广西2025版高考数学一轮复习考点规范练33基本不等式及其应用文

PAGEPAGE1考点规范练33基本不等式及其应用一、基础巩固1.下列不等式肯定成立的是()A.lgx2+14>lgB.sinx+1sinx≥2(x≠kπ,k∈C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.1x2+1>1(x答案C解析因为x>0,所以x2+14≥2·x·12所以lgx2+14≥lg当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知选项C正确;当x=0时,1x2+12.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+1a,n=a+1b,则m+n的最小值是(A.3 B.4 C.5 D.6答案B解析由题意知ab=1,则m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,故m+n=2(a+b)≥4ab=4(当且仅当a=b=3.小王从甲地到乙地来回的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则()A.a<v<ab B.v=abC.ab<v<a+b2 D答案A解析设甲、乙两地相距s,则小王来回两地用时为sa从而v=2s∵0<a<b,∴ab<a∴2a+b<1ab,即4.已知圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则1a+4A.8 B.9 C.16 D.18答案B解析由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba5.若正数x,y满意4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是()A.43 B.53 C.2 D答案C解析由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),则12xy+3xy≤30,即xy≤2,故xy的最大值为2.6.若两个正实数x,y满意2x+1y=1,且x+2y>m2+2m恒成立,则实数A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4) D.(-4,2)答案D解析因为x>0,y>0,2x+所以x+2y=(x+2y)2x+1y=2当且仅当4yx=xy,即由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-4<m<2.7.设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=23,则1x+1A.2 B.32 C.1 D.答案C解析由ax=by=3,1x又a>1,b>1,所以ab≤a+b所以lg(ab)≤lg3,从而1x+1y≤lg38.已知x>1,则logx9+log27x的最小值是.

答案2解析∵x>1,∴logx9+log27x=2lg3lgx+lgx3lg3≥2∴logx9+log27x的最小值为269.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*).则当每台机器运转年时,年平均利润最大,最大值是万元.

答案58解析每台机器运转x年的年平均利润为yx=18-x+25x,而x>0,所以yx≤18-22510.(2024天津,文13)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为答案1解析∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6.∵a,b∈R,∴2a>0,18b>∴2a+18b≥22a-当且仅当2a=18b,即a=-3,b=11.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,其次次提价q%;方案乙:每次都提价p+q2%,若p>q>0,则提价多的方案是答案乙解析设原价为a,则方案甲提价后为a(1+p%)(1+q%),方案乙提价后为a1+p由于(1+p%)(1+q%)<(=1+p因此提价多的是方案乙.12.设a,b均为正实数,求证:1a2+1证明因为a,b均为正实数,所以1a2+当且仅当1a2=又因为2ab+ab≥22ab·ab当且仅当2ab=ab所以1a2+1b2+ab当且仅当1a2=1b二、实力提升13.已知不等式2x2-axy+y2≥0对随意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是()A.a≤22 B.a≥22 C.a≤113 D.a≤答案A解析因为2x2-axy+y2≥0,且y≠0,所以2xy2-axy令t=xy,则不等式变为2t2-at+1≥0由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t∈13即2t2-at+1≥0在t∈13,由2t2-at+1≥0可得a≤2t2+1t,即a又2t+1t≥22t·1当且仅当2t=1t,即t=22时等号成立,所以2t+1t取得最小值22,所以有a≤214.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x对随意实数x,y都成立,则实数a的最小值为(A.1 B.2 C.3 D.4答案D解析令f(y)=|y+4|-|y|,则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x对随意实数x,∴2x+a2x≥f(y)max∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立;令g(x)=-(2x)2+4×2x,则a≥g(x)max=4,∴实数a的最小值为4.15.已知x>0,a为大于2x的常数.(1)求函数y=x(a-2x)的最大值;(2)求y=1a-2解(1)∵x>0,a>2x,∴y=x(a-2x)=12×2x(a-2x)≤12×2故函数y=x(a-2x)的最大值为a2(2)y=1a-2x-x=1a-2故y=1a-2x16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单元:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x(单位:万元).当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+10000x-1450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1000x万元,依题意得,当0<x<80时,L(x)=(0.05×1000x)-13x2-10x-250=-13x2+40当x≥80时,L(x)=(0.05×1000x)-51x-10000x+1450-250=1200-x则L(x)=-(2)当0<x<80时,L(x)=-13(x-60)2+950,此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950当x≥80时,L(x)=1200-x+10000x≤1200-2x·10000x=1200-200=1000,当且仅当x=10000x时,即因为950<1000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.最大利润为1000