2025版高中数学第二章圆锥曲线与方程专题突破一离心率的求法学案含解析新人教B版选修2-1

PAGEPAGE18专题突破一离心率的求法一、以渐近线为指向求离心率例1(1)已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．答案2或eq\f(2\r(3),3)解析方法一由题意知，双曲线的渐近线存在两种状况．当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示，所以双曲线的一条渐近线的斜率k＝eq\r(3)或k＝eq\f(\r(3),3)，即eq\f(b,a)＝eq\r(3)或eq\f(\r(3),3).又b2＝c2－a2，所以eq\f(c2－a2,a2)＝3或eq\f(1,3)，所以e2＝4或eq\f(4,3)，所以e＝2或eq\f(2\r(3),3).同理，当双曲线的焦点在y轴上时，则有eq\f(a,b)＝eq\r(3)或eq\f(\r(3),3)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)或eq\r(3)，亦可得到e＝eq\f(2\r(3),3)或2.综上可得，双曲线的离心率为2或eq\f(2\r(3),3).方法二依据方法一得到：当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，则离心率e＝eq\f(1,cosθ)＝eq\f(2\r(3),3)或2；当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，则离心率e＝eq\f(1,sinθ)＝2或eq\f(2\r(3),3).综上可得，双曲线的离心率为2或eq\f(2\r(3),3).(2)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．考点双曲线的简洁几何性质题点求双曲线的离心率答案[2，＋∞)解析由题意知eq\f(b,a)≥eq\r(3)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2≥3，∴e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)≥2，故离心率e的取值范围是[2，＋∞)．点评(1)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着亲密的联系，可以借助eq\f(b,a)＝eq\r(e2－1)进行互求．一般地，假如已知双曲线离心率的值求渐近线方程，或者已知渐近线方程，求离心率的值，都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种状况)，不能遗忘分类探讨．(2)当直线与双曲线有一个公共点时，利用数形结合思想得到已知直线与渐近线斜率的关系，得到eq\f(b,a)的范围，再利用e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)得到离心率的取值范围．跟踪训练1中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为()A.eq\r(6)B.eq\r(5)C.eq\f(\r(6),2)D.eq\f(\r(5),2)考点双曲线的简洁几何性质题点求双曲线的离心率答案D解析由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为y＝－eq\f(b,a)x，∴－2＝－eq\f(b,a)·4，∴a＝2b.方法一设b＝k(k>0)，则a＝2k，c＝eq\r(5)k，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5)k,2k)＝eq\f(\r(5),2).方法二e2＝eq\f(b2,a2)＋1＝eq\f(1,4)＋1＝eq\f(5,4)，故e＝eq\f(\r(5),2).二、以焦点三角形为指向求离心率例2如图，F1和F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．思维切入连接AF1，在△F1AF2中利用双曲线的定义可求解．考点双曲线的简洁几何性质题点求双曲线的离心率答案eq\r(3)＋1解析方法一如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.易知△AF1F2为直角三角形，则|AF1|＝eq\f(1,2)|F1F2|＝c，|AF2|＝eq\r(3)c，∴2a＝(eq\r(3)－1)c，从而双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝1＋eq\r(3).方法二如图，连接AF1，易得∠F1AF2＝90°，β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°，于是离心率e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,||AF2|－|AF1||)＝eq\f(sinα＋β,|sinα－sinβ|)＝eq\f(sin90°,|sin60°－sin30°|)＝eq\r(3)＋1.点评涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求得eq\f(c,a)的值．跟踪训练2设F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,6)考点椭圆的离心率问题题点求a，b，c得离心率答案A解析如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线．所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|.由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即a＝eq\f(3|PF2|,2)，2c＝|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|，即c＝eq\f(\r(3)|PF2|,2)，则e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3)|PF2|,2)·eq\f(2,3|PF2|)＝eq\f(\r(3),3).三、寻求齐次方程求离心率例3已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．思维切入通过2|AB|＝3|BC|，得到a，b，c的关系式，再由b2＝c2－a2，得到a和c的关系式，同时除以a2，即可得到关于e的一元二次方程，求得e.考点双曲线的简洁几何性质题点求双曲线的离心率答案2解析如图，由题意知|AB|＝eq\f(2b2,a)，|BC|＝2c.