参数方程试题及答案

参数方程试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.曲线$x=2t$，$y=t^2$（$t$为参数）的普通方程是（）A.$y=\frac{1}{4}x^2$B.$y=4x^2$C.$y=\frac{1}{2}x^2$D.$y=2x^2$2.参数方程$\begin{cases}x=1+\cos\theta\\y=\sin\theta\end{cases}$（$\theta$为参数）表示的曲线是（）A.直线B.圆C.抛物线D.椭圆3.已知曲线的参数方程为$\begin{cases}x=3+2\cos\alpha\\y=1+2\sin\alpha\end{cases}$（$\alpha$为参数），则该曲线的圆心坐标为（）A.$(3,1)$B.$(-3,-1)$C.$(2,2)$D.$(-2,-2)$4.把参数方程$\begin{cases}x=1+\frac{1}{2}t\\y=-2+\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{cases}$（$t$为参数）化为普通方程为（）A.$\sqrt{3}x-y-2-\sqrt{3}=0$B.$\sqrt{3}x+y-2-\sqrt{3}=0$C.$x-\sqrt{3}y-2-\sqrt{3}=0$D.$x+\sqrt{3}y-2-\sqrt{3}=0$5.参数方程$\begin{cases}x=\cos^2\theta\\y=\sin\theta\end{cases}$（$\theta$为参数）所表示的曲线的值域是（）A.$[-1,1]$B.$[0,1]$C.$[0,+\infty)$D.$(-\infty,+\infty)$6.直线$x=2+t$，$y=-1-t$（$t$为参数）与曲线$x=3\cos\alpha$，$y=3\sin\alpha$（$\alpha$为参数）的交点个数为（）A.0B.1C.2D.37.已知曲线的参数方程为$\begin{cases}x=2+3\cost\\y=-1+3\sint\end{cases}$（$t$为参数），则曲线的半径为（）A.2B.3C.4D.58.参数方程$\begin{cases}x=1+2\cos\beta\\y=2+2\sin\beta\end{cases}$（$\beta$为参数）表示的圆的标准方程是（）A.$(x-1)^2+(y-2)^2=2$B.$(x-1)^2+(y-2)^2=4$C.$(x+1)^2+(y+2)^2=2$D.$(x+1)^2+(y+2)^2=4$9.曲线$x=t$，$y=\frac{1}{t}$（$t$为参数）与直线$x+y=1$的交点坐标是（）A.$(\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1-\sqrt{5}}{2})$和$(\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{2})$B.$(\frac{1+\sqrt{3}}{2},\frac{1-\sqrt{3}}{2})$和$(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{1+\sqrt{3}}{2})$C.$(\frac{1+\sqrt{2}}{2},\frac{1-\sqrt{2}}{2})$和$(\frac{1-\sqrt{2}}{2},\frac{1+\sqrt{2}}{2})$D.$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$10.若直线$x=1-2t$，$y=2+3t$（$t$为参数）与直线$2x+ky=1$垂直，则$k$的值为（）A.$\frac{4}{3}$B.$-\frac{4}{3}$C.$\frac{3}{4}$D.$-\frac{3}{4}$二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些是参数方程的优点（）A.方便研究曲线的性质B.表示一些复杂曲线更简洁C.可通过参数控制曲线形状D.与普通方程完全一样2.曲线的参数方程$\begin{cases}x=2\cost\\y=2\sint\end{cases}$（$t$为参数），以下说法正确的是（）A.曲线是圆B.圆心在原点C.半径为2D.周长为$4\pi$3.下列参数方程能表示直线的有（）A.$\begin{cases}x=t\\y=2t+1\end{cases}$（$t$为参数）B.$\begin{cases}x=\cost\\y=\sint\end{cases}$（$t$为参数）C.$\begin{cases}x=1+t\\y=3-t\end{cases}$（$t$为参数）D.$\begin{cases}x=t^2\\y=t\end{cases}$（$t$为参数）4.参数方程与普通方程互化过程中需要注意（）A.等价性B.参数的取值范围C.化简过程正确D.随意改变方程形式5.已知曲线参数方程$\begin{cases}x=3+2\cos\varphi\\y=-1+2\sin\varphi\end{cases}$（$\varphi$为参数），则（）A.曲线是圆B.圆心坐标为$(3,-1)$C.半径为2D.面积为$4\pi$6.