福建师大附中2012－2013学年高一第二学期期中模块测试（数学）

福建师大附中2012－2013学年高一第二学期期中模块测试（数学）一、选择题要求：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则$f'(x)$的零点为：A.$x=1$B.$x=2$C.$x=1$或$x=2$D.$x=0$或$x=3$2.若等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_4=7$，则$a_{10}$的值为：A.17B.18C.19D.203.已知函数$f(x)=x^2-2x+1$，则$f(-x)$的图像与$f(x)$的图像关于：A.$x$轴对称B.$y$轴对称C.原点对称D.直线$y=x$对称4.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_5=13$，则公差$d$的值为：A.2B.3C.4D.55.若函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$x=1$处取得极值，则$f(1)$的值为：A.2B.3C.4D.5二、填空题要求：将正确答案填入空格中。6.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则$f'(x)$的值为______。7.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=1$，$a_4=7$，则$a_{10}$的值为______。8.若函数$f(x)=x^2-2x+1$，则$f(-x)$的图像与$f(x)$的图像关于______对称。三、解答题要求：写出解答过程。9.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f'(x)$。10.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=1$，$a_5=13$，求公差$d$。四、解答题要求：写出解答过程。11.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=4n^2+5n$，求该数列的第10项$a_{10}$。12.若函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$在区间$[0,2]$上单调递增，求$f(x)$在区间$[-1,1]$上的单调性。五、证明题要求：证明下列命题。13.证明：若数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=2a_n+1$，且$a_1=1$，则数列$\{a_n\}$为等比数列。14.证明：若函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$x=1$处取得极值，则该极值为极大值。六、应用题要求：结合实际，解决下列问题。15.已知一家工厂生产某种产品，每天的生产成本为1000元，每件产品的售价为200元。根据市场调查，如果每天生产x件产品，则每天的销售收入为$R(x)=200x-0.1x^2$元。求该工厂每天生产多少件产品时，利润最大，并求出最大利润。本次试卷答案如下：一、选择题1.B解析：求导得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=2$。2.A解析：由等差数列的性质，$a_4=a_1+3d$，代入$a_1=1$，$a_4=7$，解得$d=2$，再由$a_{10}=a_1+9d$，代入$d=2$，解得$a_{10}=17$。3.B解析：$f(-x)=(-x)^2-2(-x)+1=x^2+2x+1$，与$f(x)$的图像关于$y$轴对称。4.A解析：由等差数列的性质，$a_5=a_1+4d$，代入$a_1=3$，$a_5=13$，解得$d=2$。5.A解析：求导得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，代入$f(x)$得$f(1)=2$。二、填空题6.$f'(x)=3x^2-6x+4$解析：对$f(x)=x^3-3x^2+4x$求导得$f'(x)=3x^2-6x+4$。7.17解析：由等差数列的性质，$a_{10}=a_1+9d$，代入$a_1=1$，$d=2$，解得$a_{10}=17$。8.$y$轴解析：$f(-x)=(-x)^2-2(-x)+1=x^2+2x+1$，与$f(x)$的图像关于$y$轴对称。三、解答题9.$f'(x)=3x^2-6x+4$解析：对$f(x)=x^3-3x^2+4x$求导得$f'(x)=3x^2-6x+4$。10.$d=2$解析：由等差数列的性质，$a_5=a_1+4d$，代入$a_1=1$，$a_5=13$，解得$d=2$。四、解答题11.$a_{10}=29$解析：由等差数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入$S_n=4n^2+5n$，$a_1=1$，解得$a_{10}=29$。12.在区间$[-1,1]$上单调递减解析：求导得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，在区间$[-1,1]$上，$f'(x)<0$，所以$f(x)$在区间$[-1,1]$上单调递减。五、证明题13.证明：若数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=2a_n+1$，且$a_1=1$，则数列$\{a_n\}$为等比数列。证明：由$a_{n+1}=2a_n+1$，得$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，因为$a_1=1$，所以$a_1+1=2$，所以数列$\{a_n+1\}$为等比数列，公比为2，首项为2，因此数列$\{a_n\}$为等比数列。14.证明：若函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$x=1$处取得极值，则该极值为极大值。证明：求导得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，在$x=1$的左侧，$f'(x)>0$，在$x=1$的右侧，$f'(x)<0$，所以$x=1$为$f(x)$的极大值点，因此该极值为极大值。六、应用题15.每天生产100件产品时，利润最大，最大利润为$18000$元。解析：利润$P(x)=R(x)-C(x)$，其中$C(x)=1000$，$R(x)=200x-0.1x^2