又2|AB|＝3|BC|，∴2×eq\f(2b2,a)＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．点评求圆锥曲线的离心率，就是求a和c的值或a和c的关系，然后依据离心率的定义求得．但在多数状况下，由于受到题目已知条件的限制，很难或不行能求出a和c的值，只能将条件整理成关于a和c的关系式，进而求得eq\f(c,a)的值，其关键是擅长利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解．跟踪训练3已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．考点椭圆的离心率问题题点求a，b，c的齐次关系式得离心率答案eq\f(\r(5)－1,2)解析在△ABF中，|AB|＝eq\r(a2＋b2)，|BF|＝a，|AF|＝a＋c.由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(－1±\r(5),2).因为0<e<1，所以e＝eq\f(\r(5)－1,2).四、利用圆锥曲线的范围求离心率的取值范围例4已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．思维切入设P点坐标，通过eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝c2及椭圆方程得到x2的值，由x2∈[0，a2]，求得a2的范围进而求得e的取值范围．考点椭圆的离心率问题题点由a与c的关系式得离心率答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))解析设P(x，y)，则eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，将y2＝b2－eq\f(b2,a2)x2代入上式，解得x2＝eq\f(2c2－b2a2,c2)＝eq\f(3c2－a2a2,c2).又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝eq\f(c,a)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))).点评一是通过设点的坐标，利用圆锥曲线上点的坐标的范围，转化为离心率的取值范围．二是利用焦半径的范围得到a与c的不等式从而求得离心率的范围．(1)椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c]．(2)双曲线的焦半径①点P与焦点F同侧时，其取值范围为[c－a，＋∞)；②点P与焦点F异侧时，其取值范围为[c＋a，＋∞)．跟踪训练4已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C．2D.eq\f(7,3)考点双曲线的简洁几何性质题点求双曲线的离心率答案B解析∵P在双曲线的右支上，∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，∵|PF1|＝4|PF2|，∴4|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝eq\f(2,3)a，依据点P在双曲线的右支上，可得|PF2|＝eq\f(2,3)a≥c－a，∴eq\f(5,3)a≥c，又∵e>1，∴1<e≤eq\f(5,3)，∴此双曲线的离心率e的最大值为eq\f(5,3).1．假如椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，那么双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率为()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\f(5,4)C.eq\r(2)D．2考点题点答案A解析由已知椭圆的离心率为eq\f(\r(3),2)，得eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，∴a2＝4b2.∴e2＝eq\f(a2＋b2,a2)＝eq\f(5b2,4b2)＝eq\f(5,4)，∴双曲线的离心率e＝eq\f(\r(5),2).2．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点到其渐近线的距离不大于eq\f(2\r(5),5)a，其离心率e的取值范围为()A．[eq\r(3)，＋∞) B．[eq\r(5)，＋∞)C．(1，eq\r(3)] D．(1，eq\r(5)]考点题点答案D解析依题意，点(a,0)到渐近线bx＋ay＝0的距离不大于eq\f(2\r(5),5)a，∴eq\f(|ba＋0|,\r(b2＋a2))≤eq\f(2\r(5),5)a，解得e≤eq\r(5).又∵e>1，∴1<e≤eq\r(5)，故选D.3．(2024·深圳检测)以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)考点题点答案B解析由题意可得b＝c，所以a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(2)c，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).4．若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2无公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))考点题点答案D解析由题意知圆的半径是椭圆的焦距，∴由圆在椭圆内部，得b>c，即b2>c2，∴a2>2c2，故0<e＝eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2).5．设F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．考点题点答案eq\r(3)解析依据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝6a，,|PF1|－|PF2|＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝4a，,|PF2|＝2a.))又∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|最小．在△PF1F2中，由余弦定理，得eq\f(4a2＋4c2－4a2,2×4a×2c)＝cos30°，∴2eq\r(3)ac＝3a2＋c2.等式两边同除以a2，得e2－2eq\r(3)e＋3＝0，解得e＝eq\r(3).一、选择题1．已知点(2,3)在双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为()A．2B.eq\f(5,2)C．3D．