河南圣级2025届高三数学考前信息卷文

PAGE7-河南省顶级名校2024年高三考前信息卷文科数学试题一.选择题：（每小题5分，共60分）1.复数z=i9(-1-2i)的共轭复数为A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i设集合A={a,a+1},B={1,2,3},若A∪B的元素个数为4,则a的取值集合为A.{0} B.{0,3} C.{0,1,3} D.{1,2,3}3.已知向量,,则向量在向量方向上的投影为A．-eq\r(,3)B．eq\r(,3)C．-1D．14.如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形．在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是A．B．C．D．5.已知定义域R的奇函数f(x)的图像关于直线x=1对称,且当0≤x≤1时,f(x)=x3,则f(eq\f(5,2))=A．-eq\f(27,8)B．-eq\f(1,8)C．eq\f(1,8)D．eq\f(27,8)6.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为A．B．C．D．7.已知函数f(x)＝2sinx(eq\r(3)cosx－sinx)＋1，若f(x－φ)为偶函数，则φ可以为A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)8.已知a,b是两条异面直线，直线c与a,b都垂直,则下列说法正确的是A.若平面，则 B．若平面，则C．存在平面，使得,,D．存在平面，使得，,9.已知且为常数,圆,过圆内一点(1,2)的直线与圆相交于两点,当弦最短时,直线的方程为,则的值为A．2B．3C．4 D．510.在平面直角坐标系xOy中,M,N分别是x轴正半轴和y=x(x＞0)图像上的两个动点,且|MN|=eq\r(,2),则|OM|2+|ON|2的最大值是A．4-2eq\r(,2)B．eq\f(4,3)C．4D．4+2eq\r(,2)11．已知以圆的圆心为焦点,坐标原点为顶点的抛物线与圆在第一象限交于点，点是抛物线上随意一点，与直线垂直，垂足为，则的最大值为A.1B.2C.D.8已知函数QUOTE则函数的零点个数为A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。共20分。13.某单位一般职工和行政人员共280人，为了了解他们在“学习强国”APP平台上的学习状况，现用分层抽样的方法从全部职员中抽取容量为56的样本，已知从一般职工抽取人数为49人，则该单位行政人员的人数为.14.一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为QUOTE，则推断框中的条件QUOTE中的整数QUOTE的值是．15.在钝角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为，且，已知则△ABC的面积为16.在平面直角坐标系xOy中,定义两点,间的折线距离为，已知点,,,则的最小值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分。解得应写出文字说明、证明过程或验算步骤。17.(12分)已知数列{an}满意：a1+a2+a3+…+an=n-an，（n=1，2，3，…） （1）求证：数列{an-1}是等比数列；（2）令bn=（2-n）（an-1）（n=1，2，3，…），假如对随意n∈N*，都有bn+QUOTEt≤t2，求实数t的取值范围．18．(12分)某市A,B两校组织了一次英语笔试(总分120分)联赛,两校各自选择了英语笔试成果最好的100名学生参赛,成果不低于115分定义为优秀.赛后统计了全部参赛学生的成果(都在区间[100,120]内),将这些数据分成4组:[100,105),[105,110),[110,115),[115,120].得到如下两个频率分布直方图:(1)分别计算A,B两校联赛中的优秀率;(2)联赛结束后两校将依据学生的成果发放奖学金,已知奖学金y(单位:百元)与其成果t的关系式为y=QUOTE.①当a=0时,试问A,B两校哪所学校的获奖人数更多?②当a=0.5时,若以奖学金的总额为推断依据,试问本次联赛A,B两校哪所学校实力更强?19.(12分)如图,在四棱锥B-ACDE中,正方形ACDE所在平面与正△ABC所在平面垂直,M,N分别为BC,AE的中点,F在棱CD上.(1)证明:MN∥平面BDE.(2)已知AB=2,点M到AF的距离为QUOTE,求三棱锥C-AFM的体积。20．(12分)椭圆QUOTE+QUOTE=1(m>1)的左、右顶点分别为A,B,过点B作直线l交直线x=-2于点M,交椭圆于另一点P.(1)求该椭圆的离心率的取值范围;(2)若该椭圆的长轴长为4,证明:QUOTE·QUOTE为定值(O为坐标原点).21.(12分)已知函数f(x)=ax3-x2.(1)若f(x)的一个极值点在(1,3)内,求a的取值范围;(2)若a为非负数,求f(x)在[-1,2]上的最小值.请考生在第22,23题中任选择一题作答,假如多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。22．(满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(为参数,倾斜角),曲线C的参数方程为(为参数,∈[0,π]),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系。(I)写出曲线C的一般方程和直线的极坐标方程;(Ⅱ)若直线与曲线C恰有一个公共点P,求点P的极坐标。23．(满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数的最大值为3,其中m>0。(I)求m的值；(Ⅱ)若a,b∈R,ab>0,a2+b2=m2,求证：。

文科数学试题答案选择题：1~5ABABB6~10BBCBD11~12AB填空题：13.3514.615.16.三、解答题：本大题共6小题，共70分。解得应写出文字说明、证明过程或验算步骤。17.（Ⅰ）证明：由题可知：a1+a2+a3+…+an=n-an，①a1+a2+a3+…+an+1=n+1-an+1，②②-①可得2an+1-an=1

