第3讲　带电粒子在匀强磁场、复合场中的运动

(本讲对应学生用书P215)第3讲带电粒子在匀强磁场、复合场中的运动目录1核心知识·优化增分2高分能力·突破瓶颈3方法研练·素养提升4课后提能演练

匀速直线匀速圆周

二、带电粒子在复合场中的运动1.复合场的分类.（1）叠加场：电场、

、重力场共存.

（2）组合场：电场与磁场分别位于不同的区域内，并不重叠；或在同一区域，电场、磁场

出现.

磁场交替2.带电粒子在复合场中的运动分类.（1）静止或匀速直线运动：当带电粒子在复合场中所受合外力

时，将处于静止状态或做匀速直线运动.

（2）匀速圆周运动：当带电粒子所受的

与

大小相等、方向相反时，带电粒子在

的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动.

为零重力电场力洛伦兹力

甲

乙交流相等

丙速度qE=qvB

丁内正BLv1.［带电粒子在磁场中的运动］（多选）如图所示，在匀强磁场中，磁感应强度B1=2B2，当不计重力的带电粒子从B1磁场区域运动到B2磁场区域时，粒子的（）A.速率将加倍B.轨迹半径加倍C.周期将加倍D.做圆周运动的角速度将加倍BC2.［回旋加速器］回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电源两极相连接的两个D形金属盒，两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，如图所示.设D形盒半径为R.若用回旋加速器加速质子时，匀强磁场的磁感应强度为B，高频交流电频率为f.则下列说法正确的是

（）A.质子被加速后的最大速度不可能超过2πfRB.质子被加速后的最大速度与加速电场的电压大小有关C.高频电源只能使用矩形交变电流，不能使用正弦式交变电流D.不改变B和f，该回旋加速器也能用于加速α粒子A

3.［带电粒子在复合场中的运动］如图所示，一带电小球在一电场、磁场正交区域里做匀速圆周运动，电场方向竖直向下，磁场方向垂直纸面向里，则下列说法正确的是

（）A.小球一定带正电B.小球一定带负电C.小球的绕行方向为逆时针D.改变小球的速度大小，小球将不做圆周运动B4.［质谱仪］质谱仪的两大重要组成部分是加速电场和偏转磁场.如图所示为质谱仪的原理图.设想有一个静止的质量为m、带电荷量为q的带电粒子（不计重力），经电压为U的加速电场加速后垂直进入磁感应强度为B的偏转磁场中，带电粒子打到底片上的P点，设OP=x，则在下列图中能正确反映x与U之间的函数关系的是

（）A

B

C

DB

考点1带电粒子在匀强磁场中的运动［能力考点］1.圆心的确定（1）已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆周运动的圆心（如图甲所示）.甲乙（2）已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心（如上图乙所示）.甲乙（3）带电粒子在不同边界磁场中的运动：①直线边界（进出磁场具有对称性，如下图所示）.②平行边界（存在临界条件，如下图所示）.甲乙丙甲乙丙③圆形边界（沿径向射入必沿径向射出，如右图所示）.2.半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），求解时注意以下几个重要的几何特点：（1）粒子速度的偏向角φ等于圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角θ）的2倍（如图所示），即φ=α=2θ=ωt.（2）直角三角形的应用（勾股定理）.找到AB的中点C，连接OC，则△AOC与△BOC都是直角三角形.Rcosθ=R-d，Rsinθ=L，R2=（R-d）2+L2.

C

题后思考

带电粒子在磁场中运动解法1.如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场.一质子以某一速度从立方体左侧垂直yOz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域.下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是

（）A【解析】由题意知当质子射出后先在MN左侧运动，刚射出时根据左手定则可知在MN受到y轴正方向的洛伦兹力，即在MN左侧会向y轴正方向偏移，做匀速圆周运动，y轴坐标增大；在MN右侧根据左手定则可知洛伦兹力反向，质子在y轴正方向上做减速运动，A正确，B错误；根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，z轴坐标不变，C、D错误.2.（2023年广东卷）（多选）如图所示，两个初速度大小相同的同种离子a和b，从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上.不计重力.下列说法正确的有

（）A.a、b均带正电B.a在磁场中飞行的时间比b的短C.a在磁场中飞行的路程比b的短D.a在P上的落点与O点的距离比b的近AD

（1）求OK间的距离；

（2）速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO间的距离；

（3）在（2）基础上，速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集.以粒子射出的时刻为计时O点.求打开磁场的那一时刻.

考点2带电粒子在磁场中运动的临界问题［能力考点］1.有界磁场分布区域的临界问题该类问题主要解决外界提供什么样以及多大的磁场，使运动电荷在有限的空间内完成规定偏转程度的要求，一般求解磁场分布区域的最小面积，它在实际中的应用就是磁约束.2.常用规律（1）刚好穿出磁场的边界条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与磁场边界相切.（2）当速率v一定时，弧长（或弦长）越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.（3）当速率v变化时，圆周角越大，对应的运动时间越长.

C

BD

2.如图所示，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场，一带正电的质子以速度v0从O点垂直射入磁场.已知两板之间距离为d，板长为d，O是NP板的中点，为使质子能从两板之间射出，试求磁感应强度B应满足的条件（已知质子所带的电荷量为q，质量为m）.