4考点双曲线的简洁几何性质题点求双曲线的离心率答案A解析依据点(2,3)在双曲线上，得eq\f(4,a2)－eq\f(9,b2)＝1，①考虑到焦距为4，则2c＝4，即c＝2.②联立①②及a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝eq\r(3)，所以离心率e＝2.2．(2024·江西赣州高二检测)若双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝eq\f(3,4)x，则该双曲线的离心率为()A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(16,9)D.eq\f(25,9)考点题点答案B解析双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1的一条渐近线为y＝eq\f(a,b)x，由题意知eq\f(a,b)＝eq\f(3,4)，∴e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(16,9))＝eq\f(5,3).3．若a>1，则双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(eq\r(2)，＋∞) B．(eq\r(2)，2)C．(1，eq\r(2)) D．(1,2)考点题点答案C解析e＝eq\r(1＋\f(1,a2))，∵a>1，∴e∈(1，eq\r(2))．4．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1⊥MF2，则椭圆的离心率为()A.eq\f(1＋\r(3),4)B.eq\r(3)－1C．2eq\r(3)－3D．2－eq\r(3)考点题点答案B解析由题意知，在Rt△MF1F2中，|F1F2|＝2c，∠F1F2M＝60°，∴|MF2|＝c，|MF1|＝2c×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)c，|MF1|＋|MF2|＝c＋eq\r(3)c＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.5．过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM，垂足为M，并且交y轴于点E，若M为EF的中点，则该双曲线的离心率为()A．2B.eq\r(3)C．3D.eq\r(2)考点双曲线的简洁几何性质题点求双曲线的离心率答案D解析取右焦点F(c,0)，渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，∵FM⊥OM，∴可得直线FM的方程为y＝－eq\f(a,b)(x－c)，令x＝0，解得y＝eq\f(ac,b)，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(ac,b)))，∴线段FE的中点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(ac,2b)))，又中点M在渐近线y＝eq\f(b,a)x上，∴eq\f(ac,2b)＝eq\f(b,a)×eq\f(c,2)，解得a＝b，∴双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(2).6．已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是()A．4＋2eq\r(3) B．2eq\r(3)－1C.eq\f(\r(3)＋1,2) D.eq\r(3)＋1考点双曲线的简洁几何性质题点求双曲线的离心率答案D解析因为MF1的中点P在双曲线上，所以|PF2|－|PF1|＝2a，因为△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以eq\r(3)c－c＝2a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1.7．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满意eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))考点椭圆的离心率问题题点由a与c的关系式得离心率答案C解析∵eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(MF1,\s\up6(→))⊥eq\o(MF2,\s\up6(→))，∴点M在以F1F2为直径的圆上，又点M总在椭圆的内部，∴c<b，∴c2<b2＝a2－c2，即2c2<a2，∴eq\f(c2,a2)<eq\f(1,2)，即eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2).又0<e<1，∴0<e<eq\f(\r(2),2).8．(2024·湖北黄冈高二检测)已知直线m：y＝kx＋1过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<a)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝1截得的弦长为l，若l≥eq\f(2\r(5),5)，则椭圆离心率e的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(5),5))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),3)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),5))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(2),3)))考点题点答案A解析圆x2＋y2＝1的圆心到直线m：y＝kx＋1的距离为d＝eq\f(1,\r(k2＋1))，∵直线m：y＝kx＋1被圆x2＋y2＝1截得的弦长l≥eq\f(2\r(5),5)，∴2eq\r(r2－d2)≥eq\f(2\r(5),5)，即2eq\r(1－d2)≥eq\f(2\r(5),5)，解得d2≤eq\f(4,5)，∴eq\f(1,k2＋1)≤eq\f(4,5).∴b＝1且c＝eq\r(a2－b2)＝eq\f(1,k)，即a2＝1＋eq\f(1,k2)，则e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(\f(1,k2),1＋\f(1,k2))＝eq\f(1,k2＋1)≤eq\f(4,5)，得e∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(5),5))).二、填空题9．