安徽省六校教育研究会2012届高三测试（数学文）

安徽省六校教育研究会2012届高三测试（数学文）一、选择题1.已知函数$f(x)=\lnx-x+1$，其定义域为$\{x|x>0\}$，则下列说法正确的是：A.函数$f(x)$在定义域内单调递增；B.函数$f(x)$在定义域内单调递减；C.函数$f(x)$在定义域内存在最大值；D.函数$f(x)$在定义域内存在最小值。2.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，若$a_1+a_2+a_3=6$，$a_4+a_5+a_6=18$，则$a_1$的值为：A.1；B.2；C.3；D.4。二、填空题3.若不等式$2x^2-4x+1>0$的解集为$A$，则不等式$4x^2-8x+3<0$的解集为______。4.已知函数$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$，则$f(2)$的值为______。5.若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，且$a_1+a_2+a_3=9$，$a_4+a_5+a_6=27$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为______。三、解答题6.已知函数$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$，其中$x>0$，求函数$f(x)$的单调区间和极值。7.已知数列$\{a_n\}$是等比数列，且$a_1+a_2+a_3=24$，$a_4+a_5+a_6=192$，求该数列的公比。四、证明题要求：证明下列各题。8.证明：若函数$f(x)=x^3-3x+2$在区间$[0,1]$上连续，且$f(0)=2$，$f(1)=0$，则存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=2$。五、应用题要求：解决下列实际问题。9.一辆汽车以$60$千米/小时的速度行驶，在行驶了$2$小时后，发现油箱中的油量仅剩下一半。如果汽车以$80$千米/小时的速度行驶，那么需要多长时间才能用完剩余的油？六、综合题要求：综合运用所学知识解决下列问题。10.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求：（1）函数$f(x)$的导数$f'(x)$；（2）函数$f(x)$的极值点及极值；（3）函数$f(x)$的拐点及拐向。本次试卷答案如下：一、选择题1.B.函数$f(x)$在定义域内单调递减。解析思路：首先对函数$f(x)=\lnx-x+1$求导得到$f'(x)=\frac{1}{x}-1$。由于$x>0$，所以$\frac{1}{x}-1<0$，即$f'(x)<0$，因此函数$f(x)$在定义域内单调递减。2.D.4。解析思路：由等差数列的性质，有$a_4=a_1+3d$，$a_5=a_1+4d$，$a_6=a_1+5d$。代入$a_1+a_2+a_3=9$和$a_4+a_5+a_6=27$，得到方程组：\[\begin{cases}a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=9\\(a_1+3d)+(a_1+4d)+(a_1+5d)=27\end{cases}\]解得$a_1=1$，$d=2$。因此$a_1=4$。二、填空题3.$\{x|x<\frac{\sqrt{7}-1}{2}\}$或$\{x|x>\frac{\sqrt{7}+1}{2}\}$。解析思路：由不等式$2x^2-4x+1>0$可得$x^2-2x+\frac{1}{2}>0$，即$(x-1)^2-\frac{1}{2}>0$。解得$x<\frac{\sqrt{7}-1}{2}$或$x>\frac{\sqrt{7}+1}{2}$。由于原不等式为大于0，所以解集为$\{x|x<\frac{\sqrt{7}-1}{2}\}$或$\{x|x>\frac{\sqrt{7}+1}{2}\}$。4.$2$。解析思路：代入$x=2$到函数$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$，得到$f(2)=\frac{2^2-4\cdot2+3}{2-1}=2$。5.$a_n=3n-2$。解析思路：由等差数列的性质，有$a_4=a_1+3d$，$a_5=a_1+4d$，$a_6=a_1+5d$。代入$a_1+a_2+a_3=9$和$a_4+a_5+a_6=27$，得到方程组：\[\begin{cases}a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=9\\(a_1+3d)+(a_1+4d)+(a_1+5d)=27\end{cases}\]解得$a_1=1$，$d=2$。因此$a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\cdot2=3n-2$。三、解答题6.解答思路：（1）求导得到$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$；（2）令$f'(x)=0$，解得$x=1$；（3）当$x<1$时，$f'(x)<0$，函数单调递减；当$x>1$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；（4）$x=1$时，函数$f(x)$取得极小值$f(1)=1-1+1=1$。7.解答思路：（1）设公比为$q$，则有$a_1+a_1q+a_1q^2=24$，$a_1q^3+a_1q^4+a_1q^5=192$；（2）通过方程组解得$q=2$。四、证明题8.证明思路：（1）由于$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(0)=2$，$f(1)=0$，根据罗尔定理，存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=0$；（2）由于$f'(x)=3x^2-3$，在$[0,1]$上单调递增，且$f'(0)=-3$，$f'(1)=0$，根据零点定理，存在$\eta\in(0,1)$，使得$f'(\eta)=2$；（3）由$f'(\xi)=0$和$f'(\eta)=2$，根据介值定理，存在$\xi\in(\eta,1)$，使得$f'(\xi)=2$。五、应用题9.解答思路：（1）设汽车以$60$千米/小时的速度行驶了$t$小时，则有$60t$千米；（2）剩余油量为$60t$千米，以$80$千米/小时的速度行驶，则有$\frac{60t}{80}=\frac{3t}{4}$小时。六、综合题10.解答思路：（1）求导得到$f'(x)=3x^2-12x+9$；（2）令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$x=3$；（3）当$x<1$或$x>3$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$1<x<3$时，$f'(x)<0$，函数单调递减；（4）$x=1$时，函