2025版高考数学复习第八单元第43讲双曲线练习文含解析新人教A版

PAGEPAGE1第43讲双曲线1.下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是 ()A.x2-y24=1 B.x24C.x2-y22=1 D.x222.[2024·珠海模拟]若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y-1=0A.52 B.C.3+12 D.33.已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=24y的焦点重合,其一条渐近线的倾斜角为30°,则该双曲线的标准方程为 ()A.x29-y227=1 B.yC.y212-x224=1 D.y4.[2024·石嘴山三中月考]已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以线段F1F2A.x216-y29=1 B.xC.x24-y23=1 D.x5.[2024·诸暨模拟]已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线截椭圆x24+y26.[2024·宁夏平罗模拟]已知双曲线C1:x24-y2=1,双曲线C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C2的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若S△OMF2=16,且双曲线C1A.32 B.4 C.8 D.167.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F(7,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,线段MN中点的横坐标为-23,则此双曲线的方程是 (A.x23-y24=1 B.xC.x25-y22=1 D.x8.已知F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线分别交于点A,B,且A(1,3),若△ABF2为等边三角形,则△BF1A.1 B.2 C.3 D.29.已知A(-2,0),B(2,0),斜率为k的直线l上存在不同的两点M,N,满意|MA|-|MB|=23,|NA|-|NB|=23,且线段MN的中点为(6,1),则k的值为 ()A.-2 B.-12C.12 D.10.如图K43-1,过双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与E的渐近线交于B,C两点,若BC+2BA=0,图K43-1A.y=±3x B.y=±4xC.y=±2x D.y=±2x11.[2024·河南中原名校检测]已知直线x-2y+1=0与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且线段AB的中点MA.2 B.62C.52 D.12.[2024·银川一中月考]已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),抛物线y2=4cx与双曲线在第一象限内相交于点P,若|PF2|=|F1F13.[2024·海南中学月考]已知双曲线C的一条渐近线方程是x-2y=0,且双曲线C过点(22,1).(1)求双曲线C的方程;(2)设双曲线C的左、右顶点分别是A1,A2,点P(异于A1,A2)为双曲线C上随意一点,直线PA1,PA2分别与直线l:x=1交于M,N,求|MN|的最小值.14.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,渐近线方程是y=±255x,点A(0,b),(1)求双曲线C的标准方程;(2)直线l:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线C交于不同的两点P,Q,若|AP|=|AQ|,求实数m的取值范围.15.已知双曲线Γ1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆Γ2:x23+y24=1的离心率为e,直线MN过点F2与双曲线交于M,N两点,若cos∠F1MN=cos∠F1F2M,且A.30°,150° B.45°,135°C.60°,120° D.15°,165°16.以椭圆x29+y25=1的顶点为焦点,焦点为顶点的双曲线C的左、右焦点分别是F1,F2,已知点M的坐标为(2,1),双曲线C上的点P(x0,y0)(x0>0,y0>0)满意PF1·MF1|A.2 B.4 C.1 D.-1课时作业(四十三)1.A[解析]A中双曲线的渐近线方程为y=±2x;B中双曲线的渐近线方程为y=±12x;C中双曲线的渐近线方程为y=±2x;D中双曲线的渐近线方程为y=±22.B[解析]直线x+2y-1=0的斜率k=-12,由题意知ba=2,即b=2a,∴c2=a2+b2=5a2,∴双曲线的离心率e=5,故选3.B[解析]抛物线x2=24y的焦点坐标为(0,6),由题意知双曲线的一个焦点的坐标为(0,6),∴可设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=∵双曲线的渐近线方程为y=±abx,且其中一条渐近线的倾斜角为30°,∴ab=33,又c=6,c2=a2+b2,∴a2=9,b故双曲线的标准方程为y29-x24.D[解析]由题意得c=32+42=5,因为交点(3,4)在渐近线y=bax上,所以4=3ba,即ba=43,又c2=a2+b2,所以a=3,b=4,5.3[解析]不妨设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为bx-ay=0,由bx-ay=0,x24+y2=1可得x=±2aa2+4b2,y=±2ba2+4b