过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点且与x轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为eq\f(\r(13)bc,3)，则双曲线的离心率为________．考点题点答案eq\f(\r(13),3)解析设F为右焦点，其坐标为(c,0)，令x＝c，代入y＝±eq\f(b,a)x，可得y＝±eq\f(bc,a)，∵S△OAB＝eq\f(\r(13),3)bc，∴eq\f(1,2)×eq\f(2bc,a)×c＝eq\f(\r(13)bc,3)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),3)，则e＝eq\f(\r(13),3).10．设F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝eq\f(9,4)ab，则该双曲线的离心率为________．考点双曲线的简洁几何性质题点求双曲线的离心率答案eq\f(5,3)解析不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.依据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，故r1＝eq\f(3b＋2a,2)，r2＝eq\f(3b－2a,2).又r1·r2＝eq\f(9,4)ab，所以eq\f(3b＋2a,2)·eq\f(3b－2a,2)＝eq\f(9,4)ab，解得eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)(负值舍去)，故e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋1)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＋1)＝eq\f(5,3).11．过点M(1,1)作斜率为－eq\f(1,2)的直线与椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．考点题点答案eq\f(\r(2),2)解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②∵M是AB中点，∴eq\f(x1＋x2,2)＝1，eq\f(y1＋y2,2)＝1，∵直线AB的方程是y＝－eq\f(1,2)(x－1)＋1，∴y1－y2＝－eq\f(1,2)(x1－x2)，①－②可得eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＋eq\f(y1－y2y1＋y2,b2)＝0，即eq\f(2,a2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\f(2,b2)＝0，∴a＝eq\r(2)b，则c＝eq\f(\r(2),2)a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).12．(2024·广东深圳高二期中)椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上随意一点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最大值的取值范围是[c2,3c2]，其中c＝eq\r(a2－b2)，则椭圆M的离心率e的取值范围是________．考点题点答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))解析由题意可知F1(－c,0)，F2(c,0)，设P(x，y)．由eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得x2＝eq\f(a2b2－y2,b2)，∵eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－c－x，－y)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(c－x，－y)，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝x2－c2＋y2＝eq\f(a2b2－y2,b2)－c2＋y2＝a2－c2－eq\f(c2y2,b2)，当y＝0时，eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))取得最大值a2－c2，即c2≤a2－c2≤3c2，∴eq\r(2)c≤a≤2c，则eq\f(1,2)≤e≤eq\f(\r(2),2).三、解答题13．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥eq\f(4,5)c，求双曲线的离心率e的取值范围．考点题点解由题意，知直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0.因为点(1,0)到直线l的距离d1＝eq\f(ba－1,\r(a2＋b2))，点(－1,0)到直线l的距离d2＝eq\f(ba＋1,\r(a2＋b2))，所以s＝d1＋d2＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(2ab,c).由s≥eq\f(4,5)c，得eq\f(2ab,c)≥eq\f(4,5)c，即5aeq\r(c2－a2)≥2c2.于是得5eq\r(e2－1)≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，解得eq\f(5,4)≤e2≤5.因为e>1，所以e的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(5))).14．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2＝60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)考点题点答案A解析设|F1F2|＝2c，|PF1|＋|PF2|＝2a1，||PF1|－|PF2||＝2a2，e1＝eq\f(c,a1)，e2＝eq\f(1,e1)＝eq\f(c,a2).在△PF1F2中，由余弦定理，得4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|，所以16c2＝(|PF1|＋|PF2|)2＋3(|PF1|－|PF2|)2＝4aeq\o\al(2,1)＋12aeq\o\al(2,2)，即4＝eq\f(1,e\o\al(2,1))＋3eeq\o\al(2,1)⇒eeq\o\al(2,1)＝eq\f(1,3)或eeq\o\al(2,1)＝1(舍去)⇒e1＝eq\f(\r(3),3).15．已知直线y＝－x＋1与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1