广东省揭阳市第一中学2015-2016学年高二上学期第二次段考理科数学试题

广东省揭阳市第一中学2015-2016学年高二上学期第二次段考理科数学试题一、选择题要求：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若函数f(x)=x^3-3x+1，则f(x)的图像的对称中心为（）A.(0,1)B.(1,0)C.(0,0)D.(1,1)2.已知等差数列{an}的公差为d，且a1+a5=10，a2+a4=12，则d的值为（）A.1B.2C.3D.43.若向量a=(2,3)，向量b=(1,-1)，则向量a·b的值为（）A.5B.-5C.1D.-14.已知函数f(x)=x^2-4x+5，则f(x)的图像的顶点坐标为（）A.(2,1)B.(2,3)C.(0,5)D.(4,5)5.若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的轨迹方程为（）A.x^2+y^2=1B.x^2+y^2=4C.x^2-y^2=1D.x^2-y^2=4二、填空题要求：在每小题空格内填入正确答案。6.若函数f(x)=(x-1)/(x+1)的图像关于点(0,1)对称，则f(x)的图像的对称轴方程为______。7.已知等比数列{an}的公比为q，且a1+a2+a3=27，a2+a3+a4=81，则q的值为______。8.若向量a=(3,4)，向量b=(1,-2)，则向量a与向量b的夹角余弦值为______。9.已知函数f(x)=ln(x+1)，则f(x)的定义域为______。10.若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的实部为______。三、解答题要求：解答下列各题。11.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x^2-2ax+1在区间[1,3]上单调递增，求实数a的取值范围。12.（本小题满分12分）已知等差数列{an}的公差为d，且a1+a5=10，a2+a4=12，求该数列的前10项和S10。四、解答题要求：解答下列各题。13.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x在区间[0,2]上的图像如图所示，求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值。14.（本小题满分12分）已知数列{an}满足an=2an-1-1，且a1=1，求该数列的前n项和Sn。五、证明题要求：证明下列各题。15.（本小题满分12分）证明：对于任意实数x，都有x^3-x≥0。16.（本小题满分12分）证明：在三角形ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，则a^2+b^2-c^2≥2ab。六、应用题要求：解答下列各题。17.（本小题满分12分）某工厂生产一种产品，每天生产x个，每个产品的成本为10元，售价为15元。若每天生产的产品全部售出，则每天可获得利润y元。求y与x的关系式，并求出每天至少需要生产多少个产品才能保证利润不少于200元。18.（本小题满分12分）某班有学生40人，要从中选出4名学生参加数学竞赛。若要求选出的4名学生中至少有2名女生，求选出女生人数的种数。本次试卷答案如下：一、选择题1.B解析：函数f(x)=x^3-3x+1的图像关于点(1,0)对称，因此对称中心为(1,0)。2.A解析：由等差数列的性质，有a1+a5=2a3，a2+a4=2a3，所以2a3=10，a3=5。由于a1+a5=10，可得a1=5-4d，a5=5+4d。由a2+a4=12，可得5+4d+5-4d=12，解得d=1。3.A解析：向量a·b=2*1+3*(-1)=2-3=-1。4.B解析：函数f(x)=x^2-4x+5可以写成f(x)=(x-2)^2+1，因此顶点坐标为(2,1)。5.C解析：复数z的轨迹是以原点为中心，半径为2的圆，因此轨迹方程为x^2-y^2=1。二、填空题6.x=1解析：由于f(x)的图像关于点(0,1)对称，因此对称轴的方程为x=0+(0-1)=-1。7.3解析：由a1+a2+a3=27和a2+a3+a4=81，可得a1+a1q+a1q^2=27和a1q+a1q^2+a1q^3=81。解这个方程组得到q=3。8.3/5解析：向量a与向量b的夹角余弦值为a·b/(|a|*|b|)=(-1)/(sqrt(2^2+3^2))=-1/5=3/5。9.x>-1解析：函数f(x)=ln(x+1)的定义域为x+1>0，即x>-1。10.-1解析：复数z满足|z-1|=|z+1|，表示z到点1和点-1的距离相等，因此z的实部为-1。三、解答题11.解析：函数f(x)=x^2-2ax+1在区间[1,3]上单调递增，说明对称轴x=a在区间[1,3]内，即1≤a≤3。12.解析：由a1+a5=10和a2+a4=12，可得a1+(a1+4d)=10和(a1+d)+(a1+3d)=12。解这个方程组得到a1=3，d=1。因此S10=10/2*(2a1+(10-1)d)=5*(6+9)=75。四、解答题13.解析：由于f(x)=x^3-6x^2+9x，求导得f'(x)=3x^2-12x+9。令f'(x)=0，解得x=1或x=3。在x=1和x=3处，f(x)分别取最小值0和最大值18。14.解析：由an=2an-1-1，可得an-2an-1=-1。因此an-1=2(an-1-1)。令bn=an-1，则bn是一个等比数列，首项为0，公比为2。因此bn=0*2^(n-1)=0，即an=1。五、证明题15.解析：对于任意实数x，有x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)。由于x(x-1)(x+1)的符号取决于x的值，当x≥1或x≤-1时，x(x-1)(x+1)≥0；当-1<x<1时，x(x-1)(x+1)<0。因此x^3-x≥0。16.解析：在三角形ABC中，根据余弦定理，有a^2+b^2-c^2=2ab*cos(C)。由于0≤cos(C)≤1，因此a^2+b^2-c^2≥2ab*0=0。六、应用题17.解析：利润y=(售价-成本)*生产数量=(15-10)*x=5x。要保证利润不少于200元，即5x≥200，解得x≥40。因此每天至少需要生产40个产品。18.解析：从40人中选出4名学生的总方法数为C(40,4)。至少有2名女生，即有2名女生和2名男生，或者3