2025年春人教版化学九年级下册 28.1 第2课时 余弦函数和正切函数

28.1第2课时余弦函数和正切函数1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,那么cosA的值等于()A.34 B.43 C.35 2.如图,点A为∠α边上的任意一点,作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示cosα的值,错误的是()A.BDBC B.BCAB C.ADAC 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=35A.45 B.35 C.34 4.如图,正方形ABCD边长为1,以AB为直径作半圆,点P是CD中点,BP与半圆交于点Q,连接DQ.给出如下结论:①DQ=1;②PQBQ=32;③S△PDQ=18;④cos∠ADQ=35.已知方程x2-4x+3=0的两根为直角三角形的两直角边长,则其最小角的余弦值为__________.6.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若BD∶CD=3∶2,则tanB=()A.32 B.23 C.62 7.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,则tan∠DBC的值为()A.13 B.2-1 C.2-3 D.8.如图,经过原点O的☉P与两坐标轴分别交于点A(23,0)和点B(0,2),C是优弧OAB上的任意一点(不与点O,B重合),则tan∠BCO的值为()A.33 B.22 C.39.如图,BD是菱形ABCD的对角线,CE⊥AB于点E,交BD于点F,且点E是AB中点,则tan∠BFE的值是()A.12 B.2 C.33 10.在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=43,BC=8,则△ABC的面积为________11.如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边长,△ABC最小的角为∠A,那么tanA的值为________.

12.在△ABC中,∠C=90°,若把AB,BC都扩大为原来的m倍,则cosB的值是()A.mcosB B.1mcosB C.mcosB 13.已知x=cosα(α为锐角)满足方程2x2-5x+2=0,求cosα的值.14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=3,求sinA,cosA,tanA的值.15.已知∠A为锐角,证明:(1)sinA=cos(90°-∠A);(2)sin2A+cos2A=1;(3)tanA=sinAcosA16.如图,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是()A.23 B.32 C.2131317.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=513A.1213 B.512 C.1318.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,如果2AB=3BC,求∠B的三个三角函数值.19.如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,连接CD.若☉O的半径r=32A.32 B.53 C.52 20.如图,E是矩形ABCD中CD边上一点,△BCE沿BE折叠为△BFE,点F落在AD上.(1)求证:△ABF∽△DFE;(2)若sin∠DFE=1321.如图,已知锐角三角形ABC.(1)过点A作BC边的垂线MN,交BC于点D(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);(2)在(1)的条件下,若BC=5,AD=4,tan∠BAD=3422.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是边AB的中点,BE⊥CD,垂足为点E.已知AC=15,cosA=35(1)求线段CD的长;(2)求sin∠DBE的值.23.如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,连接BC,AC,作OD∥BC与过点A的切线交于点D,连接DC并延长交AB的延长线于点E.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)若CEDE=224.已知线段OA⊥OB,C为OB的中点,D为AO上一点,连接AC,BD交于点P.(1)如图①,当OA=OB,且D为AO的中点时,求APPC(2)如图②,当OA=OB,ADAO=1参考答案1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】①②④5.【答案】310解：先求出方程x2-4x+3=0的两根,即可得到两直角边长,再根据勾股定理求得斜边长,最后根据余弦的定义即可求得结果.解方程x2-4x+3=0,得x1=1,x2=3,则直角三角形的两直角边长分别为1,3,斜边长为12+32=10.故其最小角的余弦值为6.【答案】D解：在Rt△ABC中,∵AD⊥BC于点D,∴∠ADB=∠CDA=90°,∴∠B+∠BAD=90°.又∵∠BAD+∠DAC=90°,∴∠B=∠DAC.∴△ABD∽△CAD,∴BDAD=ADCD.∵BD∶CD=3∶2,∴设CD=2x,∴AD=3x·2x=6x,则tanB=ADBD=6x7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】D10.