2024高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题13概率练习理

PAGEPAGE113概率1.有一个嬉戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进,每人一个方向.事务“甲向南”与事务“乙向南”的关系为().A.互斥但非对立事务B.对立事务C.和事务是可能事务D.以上都不对解析▶由于每人一个方向,故“甲向南”意味着“乙向南”是不行能的,故是互斥事务,但不是对立事务,故选A.答案▶A2.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为().A.12 B.13 C.23解析▶设2本不同的数学书为a1,a2,1本语文书为b,则在书架上的摆放方法有a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,共6种,其中数学书相邻的有4种.因此2本数学书相邻的概率P=46=23答案▶C3.从一箱产品中随机地抽取一件,设事务A为“抽到一等品”,事务B为“抽到二等品”,事务C为“抽到三等品”,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事务“抽到的产品不是一等品”的概率为.

解析▶∵事务A为“抽到一等品”,且P(A)=0.65,∴事务“抽到的产品不是一等品”的概率P=1-P(A)=1-0.65=0.35.答案▶0.354.在区间[-2,4]上随机地取一个数x,若x满意|x|≤m的概率为56,则m=.解析▶由|x|≤m,得-m≤x≤m.当0<m≤2时,由题意得2m6=56,解得m=2.5,当2<m<4时,由题意得m-(-2)6=5答案▶3实力1▶互斥、对立事务的概率【例1】一盒中装有12个球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随机取出1个球,求:(1)取出的球是红球或黑球的概率;(2)取出的球是红球或黑球或白球的概率.解析▶(法一:利用互斥事务求概率)记事务A1={任取1个球为红球},事务A2={任取1个球为黑球},事务A3={任取1个球为白球},事务A4={任取1个球为绿球},则P(A1)=512,P(A2)=412=13,P(A3)=212=16,P(A由题意知,事务A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事务的概率公式,得(1)取出的球是红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=512+412=(2)取出的球是红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=512+412+212(法二:利用对立事务求概率)(1)由法一知,取出的球为红球或黑球的对立事务为取出的球为白球或绿球,即事务A1∪A2的对立事务为A3∪A4,所以取出的球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1-212-112=(2)因为事务A1∪A2∪A3的对立事务为A4,所以P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-112=11求概率的关键是分清所求事务是由哪些事务组成的,求解时通常有两种方法:(1)将所求事务转化成几个彼此互斥的事务的和事务,利用概率加法公式求解概率.(2)若将一个较困难的事务转化为几个互斥事务的和事务时,须要分类太多,而其对立面的分类较少,可考虑利用对立事务的概率公式,即“正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型事务的概率.某学校在老师外出家访了解学生家长对孩子的学习关切状况活动中,一个月内派出的老师人数及其概率如下表所示:派出人数≤2345≥6概率0.10.460.30.10.04(1)求有4人或5人外出家访的概率;(2)求至少有3人外出家访的概率.解析▶(1)设派出2人及以下为事务A,3人为事务B,4人为事务C,5人为事务D,6人及以上为事务E,则有4人或5人外出家访的事务为事务C或事务D,C,D为互斥事务,依据互斥事务概率的加法公式可知,P(C∪D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.(2)至少有3人外出家访的对立事务为2人及以下外出家访,所以由对立事务的概率可知,P=1-P(A)=1-0.1=0.9.实力2▶古典概型的求法【例2】某市A,B两所中学的学生组队参与辩论赛,A中学举荐了3名男生、2名女生,B中学举荐了3名男生、4名女生,两校所举荐的学生一起参与集训.由于集训后队员水平相当,从参与集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场竞赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,求参赛女生人数不少于2人的概率.解析▶(1)由题意,参与集训的男、女生各有6名.入选代表队的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C43C63C6(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事务A,记“参赛女生有2人”为事务B,“参赛女生有3人”为事务C,则P(B)=C32C32C64=35,由互斥事务的概率加法公式,得P(A)=P(B)+P(C)=35+15=故所求事务的概率为451.求较困难事务的概率问题,解题关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型,必要时先将所求事务转化成彼此互斥事务的和,或者先求其对立事务的概率,再用互斥事务的概率加法公式或对立事务的概率公式求解.2.留意区分排列与组合,以及计数原理的正确运用.(1)同学聚会上,某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演,则《爱你一万年》未被选取的概率为().A.13 B.12 C.23(2)从集合A={-2,-1,2}中随机抽取一个数记为a,从集合B={-1,1,3}中随机抽取一个数记为b,则直线ax-y+b=0不经过第四象限的概率为().A.29 B.13 C.49解析▶(1)分别记《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》为A1,A2,A3,A4,从这四首歌中选出两首歌进行表演的全部可能的结果为A1A2,A1A3,A1A4,A2A3,A2A4,A3A4,共6种,其中A1未被选取的结果有3种,所以所求概率P=36=12.(2)(a,b)全部可能的结果为(-2,-1),(-2,1),(-2,3),(-1,-1),(-1,1),(-1,3),(2,-1),(2,1),(2,3),共9种.由ax-y+b=0得y=ax+b,当a≥0,b≥0时,直线ax-y+b=0不经过第四象限,符合条件的(a,b)的结果为(2,1),(2,3),共2种,故直线ax-y+b=答案▶(1)B(2)A实力3▶几何概型的应用【例3】(1)如图,已知小圆的半径为2km,大圆的半径为4km,假设卫星P(大小不计)在圆环内无规则地自由运动,则在运行过程中,卫星P与点O(O为圆心)的距离小于3km的概率为.

