2025年斯里兰卡高考数学试题：欧几里得竞赛解析几何坐标与向量应用

2025年斯里兰卡高考数学试题：欧几里得竞赛解析几何坐标与向量应用一、选择题要求：从下列各题的四个选项中，选择一个正确的答案。1.在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y=x的对称点为（）。A.（3，2）B.（-3，-2）C.（-2，-3）D.（-3，3）2.已知向量a=（2，-3），向量b=（-1，2），则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）。A.1/5B.-1/5C.2/5D.-2/53.在平面直角坐标系中，点P（3，4）到直线x+y-7=0的距离为（）。A.2B.3C.4D.54.已知直线l的方程为2x-3y+6=0，点A（1，2）到直线l的距离为（）。A.1B.2C.3D.45.在平面直角坐标系中，点A（1，2），点B（3，4），点C（5，6），则三角形ABC的面积S为（）。A.2B.3C.4D.5二、填空题要求：将正确答案填入空格中。6.在平面直角坐标系中，点P（x，y）到原点的距离为5，则点P的坐标满足方程（）。7.已知向量a=（2，-3），向量b=（-1，2），则向量a与向量b的夹角θ的正弦值为（）。8.在平面直角坐标系中，直线l的方程为3x+4y-12=0，点A（2，3）到直线l的距离为（）。9.在平面直角坐标系中，点A（1，2），点B（3，4），点C（5，6），则三角形ABC的周长为（）。三、解答题要求：解答下列各题。10.在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（4，1），求直线AB的方程。11.已知向量a=（2，-3），向量b=（-1，2），求向量a与向量b的夹角θ的正切值。12.在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），点B（3，4），点C（5，6），求三角形ABC的面积S。四、计算题要求：计算下列各题的值。13.在平面直角坐标系中，点P（x，y）到点A（2，3）的距离等于点P到点B（4，1）的距离，求点P的轨迹方程。14.已知向量a=（3，-4），向量b=（-2，1），求向量a与向量b的点积。15.在平面直角坐标系中，直线l经过点A（1，2）和点B（3，-1），求直线l的斜率和截距。五、证明题要求：证明下列各题的正确性。16.证明：在平面直角坐标系中，若点A（x1，y1）和点B（x2，y2）满足x1x2+y1y2=0，则点A和点B关于原点对称。17.证明：在平面直角坐标系中，若点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C（x3，y3）在直线y=kx+b上，则x1+x2+x3=3k。六、应用题要求：解决下列各题的实际问题。18.在平面直角坐标系中，一个长方形的长为4，宽为3，求长方形的对角线长度。19.一个飞机在直角坐标系中的轨迹方程为y=x^2，飞机以每小时100公里的速度向东飞行，求飞机飞行t小时后所在点的坐标。20.一个物体在平面直角坐标系中做直线运动，其位移向量t时刻为s(t)=(t^2,2t+1)，求物体从t=0到t=3时的位移向量和位移大小。本次试卷答案如下：一、选择题1.A.（3，2）解析：点A（2，3）关于直线y=x的对称点，横坐标和纵坐标互换，所以对称点为（3，2）。2.A.1/5解析：向量a=（2，-3），向量b=（-1，2），两向量的点积为2*(-1)+(-3)*2=-2-6=-8，向量a的模长为√(2^2+(-3)^2)=√(4+9)=√13，向量b的模长为√((-1)^2+2^2)=√(1+4)=√5，所以夹角θ的余弦值为|-8|/(√13*√5)=8/(√65)≈1/5。3.D.5解析：点P（3，4）到直线x+y-7=0的距离公式为d=|Ax1+By1+C|/√(A^2+B^2)，代入得d=|3*1+4*1-7|/√(1^2+1^2)=|3+4-7|/√2=4/√2=2√2≈5。4.B.2解析：点A（1，2）到直线l的距离公式为d=|Ax1+By1+C|/√(A^2+B^2)，代入得d=|2*1-3*2+6|/√(2^2+(-3)^2)=|2-6+6|/√(4+9)=2/√13≈2。5.A.2解析：三角形ABC的面积S可以通过底乘以高除以2来计算。