对于参数方程$\begin{cases}x=1+\sqrt{2}\cos\theta\\y=-2+\sqrt{2}\sin\theta\end{cases}$（$\theta$为参数），下列说法正确的是（）A.曲线是圆B.圆心为$(1,-2)$C.半径为$\sqrt{2}$D.圆的标准方程为$(x-1)^2+(y+2)^2=2$7.直线的参数方程$\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{cases}$（$t$为参数），直线斜率为（）A.$\frac{b}{a}$（$a\neq0$）B.$\frac{a}{b}$（$b\neq0$）C.可通过消参得到D.由参数直接确定8.以下哪些参数方程可以表示椭圆（）A.$\begin{cases}x=a\cost\\y=b\sint\end{cases}$（$a\neqb$，$t$为参数）B.$\begin{cases}x=\cos^2t\\y=\sin^2t\end{cases}$（$t$为参数）C.$\begin{cases}x=2\cost+1\\y=3\sint-2\end{cases}$（$t$为参数）D.$\begin{cases}x=\cost\\y=\cos2t\end{cases}$（$t$为参数）9.参数方程$\begin{cases}x=2+t\cos\alpha\\y=1+t\sin\alpha\end{cases}$（$t$为参数），当$\alpha$变化时（）A.表示直线系B.直线过定点$(2,1)$C.直线斜率为$\tan\alpha$D.直线形状不变10.把参数方程化为普通方程时，常用的消参方法有（）A.代入消参B.加减消参C.利用三角恒等式消参D.随意消参三、判断题（每题2分，共10题）1.参数方程中参数的取值范围对曲线形状无影响。（）2.任何曲线都可以用参数方程表示。（）3.曲线$x=\cost$，$y=\sint$（$t$为参数）与$x^2+y^2=1$表示同一曲线。（）4.参数方程化为普通方程时，一定不需要考虑取值范围。（）5.直线的参数方程只有一种形式。（）6.圆的参数方程圆心坐标与普通方程圆心坐标求法不同。（）7.参数方程$\begin{cases}x=t^2\\y=t\end{cases}$（$t$为参数）表示的曲线是抛物线。（）8.若两参数方程表示的曲线相同，则参数一定相同。（）9.消去参数方程$\begin{cases}x=\sint+\cost\\y=\sint\cost\end{cases}$（$t$为参数）中的参数可得到$x^2=1+2y$。（）10.参数方程可以更直观地反映变量之间的依赖关系。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述将参数方程化为普通方程的一般步骤。答案：首先明确参数方程中参数的取值范围，然后通过代入消参、加减消参或利用三角恒等式等方法消去参数，最后根据参数取值范围确定普通方程中变量的取值范围。2.已知圆的参数方程为$\begin{cases}x=1+2\cos\theta\\y=2+2\sin\theta\end{cases}$（$\theta$为参数），求该圆的普通方程及圆心坐标、半径。答案：普通方程为$(x-1)^2+(y-2)^2=4$。圆心坐标为$(1,2)$，半径为$2$。过程：由$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$，可得$(x-1)^2+(y-2)^2=4\cos^2\theta+4\sin^2\theta=4$。3.直线的参数方程为$\begin{cases}x=3+t\\y=1-t\end{cases}$（$t$为参数），求直线的普通方程及斜率。答案：将$t=x-3$代入$y=1-t$，得$y=1-(x-3)$，即$x+y-4=0$，斜率为$-1$。4.说明参数方程$\begin{cases}x=\cos^2\theta\\y=\sin\theta\end{cases}$（$\theta$为参数）所表示曲线的特征。答案：由$x=\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$，把$y=\sin\theta$代入得$x=1-y^2$，$x\in[0,1]$，$y\in[-1,1]$，表示抛物线一部分，开口向左，顶点在$(1,0)$。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论参数方程在实际生活中的应用场景及优势。答案：在机械运动轨迹分析、建筑设计中曲线造型、动画制作等场景有应用。优势在于能方便描述复杂运动轨迹，通过参数可灵活控制曲线形状，还能直观反映变量间依赖关系，简化问题分析。2.对比参数方程和普通方程，分析它们各自的优缺点。答案：普通方程优点是形式简洁，直接体现变量关系，便于研究性质；缺点是对复杂曲线表示困难。参数方程优点能灵活描述曲线，反映运动过程；缺点是参数含义需理解，参数取值范围易忽视，互化有一定难度。3.如何根据曲线特征选择合适的参数方程来表示？答案：若曲线有明显的运动特征，如圆周运动可选三角函数相关参数方程；直线运动可选含一个参数的线性参数方程。有对称、周期等特性的曲线，结合特性找参数关系，如椭圆利用三角函数参数方程体现对称性。4.探讨参数方程中参数的几何意义及在解题中的作用。答案：参数几何意义多样，如直线参数方程中参数$t$有距离等意义。在解题中，可利用其几何意义求距离、交点