成人高考高升专数学（理）冲刺阶段全真模拟卷（含函数极值压轴题）真题再现

成人高考高升专数学（理）冲刺阶段全真模拟卷（含函数极值压轴题）真题再现一、选择题要求：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设函数f(x)=x^3-3x，则f(x)的极值点为：A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=32.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得极小值，则a、b、c应满足：A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b<0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<03.函数f(x)=x^3-6x^2+9x在x=1处的导数为：A.0B.1C.2D.34.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得极大值，则a、b、c应满足：A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b<0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<05.设函数f(x)=x^3-3x，则f(x)的单调增区间为：A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,1)∪(1,+∞)D.(-∞,1)∪(1,3)二、填空题要求：将正确答案填入空格内。6.函数f(x)=x^3-6x^2+9x的导数为______。7.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得极小值，则f(1)=______。8.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的导数为______。三、解答题要求：写出解题过程，并给出最终答案。9.设函数f(x)=x^3-3x^2+4x-6，求f(x)的单调区间和极值。10.设函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得极大值，且f(0)=2，f(2)=4，求a、b、c的值。四、应用题要求：根据题目给出的条件，求解下列问题。11.某工厂生产一种产品，每件产品的成本为20元，售价为30元。为了促销，工厂决定对每件产品进行打折，假设每降低1元，产品的销量增加10件。求工厂在打折后每降低多少元时，总利润最大，并求出此时的最大利润。五、证明题要求：证明下列等式成立。12.证明：对于任意实数x，有（x^2-1）^2≥0。六、综合题要求：综合运用所学知识，完成下列问题。13.已知函数f(x)=2x^3-9x^2+12x，求f(x)的极值点和拐点，并作出函数的图像。本次试卷答案如下：一、选择题1.A解析：函数f(x)=x^3-3x的导数为f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。通过一阶导数的符号变化，可以判断x=-1是极大值点，x=1是极小值点。2.B解析：若函数在x=1时取得极小值，则f'(1)=0，且f''(1)>0。由于f'(x)=2ax+b，当x=1时，2a+b=0，且f''(x)=2a>0，所以a>0，b<0，c可以是任意实数。3.A解析：函数f(x)=x^3-6x^2+9x的导数为f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，解得x=1。在x=1处，导数为0。4.D解析：若函数在x=1时取得极大值，则f'(1)=0，且f''(1)<0。由于f'(x)=2ax+b，当x=1时，2a+b=0，且f''(x)=2a<0，所以a<0，b<0，c可以是任意实数。5.B解析：函数f(x)=x^3-3x的单调增区间由导数f'(x)=3x^2-3的正负决定。令f'(x)>0，解得x>1或x<0，所以单调增区间为(0,1)和(1,+∞)。二、填空题6.3x^2-12x+9解析：根据导数的定义，函数f(x)=x^3-6x^2+9x的导数为f'(x)=3x^2-12x+9。7.2解析：由于f(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得极小值，则f'(1)=0，且f''(1)>0。由于f'(x)=2ax+b，当x=1时，2a+b=0，所以f(1)=a+b+c=2。8.0解析：函数f(x)=x^3-3x在x=1处的导数为f'(1)=3*1^2-3=0。三、解答题9.解答：函数f(x)=x^3-3x^2+4x-6的导数为f'(x)=3x^2-6x+4。令f'(x)=0，解得x=2/3或x=2。通过一阶导数的符号变化，可以判断x=2/3是极大值点，x=2是极小值点。计算f(2/3)和f(2)的值，得到极大值为f(2/3)=-8/27，极小值为f(2)=-2。10.解答：由于f(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得极大值，则f'(1)=0，且f''(1)<0。由于f'(x)=2ax+b，当x=1时，2a+b=0。又因为f(0)=2，f(2)=4，可以列出方程组：a+c=24a+2b+c=4解得a=1，b=-2，c=1。四、应用题11.解答：设每降低x元，总利润为P(x)。则每件产品的售价为30-x元，销量为10x件。总利润P(x)=(30-x)(10x)-20(10x)=-10x^2+100x。求P(x)的最大值，即求P(x)的导数为0的x值。P'(x)=-20x+100，令P'(x)=0，解得x=5。此时，总利润最大，最大利润为P(5)=-10*5^2+100*5=250元。五、证明题12.解答：对于任意实数x，有（x^2-1）^2=(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)=(x-1)^2(x+1)^2。由于平方总是非负的，所以(x-1)^2≥0且(x+1)^2≥0，因此（x^2-1）^2≥0。六、综合题13.解答：函数f(x)=2x^3-9x^2+12x的导数为f'(x)=6x^2-18x+12，令f'(x)=0，解得x=1或x=2。通过一阶导数的符号变化，可以判断x=1是极大值点，x=2是极小值点。计算