椭圆相交于$A,B$两点，直线$l$的方程为$y=kx+m$。（1）求椭圆的方程。（4分）（2）求直线$l$与椭圆的交点坐标。（4分）（3）求弦$AB$的长度。（4分）六、解答题要求：写出解答过程。8.（本小题满分12分）设数列$\{a_n\}$满足递推关系$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$，且$a_1=1$。（1）证明数列$\{a_n\}$是单调递增的。（4分）（2）求$\lim_{n\to\infty}a_n$。（4分）（3）求$\sum_{i=1}^na_i$的表达式。（4分）本次试卷答案如下：一、选择题1.B解析：周期函数的周期$T$是函数在一个周期内的最小正周期，对于正弦函数$\sin(x)$，其周期为$2\pi$，所以函数$f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{3})$的周期也是$2\pi$。2.B解析：由等差数列的性质知，$a+b+c=3a+3d=0$，解得$a=-d$。所以$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}=2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)=2\left(\frac{a^2+b^2}{ab}\right)=2\left(\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}\right)=2\left(\frac{(-d+b)^2-2ab}{ab}\right)=2\left(\frac{(-d)^2}{ab}\right)=2\cdot3=6$。二、填空题3.0解析：由$z^2+2iz=4i$得$(a+bi)^2+2i(a+bi)=4i$，即$a^2-b^2+2abi+2ai+2b^2=4i$。比较实部和虚部，得到$a^2-b^2+2b^2=0$和$(2a+2b)i=4i$，解得$a=0$，$b=2$。4.1解析：令$f(x)=x^3-3x+1=0$，求导得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=\pm1$。当$x=-1$时，$f''(x)=6x>0$，故$x=-1$是$f(x)$的极小值点；当$x=1$时，$f''(x)=6x>0$，故$x=1$是$f(x)$的极大值点。由于$f(-1)=f(1)=1$，且$f(x)$是三次函数，因此图像与$x$轴只有一个交点。三、解答题5.（1）由$S_{n+1}-S_n=2n+1$，得$a_{n+1}=2n+1$。因为$a_1=1$，所以$a_2=3$。（2）由（1）知$a_n=2n-1$，所以$a_{n+1}-a_n=2$，即$\{a_n\}$是公差为2的等差数列。（3）等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{n}{2}(1+(2n-1))=n^2$。四、解答题6.（1）$f'(x)=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}$。（2）当$x>0$时，$f'(x)<0$，函数$f(x)$单调递减；当$x<0$时，$f'(x)>0$，函数$f(x)$单调递增。所以$x=0$是$f(x)$的极值点。（3）在$x=0$处，$f(x)$取得极小值$f(0)=\ln(1)-0=0$。五、解答题7.（1）由椭圆的定义知$ae^2=1$，所以$a^2=1/e^2$。又因为$a^2=3b^2$，所以$b^2=1/3$。所以椭圆的方程为$x^2/3+y^2=1$。（2）将直线$l$的方程代入椭圆方程，得$x^2/3+(kx+m)^2=1$，整理得$(1+3k^2)x^2+6kmx+3(m^2-1)=0$。由韦达定理知$x_1+x_2=-\frac{6km}{1+3k^2}$，$x_1x_2=\frac{3(m^2-1)}{1+3k^2}$。（3）弦$AB$的长度$|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{1+k^2}\cdot|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{\frac{36k^2-12(m^2-1)}{1+3k^2}}$。六、解答题8.（1）由$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$得$a_{n+1}-1=(a_n-1)^2$，因为$a_1=1$，所以$a_n>1$，从而$a_{n+1}>1$，即$\{a_n\}$是单调递增的。（2）由（1）知$\{a_n\}$单调递增且有上界，所以$\lim_{n\to\infty}a_n$存在，设$\lim_{n\to\infty}a_n=A$，则$A=A^2-A+1$，解得$A=1$或$A=-1$。因为$a_n>1$，所以$\lim_{n\to\infty}a_n=1$。（3）由$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$得$a_n^2=a_{n+1}+a_n-1$，所以$\sum_{i=1}^na_i^2=\sum_{i=1}^na_i+\sum_{i=1}^n(a_{i+1}-a_i)-n=\sum_{i=1}^na_i+\sum_{i=1}^na_{i+1}-n=\sum_{i=1}^na_i+a_1+a_n-n=2a_1+a_n\sum_{i=1}^na_i-n=2a_1+a_n\cdot\frac{1}{2}