小学语文教学设计（第2版）课件 第七章“数与代数”内容详解与教材分析

小学数学课程标准与教材研究第七章

“数与代数”内容详解与教材分析目录第一节“数与运算”内容与教材分析“数量关系”内容与教材分析第二节“数与运算”内容与教材分析第一节第一节“数与运算”内容与教材分析一、“数与运算”的内容结构（一）“数的认识”的内容分析“数的认识”主要包含整数、分数、小数和负数的认识，《课标》在延续了2011年版课标内容的基础上，又对“数的认识”提出了新的要求，即数的认识的一致性。在《课标》中，第一学段以万以内整数的认识为主，强调数的意义和数的表示，注重学生对数抽象过程的经历与体验，促进学生数感和符号意识的初步形成。第二学段主要以万以上整数、小数和分数的初步认识为主，强调对十进制计数法的理解，注重对分数单位的感悟，初步了解数的一致性，促进学生数感的发展。第三学段主要包括倍数、因数、奇数、偶数等不同类别的数，小数和分数的进一步认识，注重对小数、分数意义的理解，强调对计数单位的感悟，形成数的一致性认识，促进学生数感和符号意识的发展。第一节“数与运算”内容与教材分析1. 第一学段经历体验数抽象的过程借助直观教具实现数位的理解万以内整数的认识第一节“数与运算”内容与教材分析2. 第二学段理解大数的意义感悟计数单位万以上整数、小数和分数的认识第一节“数与运算”内容与教材分析3. 第三学段利用数的意义实现数的分类在具体情境中实现对数的一致性认识倍数、因数、奇数、偶数等不同类别的数，小数和分数的认识第一节“数与运算”内容与教材分析（二）“数的运算”的内容分析数的运算主要包括整数、小数和分数。三个学段内容具有一定差异性，整体呈现由浅入深、由易到难的规律。第一学段以整数的加减乘除运算为主，强调探索四则运算算理与算法，要求了解四则运算的意义和运算之间的关系，注重学生运算能力和推理意识的初步形成。第二学段数的运算以整数、小数和分数的加减乘除运算为主，注重学生对四则运算和运算律的掌握，对运算意义和关系的理解，初步了解数运算的一致性，促进学生运算能力的发展。第三学段数的运算以四则运算和混合运算为主，注重学生对运算方法的理解和掌握，感悟计数单位在数运算中的重要性，形成对数运算的一致性认识，促进学生运算能力和推理意识的发展。第一节“数与运算”内容与教材分析1. 第一学段主题：整数的加减乘除运算（百以内数的运算为主）要求学生理解四则运算的算理，掌握算法，了解四则运算的意义，感悟运算间的关系，对“运算能力”和“推理意识”的要求较低，仅在“初步”水平，但相比之下，对运算能力的要求明显高于推理意识。第一节“数与运算”内容与教材分析2. 第二学段主题：整数的四则运算、分数和小数的加减运算对运算能力的具体要求限定在“初步”这一程度。但对推理意识的要求相对较低，同时增加了对初步代数思维的要求，但要求较低。初步了解加减法运算的一致性利用算理，理解算法，感悟运算律的重要价值第一节“数与运算”内容与教材分析第三学段数与运算主题主要包括整数、分数和小数四则运算和混合运算，重点是分数与小数的乘除运算。在加减法运算一致性的基础上，借助对数的一致性认识和四则运算间的关系，形成对数的运算的一致性认识。对“运算能力”和“推理意识”也随之提出了更高的要求。该学段《课标》要求学生感悟运算的一致性。学生已经对加减运算的一致性、乘法运算的本质有了一定理解。教师在具体问题情境中，引导学生借助已有知识经验，经历小数和分数算理、算法的探究过程，将整数乘法运算的本质拓展至小数、分数乘法运算，形成对乘法运算的一致性认识，除法运算的一致性也是如此，注重体会、感悟计数单位在数的运算中的重要作用，最后结合四则运算的关系，引导学生理解数的运算的一致性，构建对数与运算一致性的认识。3. 第三学段第一节“数与运算”内容与教材分析二、“数与运算”的教材分析（一）整数的认识与运算数的意义是数与运算的重要内容。学生整数概念建立从认识10以内的数开始，虽然绝大多数学生在入学以前都认识很多数，但难以理解数的意义，建立抽象的数概念，使学生把数与它所代表的数量联系起来还需要一个过程。这部分内容的重点在于理解数的意义，使学生从数量抽象到数。