(2)在长为12cm的线段AB上任取一点C,现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32cm2的概率为.

解析▶(1)依据几何概型公式,小于3km的圆环面积为π(32-22)=5π.圆环总面积为π(42-22)=12π,所以卫星P与点O的距离小于3km的概率P=5π12π=5(2)设AC=xcm(0<x<12),则CB=(12-x)cm,故矩形的面积S=x(12-x)=12x-x2(cm2).由12x-x2<32,即(x-8)(x-4)>0,解得0<x<4或8<x<12.在数轴上表示,如图所示.由几何概型概率公式,得所求概率P=812=2答案▶(1)512(2)1.求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度),然后求解.要特殊留意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事务的区域(长度或角度).2.与面积有关的平面图形的几何概型,解题的关键是对所求的事务A构成的平面区域形态的推断及面积的计算,基本方法是数形结合.3.解题时可依据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解.(1)如图,四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=1,在∠DAB内随意作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为.

(2)设不等式组0≤x≤2,0≤y≤2表示的平面区域为DA.π4 B.C.π6 D.解析▶(1)因为在∠DAB内随意作射线AP,所以它的全部等可能事务所在的区域是∠DAB,当射线AP与线段BC有公共点时,射线AP落在∠CAB内,所以射线AP与线段BC有公共点的概率P=∠CAB∠DAB=30(2)如图所示,正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D,且区域D的面积为4,而阴影部分表示区域D内到坐标原点的距离大于2的点.易知该阴影部分的面积为4-π.因此满意条件的概率P=4-π答案▶(1)13一、选择题1.将一枚硬币向上抛掷10次,则“正面对上恰有5次”是().A.必定事务 B.随机事务C.不行能事务 D.无法确定解析▶抛掷10次硬币正面对上的次数可能为0~10,都有可能发生,正面对上5次是随机事务,故选B.答案▶B2.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为23,则阴影区域的面积为()A.43 B.C.23 D.解析▶在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率P=S阴影S正方形=23,即S阴影4=23答案▶B3.已知集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各随意取一个数,则这两数之和等于4的概率是().A.23 B.12 C.13解析▶从A,B中随意取一个数,共有C

21C·31=6种情形,两数之和等于4的情形只有(2,2),(3,1),共2种,故所求事务的概率P=答案▶C4.袋中装有3个白球,4个黑球,从中任取3个球,则①恰有1个白球和全是白球;②至少有1个白球和全是黑球;③至少有1个白球和至少有2个白球;④至少有1个白球和至少有1个黑球.在上述事务中,是对立事务的为().A.① B.② C.③ D.④解析▶至少有1个白球和全是黑球不同时发生,且肯定有一个发生,∴②中的事务是对立事务,故选B.答案▶B5.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a,从{1,2,3}中随机选取一个数b,则b>a的概率是().A.45 B.35 C.25解析▶基本领件的个数为5×3=15,其中满意b>a的有3种,所以b>a的概率为315=15答案▶D6.某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同),甲先从袋中摸出1个球,登记编号后放回,乙再从袋中摸出1个球,登记编号,则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是().A.15 B.16 C.56解析▶设a、b分别为甲、乙摸出球的编号.由题意知,摸球试验共有36种不同的结果,满意a=b的基本领件共有6种,所以摸出编号不同的概率P=1-636=56答案▶C7.一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a、b、c,当且仅当a>b,b<c时称为“凹数”(如213,312等),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数是“凹数”的概率是().A.16 B.524 C.13解析▶选出一个三位数有A

43=24种状况,其中是“凹数”的有C

43×2=8种状况,所以所求概率P=答案▶C8.在不等式组0≤x≤2,0≤y≤2所表示的平面区域内任取一点P,若点P的坐标(x,y)满意y≥kx的概率为3A.4 B.2 C.23 D.解析▶如图,满意不等式组的区域是边长为2的正方形,其面积是4.假设满意不等式y≥kx的区域为图中阴影部分,其面积为4-12×2×2k,由几何概型的概率公式得点P的坐标(x,y)满意y≥kx的概率为4-12×2×2k4答案▶D9.设m,n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,则在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+mx+n=0有实根的概率为().A.1136 B.736 C.711解析▶先后两次出现的点数中有5的状况有(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共11种,其中使方程x2+mx+n=0有实根的状况有(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共7种.故所求事务的概率P=711,故选C答案▶C10.若函数f(x)=ex,0≤x<1,lnx+e,1≤A.1e B.1-C.e1+e D.解析▶当0≤x<1时,恒有f(x)e=x<e,不满意题意.当1≤x≤e时,f(x)=lnx+e,由lnx+e≥e,得1≤x≤e.故所求事务的概率为P=e-1e=1答案▶B二、填空题11.从2,3,8,9中任取2个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是.

解析▶从2,3,8,9中任取2个不同的数字,记为(a,b),则有(2,3),(3,2),(2,8),(8,2),(2,9),(9,2),(3,