甘肃省天水市一中2020-2021学年高二下学期第一阶段考试试题文(数学)

甘肃省天水市一中2020-2021学年高二下学期第一阶段考试试题文(数学)一、选择题要求：请从下列各题给出的四个选项中，选择一个最符合题目要求的答案。1.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4$，若$f(x)$的图像关于点$(1,2)$对称，则$f(2)=$（）A.$2$B.$3$C.$4$D.$5$2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5=10$，$S_8=30$，则$a_6=$（）A.$2$B.$3$C.$4$D.$5$3.若$|x-1|+|x-2|+|x-3|=4$，则$x$的取值范围是（）A.$(-\infty,1]\cup[3,+\infty)$B.$(-\infty,2]\cup[3,+\infty)$C.$[1,2]\cup[3,+\infty)$D.$(-\infty,1]\cup[2,3]$4.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项为$a_1,a_2,a_3$，若$a_1+a_2=8$，$a_2+a_3=12$，则$\frac{a_2}{a_3}=$（）A.$\frac{3}{4}$B.$\frac{4}{3}$C.$\frac{5}{3}$D.$\frac{3}{5}$5.已知函数$y=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$的图像与直线$y=kx+b$有三个不同的交点，则$k$和$b$的取值范围是（）A.$k\neq0$，$b\neq0$B.$k\neq0$，$b=0$C.$k=0$，$b\neq0$D.$k=0$，$b=0$二、填空题要求：请将正确答案填写在横线上。6.已知函数$f(x)=\frac{x^2-2x-15}{x-3}$的定义域为$D$，则$D=$____________。7.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$2$，公差为$3$，则$a_{10}=$____________。8.若$\log_2(x+3)+\log_2(4-x)=1$，则$x$的取值范围是$x\in$____________。9.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项为$a_1,a_2,a_3$，若$a_1+a_2+a_3=6$，$a_2^2=a_1\cdota_3$，则$a_2=$____________。10.若$|x-1|+|x-2|+|x-3|=4$，则$x$的取值范围是$x\in$____________。三、解答题要求：请将解答过程写清楚，步骤完整。11.已知函数$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$，求$f(x)$的定义域，并化简$f(x)$。12.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5=10$，$S_8=30$，求$\{a_n\}$的通项公式。四、证明题要求：证明下列各题中的等式成立。13.证明：对于任意实数$a$和$b$，有$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。14.证明：对于任意实数$x$，有$x^2-4x+4\geq0$。五、应用题要求：根据题目要求，列出方程或方程组，并求解。15.已知某工厂生产两种产品，第一种产品每件利润为$50$元，第二种产品每件利润为$30$元。该工厂每天可以生产$100$件产品，但每天生产第一种产品的数量不能超过$50$件。为了最大化利润，工厂应该如何安排生产？16.某市计划在道路两旁种植树木，每侧道路长$200$米，每棵树之间的距离为$5$米。为了使道路两旁的树木数量最多，每侧应种植多少棵树？六、综合题要求：综合运用所学知识解决实际问题。17.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$，求函数$f(x)$的极值点和拐点，并画出函数的大致图像。本次试卷答案如下：一、选择题1.B。因为函数$f(x)$的图像关于点$(1,2)$对称，所以$f(2)=f(0)$，代入$f(x)$得到$f(2)=2^3-3\cdot2^2+4=8-12+4=0$。2.C。由等差数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，得到$S_5=\frac{5(2+a_6)}{2}=10$，解得$a_6=4$。3.A。根据绝对值的性质，$|x-1|+|x-2|+|x-3|$的最小值为$2$，当$x\leq1$或$x\geq3$时，所以$x$的取值范围是$(-\infty,1]\cup[3,+\infty)$。4.B。由等比数列的性质$a_2^2=a_1\cdota_3$，得到$a_2^2=a_1\cdot(a_1+d)$，代入$a_1+a_2=8$和$a_2+a_3=12$，解得$a_2=4$。5.B。因为函数$y=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$的图像与直线$y=kx+b$有三个不同的交点，所以$k\neq0$且$b=0$。二、填空题6.$D=\{x|x\neq3\}$。因为当$x=3$时，分母为零，所以$x\neq3$。7.$a_{10}=2+3\cdot(10-1)=2+3\cdot9=2+27=29$。8.$x\in(1,2)$。因为$\log_2(x+3)+\log_2(4-x)=1$，所以$x+3>0$且$4-x>0$，解得$1<x<2$。9.$a_2=6$。由等比数列的性质$a_2^2=a_1\cdota_3$和$a_1+a_2+a_3=6$，解得$a_2=6$。10.$x\in(-\infty,1]\cup[2,3]$。根据绝对值的性质，$|x-1|+|x-2|+|x-3|$的取值范围为$[2,6]$，所以$x$的取值范围是$(-\infty,1]\cup[2,3]$。三、解答题11.解答：$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}=\frac{(x-1)(x-3)}{x-1}=x-3$（$x\neq1$）。定义域为$D=\{x|x\neq1\}$。12.解答：由$S_5=\frac{5(2+a_6)}{2}=10$，得到$a_6=4$。由$S_8=\frac{8(2+a_8)}{2}=30$，得到$a_8=5$。所以公差$d=a_8-a_6=1$。因此通项公式为$a_n=2+(n-1)\cdot1=n+1$。四、证明题13.解答：左边$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。右边$a^2+2ab+b^2$。左右两边相等，所以等式成立。14.解答：$x^2-4x+4=(x-2)^2$。因为平方总是非负的，所以$(x-2)^2\geq0$。所以$x^2-4x+4\geq0$。五、应用题15.解答：设生产第一种产品$x$件，则生产第二种产品$100-x$件。利润$P=50x+30(100-x)=5000-20x$。为了最大化利润，求$P$的最大值，即求$-20x$的最小值。由于$x$的取值范围是$0\leqx\leq50$，所以$-20x$的最大值为$-20\cdot0=0$。所以当$x=0$时，利润最大，即生产第一种产品$0$件，第二种产品$100$件。16.解答：每侧道路可以种植的树木数量为$\frac{200}{5}-1=39$。因为每侧种植的树木数量必须为整数，所以每侧应种植$39$棵树。六、综合题17.解答：求导$f'(x)=3x^2-12x+11$，