考点3带电粒子在磁场中运动的多解问题［能力考点］带电粒子在磁场中运动的多解问题多解分类轨迹图多解原因带电粒子电性不确定

带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同磁场方向不确定

题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况临界状态不唯一

带电粒子在飞越有界磁场时，可能直接穿过去了，也可能从入射界面反向飞出运动的往复性

带电粒子在空间运动时，往往具有往复性例3

（2024年湖北卷）如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场.一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域.不计重力，下列说法正确的是

（）A.粒子运动轨迹可能经过O点B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向D

AB

A

考点4带电粒子在有界组合场中的运动［能力考点］1.带电粒子在组合场中的两种典型偏转场类型垂直电场线进入匀强电场（不计重力）垂直磁感线进入匀强磁场（不计重力）运动轨迹

（抛物线）

（圆弧，v大小不变）求解方法运动时间2.常见粒子（不计重力）的运动及解题方法

（2）磁场区域Ⅰ的宽度L；

（3）出射点A偏离入射点O1竖直方向的距离y.

1.CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测.图甲是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图乙所示.图乙中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线（如图中带箭头的虚线所示）；将电子束打到靶上的点记为P点.则

（）甲乙DA.M处的电势高于N处的电势B.增大M、N之间的加速电压可使P点左移C.偏转磁场的方向垂直于纸面向外D.增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移

2.如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行.一质量为m，电荷量为q的粒子，从y轴上的P（0，h）点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a（2h，0）点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子重力.求：（1）电场强度E的大小；

（2）粒子到达a点时的速度大小和方向；

（3）abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值.

考点5带电粒子在叠加场中的运动［能力考点］1.带电粒子在叠加场中的运动情况分类（1）磁场力、重力并存：①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动.②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，可由此求解问题.（2）电场力、磁场力并存（不计重力）：①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动.②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题.（3）电场力、磁场力、重力并存：①若三力平衡，一定做匀速直线运动.②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动.③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题.2.“三步”解决带电粒子在叠加场中的运动问题例5

（2024年安徽卷）（多选）空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B.一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示.当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同.Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示.Ⅱ的轨迹未画出.已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则

（）ABD

1.（2024年广州模拟）如图所示，水平放置的两个正对的带电金属板MN、PQ间存在着相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外.在a点由静止释放一带电的微粒，释放后微粒沿曲线acb运动（a、b两点在同一水平高度），c点是曲线上离MN板最远的点.不计微粒所受空气阻力，下列说法正确的是

（）A.微粒在c点时电势能最大B.a点电势低于c点电势C.微粒在运动到c点过程中电场力做的功等于动能的变化量D.微粒到达b点后将沿原路径返回a点A【解析】由题意可知，刚开始运动时，洛伦兹力向右，根据左手定则，可得粒子带负电，则电场力竖直向上，所以粒子从a到c的过程中，电场力做负功，电势能增加，所以微粒在c点时电势能最大，A正确；两金属板间的电场竖直向下，根据沿着电场线电势降低，所以c点的电势低于a点的电势，B错误；微粒在运动到c点过程中重力和电场力做的功等于动能的变化量，C错误；微粒到达b后，再向下运动.又会受到向右的洛伦兹力，所以它会向右偏转，而不会沿原路返回到a点，D错误.

（2）若两极板不带电，保持磁场不变，该粒子仍沿中心线O1O2从O1点射入，欲使粒子从两板左侧间飞出，射入的速度应满足什么条件？

例6

（2023年广东卷）某小型医用回旋加速器的最大回旋半径为0.5m，磁感应强度大小为1.12T，质子加速后获得的最大动能为1.5×107eV.根据给出的数据，可计算质子经该回旋加速器加速后的最大速率约为（忽略相对论效应，1eV=1.6×10-19J）

（）A.3.6×106m/s

B.1.2×107

m/sC.5.4×107m/s

D.2.4×108

m/sC

C

AC

带电粒子在电磁场中运动的解题技巧素养一

用动态圆法求解带电粒子的运动问题类型一

“平移圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向一定，入射点不同，但在同一直线上轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线，该直线与入射点的连线平行界定方法例7如图所示，长方形abcd长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度B=0.25T.一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量q=+2×10-3C的带电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直于ad方向且垂直于磁场射入磁场区域，则

（）A.从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B.从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C.从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边D.从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和be边D

类型二

“放缩圆”模型的应用适用条件速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线

如图所示（图中只画出粒子带正电的情景），速度v越大，运动半径也越大.可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上界定方法以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法例8如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场，下列判断正确的是

（）A.电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长B.电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大C.在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线一定重合D.电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同B

类型三

“旋转圆”模型的应用适用方法速度大小一定，方向不同轨迹圆圆心共圆界定方法例9如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O.O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍.已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力.（1）推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径；

（2）求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角.

素养二

洛仑兹力的实际应用带电粒子在复合场中运动情况分类装置原理图规律组合场质谱仪

回旋加速器

叠加场速度选择器

磁流体发电机

电磁流量计

霍尔元件

当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差例10如图所示为回旋加速器的原理图，它的主要结构是在磁极间的真空室内有两个半圆形的金属扁盒（D形盒）隔开相对放置，D形盒上加交变电压，其间隙处产生交变电场.在D形盒所在处存在匀强磁场.置于中心附近的粒子源产生的带电粒子，在电场中被加速，带电粒子在D形盒内不受电场力，只在洛伦兹力作用下，在垂直磁场平面内做匀速圆周运动.一质量为m，电荷量为q的带电粒子自半径为R的D形盒的中心附近由静止开始加速，D形盒上所加交变电压大小恒为U，D形盒所在处的磁场的磁感应强度为B，不考虑相对论效应，求：（1）带电粒子从D形盒边缘飞出时的速度大小v；

（2）交变电压的周期T；（3）带电粒子从释放到飞出加速器，被加速的次数N.

变式1如图，距离为d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为B1，一束速度大小为v的等离子体垂直于磁场喷入板间，相距为L的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B2，导轨平面与水平面夹角为θ，两导轨分别与P