2025年湖北省高考数学圆锥曲线与方程试卷

2025年湖北省高考数学圆锥曲线与方程试卷一、选择题1.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$a=2b$，则椭圆的方程为（）A.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$B.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$C.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$D.$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1$2.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的渐近线方程为$y=\pm2x$，则双曲线的方程为（）A.$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$B.$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$C.$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1$D.$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{4}=1$二、填空题3.已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的右顶点为$A$，左焦点为$F_1$，若直线$AF_1$的斜率为$2$，则直线$AF_1$的方程为__________。4.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的实轴长为$6$，离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，则双曲线的方程为__________。三、解答题5.（15分）已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左焦点为$F_1$，右焦点为$F_2$，点$P$在椭圆上，且$\angleF_1PF_2=60^\circ$，求点$P$的轨迹方程。6.（15分）已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的渐近线方程为$y=\pm2x$，且双曲线经过点$(3,2)$，求双曲线的方程。四、解答题7.（15分）已知椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的左顶点为$A$，右顶点为$B$，点$P$在椭圆上，且$AP$垂直于$x$轴，若$AB$的长度为$2\sqrt{5}$，求点$P$的坐标。8.（15分）已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的一个焦点为$F_1(0,c)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$，且双曲线经过点$(2,3)$，求双曲线的方程。五、解答题9.（15分）已知椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$的左焦点为$F_1$，右焦点为$F_2$，点$P$在椭圆上，且$PF_1+PF_2=10$，求点$P$的轨迹方程。10.（15分）已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的渐近线方程为$y=\pm\frac{1}{2}x$，且双曲线的实轴长为$8$，求双曲线的方程。六、解答题11.（15分）已知椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的一个顶点为$A$，左焦点为$F_1$，右焦点为$F_2$，点$P$在椭圆上，且$AP$与$x$轴的夹角为$45^\circ$，求点$P$的轨迹方程。12.（15分）已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的一个焦点为$F_1(0,c)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$，且双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，求双曲线的方程。本次试卷答案如下：一、选择题1.B.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$解析：由椭圆的离心率公式$e=\frac{c}{a}$，得$c=ae$，代入$c^2=a^2-b^2$得$b^2=a^2-a^2e^2$。又因为$a=2b$，代入得$b^2=\frac{a^2}{4}$，所以$b=\frac{a}{2}$。将$b$代入$b^2=a^2-a^2e^2$得$\frac{a^2}{4}=a^2-a^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$，解得$a=2$，$b=1$，所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$。2.A.$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$解析：由双曲线的渐近线方程$y=\pm2x$，得$\frac{b}{a}=2$，即$b=2a$。又因为实轴长为$6$，即$2a=6$，解得$a=3$，$b=6$。所以双曲线的方程为$\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{6^2}=1$，即$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{36}=1$。二、填空题3.$x+2y=1$解析：由椭圆的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得右顶点$A(2,0)$，左焦点$F_1(-1,0)$。直线$AF_1$的斜率为$\frac{0-0}{2-(-1)}=0$，所以直线$AF_1$的方程为$y=0$，即$x+2y=1$。4.$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$解析：由双曲线的实轴长为$6$，得$2a=6$，解得$a=3$。由离心率$e=\frac{\sqrt{5}}{2}$，得$c=ae=3\sqrt{5}$。由$c^2=a^2+b^2$，得$b^2=c^2-a^2=45-9=36$，所以$b=6$。所以双曲线的方程为$\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{6^2}=1$，即$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{36}=1$。三、解答题5.轨迹方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$解析：由椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数，即$PF_1+PF_2=2a$。由题意知$PF_1+PF_2=10$，所以$2a=10$，解得$a=5$。又因为$\angleF_1PF_2=60^\circ$，所以$\triangleF_1PF_2$为等边三角形，$PF_1=PF_2=a=5$。所以点$P$的轨迹为以$F_1$和$F_2$为焦点的椭圆，其方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。6.双曲线的方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$解析：由渐近线方程$y=\pm2x$，得$\frac{b}{a}=2$，即$b=2a$。又因为双曲线经过点$(3,2)$，代入双曲线方程得$\frac{3^2}{a^2}-\frac{2^2}{(2a)^2}=1$，解得$a=2$，$b=4$。所以双曲线的方程为$\frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{4^2}=1$，即$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$。四、解答题7.点$P$的坐标为$(2,\pm\frac{3}{2})$解析：由椭圆的方程$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，得左顶点$A(-3,0)$，右顶点$B(3,0)$。$AB$的长度为$2\sqrt{5}$，所以$2a=2\sqrt{5}$，解得$a=\sqrt{5}$。由椭圆的定义，$AP$垂直于$x$轴，所以$P$的$x$坐标为$A$的$x$坐标，即$-3$。代入椭圆方程得$\frac{(-3)^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，解得$y^2=4$，所以$y=\pm\frac{3}{2}$。因此，点$P$的坐标为$(2,\pm\frac{3}{2})$。8.双曲线的方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$解析：由渐近线方程$y=\pm2x$，得$\frac{b}{a}=2$，即$b=2a$。又因为双曲线经过点$(2,3)$，代入双曲线方程得$\frac{2^2}{a^2}-\frac{3^2}{(2a)^2}=1$，解得$a=1$，$b=2$。又因为$c=\sqrt{a^2+b^2}$，得$c=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。所以双曲线的方程为$\frac{x^2}{1^2}-\frac{y^2}{2^2}=1$，即$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{4}=1$。五、解答题9.轨迹方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$解析：由椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数，即$PF_1+PF_2=2a$。由题意知$PF_1+PF_2=10$，所以$2a=10$，解得$a=5$。又因为$\triangleF_1PF_2$为等边三角形，$PF_1=PF_2=a=5$。所以点$P$的轨迹为以$F_1$和$F_2$为焦点的椭圆，其方程为$\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1$，即$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$。10.双曲线的方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$解析：由渐近线方程$y=\pm\frac{1}{2}x$，得$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，即$b=\frac{a}{2}$。又因为双曲线的实轴长为$8$，得$2a=8$，解得$a=4$，$b=2$。所以双曲线的方程为$\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{2^2}=1$，即$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$。六、解答题11.轨迹方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$解析：由椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数，即$PF_1+PF_2=2a$。由题意知$PF_1+PF_2=10$，所以$2a=10$，解得$a=5$。又因为$\triangleF_1PF_2$为等边三角形，$PF_1=PF_2=a=5$。所以点$P$的轨迹为以$F_1$和$F_2$为焦点的椭圆，其方程为$\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1$，即$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$。12.双曲线的方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$解析：由离心率$e=\frac{\sqrt{5}}{2}$，