2025年高考数学模拟检测卷（文科专用）-数列极限与无穷级数应用试题

2025年高考数学模拟检测卷（文科专用）——数列极限与无穷级数应用试题一、选择题要求：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=Sn-Sn-1，若a1=1，则数列{an}的通项公式为（）A.an=2n-1B.an=2nC.an=2n-2D.an=2n+12.设数列{an}的通项公式为an=3n-2，则数列{an}的前n项和为（）A.3n^2-nB.3n^2+2nC.3n^2-2nD.3n^2+n二、填空题要求：将答案填在题中的横线上。3.数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=Sn-Sn-1，若a1=1，则lim(n→∞)an=______。4.已知数列{an}的通项公式为an=n^2+2n，则数列{an}的前n项和为______。三、解答题要求：写出解答过程，解答过程要完整。5.（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=Sn-Sn-1，若a1=1，求证：数列{an}是等比数列。（2）已知数列{an}的通项公式为an=2^n-1，求证：数列{an}是单调递增数列。6.（1）已知数列{an}的通项公式为an=n^2+3n，求证：数列{an}的前n项和为Sn=______。（2）已知数列{an}的通项公式为an=3^n-2^n，求证：数列{an}的前n项和为Sn=______。7.（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=Sn-Sn-1，若a1=1，求证：数列{an}的极限为1。（2）已知数列{an}的通项公式为an=2^n-1，求证：数列{an}的极限为0。四、证明题要求：证明下列各题中的结论。8.已知数列{an}的通项公式为an=3^n-2^n，证明数列{an}的极限不存在。9.设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=Sn-Sn-1，若a1=1，证明数列{an}的极限为1。五、计算题要求：计算下列各题中的值。10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=Sn-Sn-1，若a1=1，求lim(n→∞)an。11.已知数列{an}的通项公式为an=2^n-1，求lim(n→∞)an。六、应用题要求：根据数列的性质解决实际问题。12.某商品的价格每年以5%的速率增长，若第一年的价格为100元，求第n年的价格。13.某人每年存入银行1000元，银行年利率为2%，求n年后该人银行账户的总额。本次试卷答案如下：一、选择题1.A.an=2n-1解析：由an=Sn-Sn-1，得an=an-1+an，即an=2an-1。因为a1=1，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，通项公式为an=2n-1。2.A.3n^2-n解析：数列{an}的通项公式为an=3n-2，则前n项和为Sn=1+4+7+...+(3n-2)。利用等差数列求和公式，得Sn=n/2[2a1+(n-1)d]=n/2[2+(n-1)3]=3n^2-n。二、填空题3.1解析：由an=Sn-Sn-1，得an=Sn-Sn-1=1-S0=1-0=1。因此，lim(n→∞)an=1。4.n(n+1)解析：数列{an}的通项公式为an=n^2+2n，则前n项和为Sn=1^2+2×1+3^2+2×3+...+n^2+2n。将Sn与2Sn相减，得-Sn=2+2+...+2-n^2=2n-n^2，所以Sn=n(n+1)。三、解答题5.（1）证明：由an=Sn-Sn-1，得an=an-1+an，即an=2an-1。因为a1=1，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，通项公式为an=2n-1。（2）证明：数列{an}的通项公式为an=2^n-1，对于任意n≥1，有an+1-an=2^(n+1)-1-2^n+1=2^n>0。因此，数列{an}是单调递增数列。6.（1）证明：数列{an}的通项公式为an=n^2+3n，则前n项和为Sn=1^2+3×1+2^2+3×2+...+n^2+3n。将Sn与3Sn相减，得2Sn=3+3+...+3+3n-n^2=3n+n^2，所以Sn=n(n+1)。（2）证明：数列{an}的通项公式为an=3^n-2^n，则前n项和为Sn=3^1-2^1+3^2-2^2+...+3^n-2^n。将Sn与2Sn相减，得-Sn=2-2^2-2^3-...-2^n-3^n=2(1-2^n)/(1-2)-3^n=-2(1-2^n)-3^n。因此，Sn=2^n-1-3^n。7.（1）证明：由an=Sn-Sn-1，得an=an-1+an，即an=2an-1。因为a1=1，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，通项公式为an=2n-1。因此，lim(n→∞)an=lim(n→∞)2n-1=∞。（2）证明：数列{an}的通项公式为an=2^n-1，对于任意n≥1，有an+1-an=2^(n+1)-1-2^n+1=2^n>0。因此，数列{an}是单调递增数列。所以，lim(n→∞)an=lim(n→∞)2^n-1=∞。四、证明题8.证明：数列{an}的通项公式为an=3^n-2^n，假设数列{an}的极限存在，设为L。则lim(n→∞)an=lim(n→∞)(3^n-2^n)=L。但是，当n→∞时，3^n和2^n都趋于无穷大，所以L不存在。9.证明：由an=Sn-Sn-1，得an=an-1+an，即an=2an-1。因为a1=1，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，通项公式为an=2n-1。因此，lim(n→∞)an=lim(n→∞)2n-1=∞。五、计算题10.解：由an=Sn-Sn-1，得an=an-1+an，即an=2an-1。因为a1=1，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，通项公式为an=2n-1。因此，lim(n→∞)an=lim(n→∞)2n-1=∞。11.解：数列{an}的通项公式为an=2^n-1，对于任意n≥1，有an+1-an=2^(n+1)-1-2^n+1=2^n>0。因此，数列{an}是单调递增数列。所以，lim(n→∞)an=lim(n→∞)2^n-1=∞。六、应用题12.解：设第n年的价格为Pn，则Pn