高中特色招生数学试题及答案

高中特色招生数学试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.函数\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(3\pi\)D.\(4\pi\)2.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB=\)（）A.\(\{1\}\)B.\(\{4\}\)C.\(\{2,3\}\)D.\(\{1,2,3,4\}\)3.直线\(y=2x+1\)的斜率为（）A.\(-2\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(2\)4.若\(a\gtb\)，则下列不等式成立的是（）A.\(a^2\gtb^2\)B.\(ac\gtbc\)C.\(a+c\gtb+c\)D.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)5.抛物线\(y^2=4x\)的焦点坐标是（）A.\((1,0)\)B.\((0,1)\)C.\((2,0)\)D.\((0,2)\)6.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,4)\)，则\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\)（）A.\((4,6)\)B.\((-2,-2)\)C.\((2,2)\)D.\((-4,-6)\)7.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)在第一象限，则\(\cos\alpha=\)（）A.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(-\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)8.数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2\)，则\(a_5=\)（）A.\(9\)B.\(11\)C.\(13\)D.\(15\)9.函数\(f(x)=x^3\)的导数\(f^\prime(x)\)是（）A.\(3x^2\)B.\(x^2\)C.\(3x\)D.\(1\)10.圆\((x-1)^2+(y+2)^2=4\)的圆心坐标为（）A.\((1,-2)\)B.\((-1,2)\)C.\((1,2)\)D.\((-1,-2)\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些是奇函数（）A.\(y=x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\cosx\)2.下列属于基本不等式应用的是（）A.求函数\(y=x+\frac{1}{x}(x\gt0)\)的最小值B.证明\(a^2+b^2\geq2ab\)C.求三角形面积D.求数列通项公式3.以下哪些是椭圆的标准方程形式（）A.\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)B.\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)C.\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)D.\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)4.对于等差数列\(\{a_n\}\)，下列说法正确的是（）A.\(a_n=a_1+(n-1)d\)（\(d\)为公差）B.若\(m+n=p+q\)，则\(a_m+a_n=a_p+a_q\)C.前\(n\)项和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)D.是常数列时公差\(d=0\)5.下列函数在\((0,+\infty)\)上单调递增的有（）A.\(y=x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=\lnx\)6.已知直线\(l_1:y=k_1x+b_1\)，\(l_2:y=k_2x+b_2\)，若\(l_1\parallell_2\)，则（）A.\(k_1=k_2\)B.\(b_1=b_2\)C.\(k_1k_2=-1\)D.\(b_1\neqb_2\)7.关于复数\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），正确的是（）A.实部是\(a\)B.虚部是\(b\)C.\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)D.\(z\)的共轭复数\(\overline{z}=a-bi\)8.以下哪些是等比数列的性质（）A.\(a_n=a_1q^{n-1}\)（\(q\)为公比）B.若\(m+n=p+q\)，则\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)C.前\(n\)项和\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)\)D.常数列一定是等比数列9.已知\(\triangleABC\)，由下列条件能确定三角形形状的有（）A.\(a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)B.\(A=30^{\circ}\)，\(B=60^{\circ}\)，\(C=90^{\circ}\)C.\(a=b\)，\(A=45^{\circ}\)D.\(a=2\)，\(b=3\)，\(A=30^{\circ}\)10.下列哪些是二项式\((a+b)^n\)展开式的性质（）A.共有\(n+1\)项B.二项式系数之和为\(2^n\)C.中间项二项式系数最大D.各项次数都为\(n\)三、判断题（每题2分，共10题）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，则\(a-c\gtb-d\)。（）3.函数\(y=\cosx\)的图象关于\(y\)轴对称。（）4.直线\(x=1\)的斜率不存在。（）5.双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的渐近线方程是\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。（）6.若向量\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，则\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)。（）7.数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=n^2\)，则\(a_n=2n-1\)。（）8.函数\(y=e^x\)的导数是\(y^\prime=e^x\)。（）9.圆\(x^2+y^2=r^2\)的圆心是原点\((0,0)\)。（）10.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比数列，则\(b^2=ac\)。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=x^2-2x+3\)的对称轴和顶点坐标。-答案：对于二次函数\(y=ax^2+bx+c\)，对称轴\(x=-\frac{b}{2a}\)，此函数\(a=1\)，\(b=-2\)，则对称轴\(x=1\)。把\(x=1\)代入函数得\(y=2\)，顶点坐标为\((1,2)\)。2.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)为第二象限角，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。-答案：因为\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，则\(\cos\alpha=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}\)。\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}\)。3.求过点\((1,2)\)且斜率为\(3\)的直线方程。-答案：由直线的点斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（\((x_0,y_0)\)为直线上一点，\(k\)为斜率），已知点\((1,2)\)，斜率\(k=3\)，则直线方程为\(y-2=3(x-1)\)，即\(y=3x-1\)。4.计算\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值。-答案：根据定积分公式\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)\)，则\(\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_{0}^{1}=\frac{1}{3}(1^3-0^3)=\frac{1}{3}\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上的单调性，并说明理由。-答案：在\((0,+\infty)\)上，任取\(x_1\ltx_2\)，\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，所以\(f(x_1)\gtf(x_2)\)，函数单调递减。同理在\((-\infty,0)\)上也单调递减。2.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)，讨论\(a\)，\(b\)变化时对椭圆形状的影响。-答案：\(a\)决定椭圆在\(x\)轴方向的“长度”，\(a\)越大，椭圆越扁长；\(b\)决定椭圆在\(y\)轴方向的“长度”，\(b\)越大，椭圆越接近圆。当\(a\)，\(b\)差距越大，椭圆越扁；当\(a\)，\(b\)越接近，椭圆越接近圆。3.探讨等差数列与一次函数的关系。-答案：等差数列通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d=dn+(a_1-d)\)，当\(d\neq0\)时，\(a_n\)是关于\(n\)的一次函数，\(d\)是斜率，\(a_1-d\)是截距；\(d=0\)时，\(a_n\)是常函数。其图象是直线上的孤立点。4.讨论在三角形中，已知两边及其中一边的对角，解三角形的情况。-答案：已知\(a\)，\(b\)，\(A\)。当\(A\)为钝角或直角，若\(a\gtb\)有一解，\(a\leqb\)无解；当\(A\)为锐角，若\(a\geqb\)有一解，\(a\ltb\)时，\(a\gtb\sinA\)有两解，\(a