2025年大学生数学竞赛试卷及答案

2025年大学生数学竞赛试卷及答案一、选择题（每题2分，共12分）

1.下列各数中，绝对值最小的是：

A.-2

B.-1.5

C.0

D.1

答案：C

2.若实数a、b满足a+b=5，ab=6，则a^2+b^2的值为：

A.11

B.14

C.19

D.26

答案：B

3.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得最小值，则下列说法正确的是：

A.a>0

B.a<0

C.b=0

D.c=0

答案：B

4.若等差数列的前三项分别为1、3、5，则第10项为：

A.27

B.29

C.31

D.33

答案：C

5.若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的取值范围是：

A.实轴

B.虚轴

C.第一象限

D.第二象限

答案：A

6.若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形是：

A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.钝角三角形

答案：C

二、填空题（每题2分，共12分）

7.已知函数f(x)=2x^2-3x+1，若f(x)在x=1时取得最大值，则f(1)的值为______。

答案：0

8.若等差数列的首项为2，公差为3，则第10项为______。

答案：29

9.若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z的取值范围是______。

答案：实轴

10.若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形的面积是______。

答案：6

11.已知函数f(x)=x^2-2x+1，若f(x)在x=1时取得最小值，则f(1)的值为______。

答案：0

12.若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z的取值范围是______。

答案：实轴

三、解答题（每题10分，共30分）

13.（1）已知函数f(x)=2x^2-3x+1，求f(x)的对称轴。

（2）若函数f(x)在x=1时取得最大值，求f(1)的值。

答案：（1）对称轴为x=3/4；（2）f(1)的值为0。

14.（1）已知等差数列的首项为2，公差为3，求第10项。

（2）若等差数列的前n项和为S_n，求S_n的表达式。

答案：（1）第10项为29；（2）S_n的表达式为n/2(2a+(n-1)d)。

15.（1）已知复数z满足|z-1|=|z+1|，求z的取值范围。

（2）若复数z的实部为2，求z的虚部。

答案：（1）z的取值范围是实轴；（2）z的虚部为0。

16.（1）已知三角形的三边长分别为3、4、5，求这个三角形的面积。

（2）若三角形的面积公式为S=1/2*a*b*sinC，求角C的正弦值。

答案：（1）面积为6；（2）角C的正弦值为1/2。

四、应用题（每题10分，共20分）

17.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，若f(x)在x=1时取得最小值，求a、b、c的关系。