2,∴这条渐近线截椭圆x24+y2=6.D[解析]双曲线C1:x24-y2=1的离心率为52,设F2(c,0),双曲线C2的一条渐近线方程为y=可得|F2M|=bca2+b2=b,则|OM|=c2-b2=a,由S△OMF2=16,可得12ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且ca=52,∴a=8,7.B[解析]设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),将y=x-1代入双曲线的方程,整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),易知b2-a2≠0,则x1+x2=2a2a2-b2,所以x1+x22=a2a2-b2=-23.8.C[解析]由题意知A在双曲线的右支上,依据双曲线的定义,可得|AF1|-|AF2|=2a,∵△ABF2是等边三角形,∴|AF2|=|AB|,∴|BF1|=2a.又∵|BF2|-|BF1|=2a,∴|BF2|=|BF1|+2a=4a.∵在△BF1F2中,|BF1|=2a,|BF2|=4a,∠F1BF2=120°,∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|·|BF2|cos120°,即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×-12=28a2,即c2=7a2,∴b2=c2-a2=6a2,∴双曲线的方程为x2a2-y又点A(1,3)在双曲线上,∴1a2-36a2∴△BF1F2的面积为12×2a×4a×sin120°=23a2=39.D[解析]由题意知M,N是双曲线的右支上的两点,设双曲线方程为x2a2-y2b2则a=3,c=2,b=1,∴双曲线方程为x23-y2=设M(x1,y1),N(x2,y2),其中x1>3,x2>3且x1≠x2,则x1+x2=12,y1+y2=2.将点M,N的坐标分别代入双曲线方程,得x123-y12=1,x223-y22=1,作差可得13×12×(x1-x2)-2(y10.D[解析]由题易知A(a,0),直线l:y=-x+a与渐近线l1:bx-ay=0交于点Ba2a+b,aba+b,直线l:y=-x+a与渐近线l2:bx+ay=0交于点Ca∵BC+2BA=0,∴AC=3AB,∴a2a-b-a=3a2a+b-a,∴b=2a,∴11.B[解析]因为直线x-2y+1=0与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且线段AB的中点M的横坐标为1,所以M(1,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=2,y1+y2=2,y1-y2x1-x2=12,y1+y2x1+x2=1,将点A,B的坐标代入双曲线的方程得x12a2-y12b2=112.1+2[解析]抛物线y2=4cx的焦点与双曲线的右焦点F2(c,0)相同,抛物线y2=4cx的准线方程为x=-c,∵|PF2|=|F1F2|,结合抛物线的定义可知,P(c,2c),∵点P在双曲线上,∴c2a2-4c2b2=1,∴e2-4e2e2-1=1,∴e4-6e13.解:(1)由渐近线方程可知,双曲线C的方程为x2-4y2=k(k≠0),把(22,1)代入可得k=4,所以双曲线C的方程为x24-y2=(2)分析可知,当|MN|取到最小值时,点P在双曲线的右支上.由题可得A1(-2,0),A2(2,0),依据双曲线方程可得yx-2·y依据双曲线的对称性,不妨设点P在第一象限,设直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2(k1,k2>0),可得k1k2=14直线PA1的方程为y=k1(x+2),令x=1,得y=3k1,即M(1,3k1),直线PA2的方程为y=k2(x-2),令x=1,得y=-k2,即N(1,-k2),所以|MN|=|3k1-(-k2)|=3k1+k2≥23k1k当且仅当3k1=k2,即k1=36,k2=32所以|MN|的最小值为3.14.解:(1)由题可知ba=25S△AF1F2=12又a2+b2=c2,③由①②③可得a2=5,b2=4,所以双曲线C的标准方程是x25-y2(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点为D(x0,y0).将y=kx+m与x25-y24=1联立,(4-5k2)x2-10kmx-5m2-20=0,由4-5k2≠0及Δ>0,得4-所以x1+x2=10km4-5k2,x1x0=x1+x22=5km4-由|AP|=|AQ|知,AD⊥PQ,又A(0,2),所以kAD=y0-2x0=10k2=8-9m.⑤将⑤代入④,解得m<-92或m>又由10k2=8-9m>0,得m<89综上,实数m的取值范围是-∞,-92∪0,89.15.C[解析]设双曲线Γ1的半焦距为c.由cos∠F1MN=cos∠F1F2M,可得∠F1MN=∠F1F2M,∴|MF1|=|F1F2|=2c,由双曲线的定义可得|MF2|=|MF1|-2a=2c-2a.∵椭圆Γ2:x23+y24=1的离心率e=∴|F1M||F1N|=e=12,∴|NF1|=在△MF1F2中,由余弦定理得cos∠F1F2M=4c2+在△NF1F2中,由余弦定理得cos∠F1F2N=4c2+∵∠F1F2M+∠F1F2N=180°,∴cos∠F1F2M+cos∠F1F2N=0,即c-a2c整理得2a2+3c2-7ac=0,设双曲线的离心率为e1,则3e12-7e1+2=0,解得e1=2或e1=13∴a2+b2a2=4,∴3a2=b2∴双曲线的渐近线方程为y=±3x,∴双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为60°,120°.故选C.16.A[解析]由题意知双曲线的方程为x24-y2由PF1·MF1|