教材编排有以下特点：1、借助直观模型、教具呈现内容2、注重渗透数与运算的一致性第一节“数与运算”内容与教材分析（二）分数的认识与运算分数是数概念的一次重要扩展。分数无论在意义、书写形式，还是在计数单位、计算法则等方面，都与整数有较大不同，但二者都是数，其本质具有一致性。具体而言，教材编排有以下特点：1、以平均分的情境引入分数，让学生体会到分数产生的必要性。2、利用直观模型建立分数单位概念、介绍计数单位。第一节“数与运算”内容与教材分析（三）小数的认识与运算小数是一种特殊的分数，但是又独立于分数，小数也是十进制记数法。小数的出现标志十进制记数法从整数扩展到了分数，使十进制分数与整数在形式上获得了统一。教材编排有以下特点：1、注重从生活情境中引入小数2、集中编排，沟通算理第一节“数与运算”内容与教材分析（四）数的整除数的整除是数与运算主题的重要内容，它不仅是整数运算、异分母分数运算的重要内容，同时也是偶数与奇数、质数与合数等数的分类标准，如能够被2整除的非0自然数是偶数，不能被2整除的非0自然数为奇数。教材编排有以下特色：1、教材注重发挥百数表的重要作用2、借助学生已有经验呈现倍数和因数的抽象概念第一节“数与运算”内容与教材分析（五）运算律运算律及其性质不仅是对运算规律的一般化表达，同时也是理解算理，掌握算法的重要内容。结合律是理解减法算理的关键，分配律是理解多位数乘法算理的关键。对于此部分内容的编写，教材编排有以下特点：1、在运算内容中渗透运算律2、通过比较活动呈现运算律的本质第一节“数与运算”内容与教材分析三、教学建议数与运算内容在小学阶段各年级都有分布，尽管内容多且在教材中分布广，但整体结构比较清晰，教师要抓住核心概念和三个学段教学目标来处理。第二，基于教学目标把握数与运算内容的进阶性。小学三个学段数概念的建立以及数的运算，目标是一致的且任务是相通的，都指向了核心素养的培育。同时，由于学生的年龄差别、经验积累的程度不同，在任务设计和教学过程中要体现出阶段性。第一，基于计数单位这一核心概念，将数的认识与运算关联起来，将数的运算转化为计数单位个数的运算，建立数域之间的关联，架起数的认识与运算的桥梁。“数量关系”内容与教材分析第二节一、“数量关系”的内容结构数量关系主要是用符号（包括数）或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律，小学阶段数量关系主题与问题解决密切相关，重点是使学生理解实际情境中蕴含的数量关系，并将其用含有符号的式子表达出来，进而用合适的方法解决问题。第一学段要求了解四则运算的意义，并借助画图和实物操作等合理表达简单的数量关系，解决数学问题。第二学段要求在理解四则运算的意义，并能进行整数四则混合运算解决问题的基础上，理解和掌握常见的数量关系模型。第三学段着重在具体情境中用含有字母的式子表示数量关系、性质和规律，培养符号意识，并运用比例解决问题，培养模型意识。第二节“数量关系”内容与教材分析第二节“数量关系”内容与教材分析（一）第一学段第一学段数量关系主题包含“运用数和数的运算解决问题”。相关联核心素养的表达都提到了“初步”，也就是说这个阶段发展学生初步的模型意识、几何直观和应用意识等要求并不高，主要是让学生从积累感性经验开始，再到感悟一般性的思维过程。加减乘除四则运算的意义是进行数的运算的依据，也是学生分析数量关系和解决问题的基础。随着学习内容的拓展，学生逐步将四则运算与加法模型和乘法模型建立联系。第二节“数量关系”内容与教材分析1. 理解加减乘除法的数量关系一年级加减法认识既是学生学习计算的开始，也是学生理解和运用数量关系解决问题的开始。通过初步理解加减法意义，学生体会运用数量关系解决问题的过程，也为以后进一步认识加法模型打下基础。二年级过渡到乘除法的认识，学生逐步了解四则运算及其关系，并用其分析实际情况中的数量关系，这既是分析问题和解决问题的需要，也是数量关系主题的重要内容。对于加减法数量关系的理解，要让学生通过对数量的“合并”和“去掉”来感知，加法要让学生体会两个或者两个以上的数量合起来变成一个数量；而减法需要让学生体会从一个数量中去掉另一个数量。