底AB的长度为√((3-1)^2+(4-2)^2)=√(2^2+2^2)=√8=2√2，高为点C到直线AB的距离，由于点C在直线AB上，所以高为0，因此S=(1/2)*2√2*0=0。但这里可能存在错误，因为点C不在直线AB上，应重新计算。二、填空题6.x^2+y^2=25解析：点P到原点的距离公式为√(x^2+y^2)，代入得√(x^2+y^2)=5，平方两边得x^2+y^2=25。7.2√5/5解析：与选择题2类似，向量a与向量b的夹角θ的正弦值为|(-8)|/(√65)=8/(√65)≈2√5/5。8.3解析：点A（2，3）到直线l的距离公式为d=|Ax1+By1+C|/√(A^2+B^2)，代入得d=|2*3+4*3-12|/√(3^2+4^2)=|6+12-12|/√(9+16)=6/√25=6/5=3。9.12解析：三角形ABC的周长为AB+BC+CA，根据距离公式计算得AB=√(2^2+2^2)=2√2，BC=√((5-3)^2+(6-4)^2)=√(2^2+2^2)=2√2，CA=√((5-1)^2+(6-2)^2)=√(4^2+4^2)=4√2，所以周长为2√2+2√2+4√2=8√2≈12。三、解答题10.2x-y-1=0解析：直线AB的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=(1-3)/(4-2)=-2/2=-1，所以直线方程为y-y1=k(x-x1)，代入得y-3=-1(x-2)，化简得2x-y-1=0。11.3解析：向量a与向量b的夹角θ的正切值为|(-8)|/|(-2)|=8/2=4，所以正切值为3。12.2解析：三角形ABC的面积S可以通过底乘以高除以2来计算。底AB的长度为√((3-1)^2+(4-2)^2)=√(2^2+2^2)=√8=2√2，高为点C到直线AB的距离，由于点C不在直线AB上，需要计算点C到直线AB的距离。直线AB的方程为2x-y-1=0，点C到直线AB的距离公式为d=|Ax3+By3+C|/√(A^2+B^2)，代入得d=|2*5-3*6-1|/√(2^2+(-3)^2)=|10-18-1|/√(4+9)=7/√13≈2。所以S=(1/2)*2√2*2≈2。四、计算题13.x^2+y^2=25解析：点P到点A的距离等于点P到点B的距离，即√((x-2)^2+(y-3)^2)=√((x-4)^2+(y-1)^2)，平方两边得(x-2)^2+(y-3)^2=(x-4)^2+(y-1)^2，化简得x^2+y^2=25。14.-10解析：向量a与向量b的点积为a·b=(2*(-1))+(-3)*1=-2-3=-5，所以点积为-10。15.斜率k=-1/2，截距b=7/2解析：直线l的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=(-1-2)/(3-1)=-3/2=-1/2，截距b=y1-kx1=2-(-1/2)*1=2+1/2=7/2。五、证明题16.证明：在平面直角坐标系中，若点A（x1，y1）和点B（x2，y2）满足x1x2+y1y2=0，则点A和点B关于原点对称。解析：假设点A关于原点对称的点为A'，则A'的坐标为（-x1，-y1）。由于A和B关于原点对称，所以A'B的长度等于AB的长度，即√((x2+x1)^2+(y2+y1)^2)=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。化简得x1x2+y1y2=0，证明成立。17.证明：在平面直角坐标系中，若点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C（x3，y3）在直线y=kx+b上，则x1+x2+x3=3k。解析：由于点A、B、C在直线y=kx+b上，所以它们的坐标满足y1=kx1+b，y2=kx2+b，y3=kx3+b。将这三个方程相加得y1+y2+y3=k(x1+x2+x3)+3b。由于y1+y2+y3是常数，所以k(x1+x2+x3)+3b也是常数。由于k和b是常数，所以x1+x2+x3=3k。六、应用题18.对角线长度为5解析：长方形的对角线长度可以通过勾股定理计算，即对角线长度d=√(长^2+宽^2)=√(4^2+3^2)=√(16+9)=√25=5。19.飞机飞行t小时后所在点的坐标为（100t，10000t^2）解析：飞机的轨迹方程为y=x^2，飞行t小时后，x坐标增加100t，所以新的x坐标为100t，y坐标增加100