即：an+1-1=QUOTE（an-1），又a1-1=-QUOTE所以数列{an-1是以-QUOTE为首项，以QUOTE为公比的等比数列（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得an=1-QUOTE，∴bn=（2-n）（an-1）=QUOTE…（8分）由bn+1-bn=QUOTE-QUOTE=QUOTE＞0可得n＜3由bn+1-bn＜0可得n＞3所以b1＜b2＜b3=b4，b4＞b5＞…＞bn＞…故bn有最大值b3=b4=QUOTE所以，对随意n∈N*，都有bn+QUOTEt≤t2，等价于对随意n∈N*，都有QUOTE≤t2-QUOTEt成立所以t2-QUOTEt-QUOTE≥0解得t≥QUOTE或t≤-QUOTE所以，实数t的取值范围是（-∞，QUOTE]∪[QUOTE，+∞）18.解:(1)由频率分布直方图知,A校的优秀率为0.06×5=0.3, 1分B校的优秀率为0.04×5=0.2. 2分(2)①A校的获奖人数为100×(1-0.04×5)=80,…………3分B校的获奖人数为100×(1-0.02×5)=90,…………4分所以B校的获奖人数更多.…………5分②A校学生获得的奖学金的总额为0.2×100×0.5+0.5×100×1.5+0.3×100×2.8=169(百元)=16900(元),…………8分B校学生获得的奖学金的总额为0.1×100×0.5+0.7×100×1.5+0.2×100×2.8=166(百元)=16600(元),………11分因为16900>16600,所以A校实力更强.…………12分19.(1)证明:取BD的中点G,连接EG,MG,∵M为棱BC的中点,∴MG∥CD,且MG=QUOTECD.…………1分又N为棱AE的中点,四边形ACDE为正方形,∴EN∥CD,且EN=QUOTECD.…………2分从而EN∥MG,且EN=MG,于是四边形EGMN为平行四边形,…………3分则MN∥EG. …………4分∵MN⊄平面BDE,EG⊂平面BDE,∴MN∥平面BDE.…………5分(2)解:(法一)过M作MI⊥AC于I,∵平面ACDE⊥平面ABC,∴MI⊥平面ACDE, ………6分过I作IK⊥AF于K,连接MK,则MK⊥AF.…………7分∵AB=2,∴MI=2×QUOTE×QUOTE=QUOTE,∴MK=QUOTE=QUOTE=QUOTE,∴IK=QUOTE,过C作CH⊥AF于H,易知QUOTE=QUOTE=QUOTE,则CH=QUOTE×QUOTE=QUOTE.……9分∵CH=QUOTE=QUOTE,∴CF=1.…………10分(法二)在正△ABC中,∵M为BC的中点,∴AM⊥BC.…………6分∵平面ABC⊥平面ACDE,AC⊥CD,∴CD⊥平面ABC,∴CD⊥AM. …………7分∵BC∩CD=C,∴AM⊥平面BCD,∴AM⊥MF. …………8分设CF=a,在△AFM中,AM=QUOTE,FM=QUOTE,AF=QUOTE,则QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE×QUOTE×QUOTE,解得a=1.…………10分从而VC-AFM=VF-ACM=QUOTE×1×QUOTE×QUOTE×22=QUOTE.…………12分20.(1)解:∵e=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,…………2分又m>1,∴0<e<QUOTE=QUOTE,∴e∈(0,QUOTE).…………4分(2)证明:∵椭圆的长轴长为2QUOTE=4,∴m=2, …………5分易知A(-2,0),B(2,0),设M(-2,y0),P(x1,y1),则QUOTE=(x1,y1),QUOTE=(-2,y0),…………6分直线BM的方程为y=-QUOTE(x-2),即y=-QUOTEx+QUOTEy0,…………7分代入椭圆方程x2+2y2=4,得(1+QUOTE)x2-QUOTEx+QUOTE-4=0,… 8分由韦达定理得2x1=QUOTE,…………9分∴x1=QUOTE,∴y1=QUOTE, …………10分∴QUOTE·QUOTE=-2x1+y0y1=-QUOTE+QUOTE=QUOTE=2m=4.…………12分21.解:(1)当a=0时,明显不合题意,故a≠0. …………1分f'(x)=3ax2-2x,令f'(x)=0,得x=0或x=QUOTE, …………2分由题意可得,1<QUOTE<3,解得QUOTE<a<QUOTE,即a的取值范围为(QUOTE,QUOTE). …………4分(2)当a=0时,f(x)=-x2在[-1,2]上的最小值为f(2)=-4. …………5分当0<a≤QUOTE时,QUOTE≥6,f'(x)=ax(3x-QUOTE).∵x∈[-1,2],∴3x-QUOTE≤0,故f(x)在[-1,0)上单调递增,在(0,2]上单调递减,∴f(x)min=min{f(-1),f(2)}.………………6分∵f(2)-f(-1)=(8a-4)-(-a-1)=9a-3≤0,∴f(x)min=f(2)=8a-4.…………7分当a>QUOTE时,f'(x)=ax(3x-QUOTE),0<QUOTE<2,当x∈[-1,0)∪(QUOTE,2]时,f'(x