答案：a>0，b^2-4ac<0。

18.已知等差数列的首项为2，公差为3，求第10项。

答案：第10项为29。

19.已知复数z满足|z-1|=|z+1|，求z的取值范围。

答案：z的取值范围是实轴。

20.已知三角形的三边长分别为3、4、5，求这个三角形的面积。

答案：面积为6。

五、证明题（每题10分，共20分）

21.证明：若等差数列的前n项和为S_n，则S_n=n/2(2a+(n-1)d)。

证明：设等差数列的首项为a_1，公差为d，则第n项为a_n=a_1+(n-1)d。

由等差数列的性质可知，S_n=a_1+a_2+...+a_n。

将a_n的表达式代入上式得：S_n=a_1+(a_1+d)+...+(a_1+(n-1)d)。

将上式进行分组得：S_n=(n/2)(2a_1+(n-1)d)。

即S_n=n/2(2a+(n-1)d)。

证明完毕。

22.证明：若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z的取值范围是实轴。

证明：设复数z=a+bi（a、b为实数），则|z-1|=|(a-1)+bi|，|z+1|=|(a+1)+bi|。

由复数模的定义可知，|z-1|=sqrt((a-1)^2+b^2)，|z+1|=sqrt((a+1)^2+b^2)。

由题意可得：sqrt((a-1)^2+b^2)=sqrt((a+1)^2+b^2)。

两边平方得：(a-1)^2+b^2=(a+1)^2+b^2。

化简得：a^2-2a+1=a^2+2a+1。

两边消去a^2，得：-2a=2a。

两边同时除以2，得：a=0。

因此，z的取值范围是实轴。

证明完毕。

六、拓展题（每题10分，共20分）

23.（1）已知函数f(x)=ax^2+bx+c，若f(x)在x=1时取得最大值，求a、b、c的关系。

（2）若函数f(x)在x=1时取得最小值，求f(1)的值。

答案：（1）a>0，b^2-4ac<0；（2）f(1)的值为0。

24.（1）已知等差数列的首项为2，公差为3，求第10项。

（2）若等差数列的前n项和为S_n，求S_n的表达式。

答案：（1）第10项为29；（2）S_n的表达式为n/2(2a+(n-1)d)。

25.（1）已知复数z满足|z-1|=|z+1|，求z的取值范围。

（2）若复数z的实部为2，求z的虚部。

答案：（1）z的取值范围是实轴；（2）z的虚部为0。

26.（1）已知三角形的三边长分别为3、4、5，求这个三角形的面积。

（2）若三角形的面积公式为S=1/2*a*b*sinC，求角C的正弦值。

答案：（1）面积为6；（2）角C的正弦值为1/2。

本次试卷答案如下：

一、选择题

1.C

解析思路：绝对值最小意味着距离原点的距离最小，因此选择0。

2.B

解析思路：根据韦达定理，a和b是方程x^2-5x+6=0的根，所以a+b=5，ab=6。根据二次方程的性质，a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-12=13。

3.B

解析思路：二次函数在对称轴左侧递减，右侧递增，所以当x=1时，如果函数取得最小值，则a必须小于0。

4.C

解析思路：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，代入a1=1，d=3，n=10，得到a10=29。

5.A

解析思路：复数的模等于它到原点的距离，所以|z-1|=|z+1|意味着z到点1和点-1的距离相等，这只能在实轴上发生。

6.C

解析思路：三边长满足勾股定理3^2+4^2=5^2，所以这是一个直角三角形。

二、填空题

7.0

解析思路：将x=1代入函数f(x)=2x^2-3x+1，得到f(1)=2*1^2-3*1+1=0。

8.29

解析思路：使用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10，得到a10=29。

9.实轴

解析思路：复数的模等于它到原点的距离，所以|z-1|=|z+1|意味着z到点1和点-1的距离相等，这只能在实轴上发生。

10.6

解析思路：使用海伦公式，首先计算半周长s=(3+4+5)/2=6，然后代入海伦公式S=sqrt(s*(s-3)*(s-4)*(s-5))=sqrt(6*3*2*1)=6。

11.0

解析思路：将x=1代入函数f(x)=x^2-2x+1，得到f(1)=1^2-2*1+1=0。

12.实轴

解析思路：与第9题相同，复数的模等于它到原点的距离，所以|z-1|=|z+1|意味着z到点1和点-1的距离相等，这只能在实轴上发生。

三、解答题

13.（1）对称轴为x=3/4；（2）f(1)的值为0。

解析思路：（1）二次函数的对称轴公式为x=-b/(2a)，代入a=2，b=-3，得到x=3/4；（2）将x=1代入函数f(x)=2x^2-3x+1，得到f(1)=0。

14.（1）第10项为29；（2）S_n的表达式为n/2(2a+(n-1)d)。

解析思路：（1）使用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10，得到a10=29；（2）等差数列的前n项和公式为S_n=n/2(2a+(n-1)d)。

15.（1）z的取值范围是实轴；（2）z的虚部为0。

解析思路：（1）根据复数模的性质，|z-1|=|z+1|意味着z到点1和点-1的距离相等，这只能在实轴上发生；（2）由于z的实部为2，所以虚部必须为0。

16.（1）面积为6；（2）角C的正弦值为1/2。

解析思路：（1）使用海伦公式，首先计算半周长s=(3+4+5)/2=6，然后代入海伦公式S=sqrt(s*(s-3)*(s-4)*(s-5))=sqrt(6*3*2*1)=6；（2）由于三角形是直角三角形，角C的正弦值为对边与斜边的比值，即1/2。

四、应用题

17.a>0，b^2-4ac<0。

解析思路：二次函数的顶点坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))，如果函数取得最大值，则a必须大于0，且判别式b^2-4ac必须小于0。

18.第10项为29。

解析思路：使用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10，得到a10=29。

19.z的取值范围是实轴。

解析思路：与第9题相同，复数的模等于它到原点的距离，所以|z-1|=|z+1|意味着z到点1和点-1的距离相等，这只能在实轴上发生。

20.面积为6。

解析思路：使用海伦公式，首先计算半周长s=(3+4+5)/2=6，然后代入海伦公式S=sqrt(s*(s-3)*(s-4)*(s-5))=sqrt(6*3*2*1)=6。

五、证明题

21.S_n=n/2(2a+(n-1)d)。

解析思路：使用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，将an代入求和公式S_n=a1+a2+...+an，然后使用求和公式S_n=n/2(a1+an)。

22.z的取值范围是实轴。

解析思路：根据复数模的性质，|z-1|=|z+1|意味着z到点1和点-1的距离相等，这只能在实轴上发生。

六、拓展题

23.（1）a>0，b^2-4ac<0；（2）f(1)的值为