【答案】2411.【答案】24或12.【答案】D解：∵cosB=mBCmAB=BCAB,∴cosB常见错解:误认为∠B的邻边与斜边都扩大为原来的m倍,则cosB也扩大为原来的m倍,而错选A,实际上cosB的值只与∠B的大小有关,与∠B的两边长短无关.13.解:∵方程2x2-5x+2=0的解是x1=2,x2=12又∵0<cosα<1,∴cosα=12常见错解:∵方程2x2-5x+2=0的解是x1=2,x2=12此时忽略了cosα(α为锐角)的取值范围是0<cosα<1,而错得cosα=2或cosα=1214.解:∵△ABC是直角三角形,∴根据勾股定理,得BC=AB2-AC∴sinA=BCAB=5cosA=ACAB=2tanA=BCAC=5方法解：在直角三角形中,只要已知直角三角形的任意两边,根据勾股定理,可求出第三边,然后根据锐角三角函数的定义,可求出该直角三角形中任意一个锐角的正弦、余弦及正切值.15.证明:作Rt△ABC,使∠C=90°,如图,则sinA=ac,cosA=btanA=ab(1)∵cosB=ac,sinA=a∴sinA=cosB.又∵∠A+∠B=90°,∴∠B=90°-∠A,∴sinA=cos(90°-∠A).(2)∵sinA=ac,cosA=bc,且a2+b2=c∴sin2A+cos2A=a2c2+b2c(3)∵sinA=ac,cosA=b∴sinAcosA=acb又∵tanA=ab,∴tanA=sinA16.【答案】B解：在OB上距点O2格的位置上取一点,并过该点作OB的垂线,得到一个直角三角形.在该直角三角形中,∠AOB的对边长为3,邻边长为2,所以tan∠AOB=32.故选方法总结:用定义法求锐角三角函数值时,要注意以下两点:(1)要判断这个角所在的三角形的形状,只有在直角三角形中才能利用定义;(2)在直角三角形中求边时,注意勾股定理的应用.此题在图中找“格点”构建直角三角形是关键.17.【答案】D解：如图,sinA=BCAB=513,可设BC=5k,AB=13k,用勾股定理可求AC=∴tanB=ACBC=12k5k=方法总结:已知直角三角形中一个锐角的某个三角函数值,求这个锐角和它的余角的其他三角函数值,可先画出直角三角形,结合图形和已知条件,可利用“设k法”,将直角三角形的各边长用含k的代数式表示,然后根据锐角三角函数的定义,求得锐角的三角函数值.18.解:过点A作AD⊥BC于点D,如图所示.∵AB=AC,∴BD=CD.又∵2AB=3BC,∴ABBC=3设AB=AC=3k,则BC=2k.∴BD=CD=k,∴AD=AB2-BD2=∴sinB=ADAB=22k3k=223,cosB=tanB=ADBD=22k方法总结:求某一锐角的三角函数值时,正确地构造直角三角形是解题的关键.若已知其中两边的比值或倍数关系,可将这两边设出,再利用勾股定理表示出第三条边,则这个锐角的任一个三角函数值都可求出.19.【答案】B解：欲求cosB的值,必须将∠B放在直角三角形中去求,由题图可知,∠B与∠D是同弧所对的圆周角,∴∠B=∠D.∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°,通过等角转化即求cosD的值.在Rt△ACD中,AC=2,AD=2r=3,由勾股定理可求得CD=5,∴cosB=cosD=CDAD=520.(1)证明:由题意可得∠A=∠D=∠C=∠BFE=90°,∴∠ABF=90°-∠AFB,∠DFE=180°-∠BFE-∠AFB=90°-∠AFB=∠ABF,∴△ABF∽△DFE.(2)解:由折叠可得FB=BC,EF=EC,∵sin∠DFE=13∴DEEF=13EF=3DE.∴AB=CD=DE+EC=DE+EF=4DE,DF=EF2-DE∵△ABF∽△DFE,∴EFDF=FBAB,即FB=EF·ABDF=3DE·4DE22DE=32DE.又∵FB=BC,EF=EC,∴tan21.解:(1)如图,MN为所作.(2)在Rt△ABD中,tan∠BAD=BDAD=∴BD4=3∴BD=3.∴DC=BC-BD=5-3=2.22.解:(1)∵AC=15,cosA=35∴cosA=ACAB=15AB=∴AB=25.∵△ACB为直角三角形,点D是斜边AB的中点,∴CD=12AB=25(2)∵BC2=AB2-AC2=252-152=400,AD=BD=CD=252∴设DE=x,EB=y,则y2+x2∴sin∠DBE=DEBD=7225解：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求出AB的长,即可求出CD的长.(2)由于点D为AB边的中点,则AD=BD=CD=252.设DE=x,EB=y,利用勾股定理即可求出x的值,据此解答即可23.(1)证明:连接OC.∵AD是过点A的切线,AB是☉O的直径,∴AD⊥AB,∴∠DAB=90°.∵OD∥BC,∴∠DOC=∠OCB,∠AOD=∠ABC.∵OC=OB,∴∠OCB=∠ABC,∴∠DOC=∠AOD.在△COD和△AOD中,OC=OA∴△COD≌△AOD.∴∠OCD=∠DAB=90°.∵OC⊥DE于点C,OC是☉O的半径,∴DE是☉O的切线.(2)解:由CEDE=23,可设CE=2k,又∵AD,CD都是☉O的切线,∴AD=DC=k.在Rt△DAE中,AE=DE2-∵OD∥BC,CEDE=2∴BE=2OB.∴OA=14AE=2∴在Rt△AOD中,OD=AO2+AD2∴cos∠ABC=cos∠AOD=OAOD=324.解:(1)过点C作CE∥OA交BD于点E,∴△BCE∽△BOD.∵C为OB中点,D为AO中点,∴CE=12OD=1∵CE∥AD,∴△ECP∽△DAP,∴APCP=AD(2)过点C作CE∥OA交BD于点E.设AD=x,∵OA=OB,ADOA=14,则AO=OB=4x,OD=3x.∵CE∥OD,∴△BCE∽△BOD,∴CE=1