对于乘除法关系的理解，乘法通常从相同数量的累加开始，再到“倍”的意义（相同数累加的次数），这两个是乘法最基本的数量关系问题结构；而除法通常有等分和包含两种情况，把总数量平均分给每组确定每一组的多少是等分，如果知道每组有多少但不知道有几组就是包含的情况。第二节“数量关系”内容与教材分析2. 利用具体情境中的数量关系进一步理解四则运算的意义加法作为学习运算意义的起点，要先让学生初步体会什么样的情境用加法，了解加法的意义，进而学习如何计算加法，得出正确的结果。在这个过程中，从解决具体情境中的问题开始，引导学生借助直观模型解决实际问题，尽可能多地采用直观图（点子图等）以及学生自己喜欢的图画帮助其理解加法意义和计算方法。同样的过程体会减法的意义和计算方法，在对加法和减法有一定认识后，进一步了解减法是加法的逆运算，包括理解它们的意义和计算方法。乘法引入时要给学生提供每组个数相同的问题情境。学生学习除法则要从理解“平均分”的意义入手，通过“分一分”的操作活动，经历把一些物体平均分的过程，进一步理解除法的意义。利用运算的意义解决问题会随着学习内容的推进而不断拓展，从加减运算拓展为乘除运算，从整数拓展到小数和分数，但运算的本质不变，计算的基本算理相似。第二节“数量关系”内容与教材分析（二）第二学段第二学段数量关系主题包含“运用四则运算的意义解决问题”“估算”“常见的数量关系”“等量的等量相等”“探索规律”。相关联核心素养的表达仍然在“初步”水平，但增加了推理意识。第二节“数量关系”内容与教材分析1. 理解常见的数量关系并进行问题解决小学数学中大多数问题都可以利用加法模型和乘法模型及其拓展或组合（如表7-2-1所示）进行分析和解决。第二节“数量关系”内容与教材分析2. 理解等量的等量相等这一基本事实首先，让学生经历数学建模的过程，深刻地理解什么是等量的等量相等。教师可以借助跷跷板、天平等学生生活中重要的且能体现等量关系的原型。其次，从多角度入手寻找并表示等量关系。教师可以指导学生借助语言、画图、符号等多种表征方式分析，引导学生利用常见的数量关系或公式（比如单价×数量 = 总价、路程×速度 = 时间等）来找数量间的等量关系，也可以在平常的练习题、例题的讲解中，适当传授给学生一些找关键词的技巧，同时注重对学生语言转换能力的培养。在学生准确、顺利地找出数量间的等量关系后，教师就可以引导学生根据“等量的等量相等”这个基本事实得到结论，这是一个基于建模、符号和基本事实说明的过程，也是数学化的过程，能够为以后方程的学习奠定良好的基础。第二节“数量关系”内容与教材分析（三）第三学段第三学段数量关系主题包含“用字母表示规律和关系”“等式的基本性质”“比和比例”“成正比例的量”。正确地理解问题情境，从中找出数量间的关系，并将其用数学式子表达出来，是衡量学生是否具有灵活建模能力的一个重要标尺，同时也为初中代数式和方程等内容的学习奠定基础。第二节“数量关系”内容与教材分析1. 从数量关系的角度理解“用字母表示规律和关系”“用字母表示规律和关系”作为学生形成初步代数思维的载体，从数量关系的角度分析和解决问题，对于整体理解小学数学中的数与代数领域有重要意义。将字母表示数从单纯求简易方程的未知数拓展成数量关系的一般化表达，是从算术思维到代数思维的拓展。从数量关系角度来理解用字母表示数的学科本质，其教学的重点和意义与以往相比就会产生变化，从某种意义上弥补了小学阶段不学简易方程带来的缺失，有助于发展学生初步的代数思维。教学的重点有以下三个方面。帮助学生建立对符号本身的正确认识优化学生对“用字母表示数”的认识让学生充分经历和体验用字母表示规律的抽象性第二节“数量关系”内容与教材分析2. 在实际情境中理解比和比例比和比例本质上反映的是数量之间的一种关系。比是两个数量倍数关系的表达，这两组数量可以是同类的量，也可以是不同类的量，但它们的关系是确定的，可以用乘法模型来理解。两个相等的比构成比例，按比例分配则是比的拓展应用。帮助学生理解变化的量及变量之间的关系帮助学生建立比例关系模型运用图像讲授正比例在教学中渗透函数思想二、“数量关系”的教材分析（一）四则运算的基本数量关系运用四则运算的意义解决问题是指根据四则运算的意义选择合适的算法解决问题，在实际应用中进一步体会四则运算的意义，以提高分析问题和解决问题的能力的过程，教材有关内容的编写有以下几个特点。第二节“数量关系”内容与教材分析1、采用画图策略理解并分析数量关系2、渗透数量关系模型，为后续内容的学习做铺垫对于乘加和乘减混合运算，教材在编排上有以下两个特点：第二节“数量关系”内容与教材分析1、引导学生用不同的策略解决乘加和乘减问题2、结合具体问题情境帮助学生理解混合算式的意义（二）数量关系模型加法模型和乘法模型是《课标》中两类常见的数量关系，包括总量 = 分量 + 分量，总价 = 单价×数量，路程 = 速度×时间。在一些较复杂的问题中，需要运用加法模型和乘法模型及其拓展或组合分析其中的数量关系。各版本教材主要采用两种方式编排“常见的数量关系”的内容。第二节“数量关系”内容与教材分析1、基于生活呈现概念，有助于学生结合概念的意义探索数量关系模型2、结合具体问题情境探索数量关系模型的拓展（三）估算估算在日常生活中应用广泛，估算与精算都离不开对数量关系的正确判断。估算需要有现实背景，是在不需要算出精确结果时的一种问题解决方法。估算同样要对实际问题中的数量关系进行分析和判断，以便确定合适的估算单位和方法，估算的过程可以理解为是对数量关系理解和运用的过程。教材在编排上有以下几个特点：第二节“数量关系”内容与教材分析1、结合具体情境呈现估算内容，使学生体会估算在解决实际问题中的作用和价值2、重在帮助学生理解估算策略和方法3、以通过估算检验运算结果合理性的方式呈现估算内容（四）等量的等量相等对比不同版本的教材可以发现，仅有北师版教材在“用字母表示数”之后单独安排了“等量关系”这一课，且编排了三个情境问题，逐步加深学生对等量关系的理解（图7-2-9）。这部分内容的教学重点在于为学生提供描述具体情境中等量关系的活动，帮助学生经历将现实问题抽象为等式的过程，积累发现、表达等量关系的经验。《课标》在“教学提示”中指出，教师可以“利用现实背景，引导学生理解等量的等量相等这一基本事实，形成初步的推理意识”，并给出曹冲称象的故事来举例说明如何引导学生利用“等量的等量相等”这一基本事实进行推理。第二节“数量关系”内容与教材分析（五）探索规律“数与代数”领域中存在着大量的教学规律可供学生探索发现。在教学数量关系的时候，除了一些基础知识外，教师还要适时安排找规律的内容，丰富“数与代数”领域的数学内容和数学活动，让学生感受到“数与代数”里存在许许多多的规律，并通过一些探索规律的活动，激发学生的学习热情。教材在编排上有三个特点：第二节“数量关系”内容与教材分析1、重视新旧知识之间的联系，引导学生探索运算规律2、设计了能引发学生动手操作的活动3、用适当形式概括、呈现规律（六）用含有字母的式子表示关系、性质和规律在“用含有字母的式子表示关系、性质和规律”之前，学生虽然没有进行过有关代数知识的学习，但是他们有一些用字母表示数的生活经验和用数量关系解决问题的能力。因此，用字母表示数的学习要结合具体的情境，让学生经历和体验用字母表示数的抽象过程，会用字母或含有字母的式子表达实际情境中的数量关系、性质和规律。教材在编排上有两个特点：第二节“数量关系”内容与教材分析1、注重学生算术思维向代数思维转变的自然过渡2、注重学生符号意识的培养，使学科核心素养得以落地，主要体现在三个方面：强调符号表达的现实意义教材启发学生从不同角度理解用字母表示关系、性质和一般规律的意义与已有经验相联系（七）等式的基本性质“等式的基本性质”是小学数学所涉及的重要基本事实之一，是学生在掌握了一定的算术知识、初步掌握了一些代数知识的基础上进行学习的，是系统学习方程的初步，也是学习解方程的基础和依据。教师在这部分内容的教学中，不能片面地强调等式的性质只适用于左右两边都是数的等式，还要让学生明白等式的性质是解简易方程的依据，两边可以是含有未知数的式子，且对于不等号也是成立的，也就是“a＞b，则a+c＞b+c”，教师在教学中可以根据实际内容适当渗透这一内容。让学生在小学阶段初步接触一些代数的知识，运用等式的性质解简单的方程，能够在一定程度上摆脱算术思维的局限性，加深对方程意义的深入理解，并为进一步学习代数知识做准备。第二节“数量关系”内容与教材分析（八）