2025届高考数学二轮复习第二篇考点五解析几何考查角度2最值和取值范围问题突破训练文

PAGEPAGE1考查角度2最值和取值范围问题分类透析一利用函数的性质求最值例1如图,已知抛物线x2=y,点A-12,14,B32,94,抛物线上的点P(x,y(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|·|PQ|的最大值.分析(1)求出AP的斜率k与x的关系式,利用-12<x<3(2)求出|PA|·|PQ|关于k的关系式,构造函数,用导数求出其最大值.解析(1)设直线AP的斜率为k,k=x2-1因为-12<x<3所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).(2)联立直线AP与BQ的方程kx解得点Q的横坐标是xQ=-k因为|PA|=1+k2x+1|PQ|=1+k2(xQ-x)=-所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间-1,1因此当k=12时,|PA|·|PQ|取得最大值27方法技巧本题在求最大值时,得到的结果是关于k的四次函数,可以通过求导找出要求的最值.一般状况下,若表达式不易转化为基本不等式或者二次函数模型,但易求其导数时,通常可以通过求导找出最值.分类透析二利用不等关系或均值不等式求最值例2已知点P为椭圆E:x24+y22=1上的动点,点Q满意(1)求点Q的轨迹M的方程;(2)直线l:y=kx+n与M相切,且与圆x2+y2=49交于A,B两点,求△ABO面积的最大值(其中O为坐标原点)分析(1)设P(x,y),Q(x0,y0),由已知找出坐标的关系,用相关点法求出轨迹方程;(2)由直线与椭圆相切,联立两个方程,消去y建立一元二次方程,通过判别式等于0,并结合题设条件建立有关参变量k,n的等量关系.求三角形的面积,可利用弦长公式求出底边的长,再利用点到直线的距离求出高,进而可以确定面积,然后利用均值不等式求其最大值.解析(1)设Q(x,y),P(x0,y0),由OQ=13得(x,y)=13(x0,y0),则又点P(x0,y0)在椭圆E上,故(3x)2即点Q的轨迹M的方程为x249+y(2)直线l:y=kx+n与椭圆M:x249+y229=1相切,故由y=kx+n,x249+y2因为Δ=(36kn)2-4(18k2+9)(18n2-4)=4×18(4k2-9n2+2)=0,所以4k2=9n2-2(明显n≠0).因为点O到直线AB的距离d=|n所以|AB|=249因为4k2=9n2-2,所以n2≥29所以d2=n2k2+1=则S△AOB=12·|AB|·d=12·249-d2·d=49-d2·d2≤29,当且仅当49-d方法技巧解决圆锥曲线中的最值问题,一般有两种方法:一是几何法,特殊是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解;二是代数法,将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即依据条件列出所求的目标函数),然后依据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等,求解最大或最小值.分类透析三取值范围问题例3已知椭圆C:x2a2+y2b2=1((1)求椭圆C的方程;(2)设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围.分析(1)由焦点坐标知c=1,由离心率知a=2,进而可求得b2,得到椭圆方程;(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为Q(x3,y3),探讨直线MN的斜率k,当斜率存在时,设出直线MN的方程,代入椭圆方程,由根与系数的关系,得到x3,y3与k的关系,再求出线段MN的垂直平分线,从而求出y0及其取值范围.解析(1)依题意,得c=1.因为椭圆C的离心率为e=12所以a=2c=2,b2=a2-c2=3.故椭圆C的方程为x24+y2(2)当MN⊥x轴时,明显y0=0.当MN与x轴不垂直时,可设直线MN的方程为y=k(x-1)(k≠0).由y=k(x-1),x24+y23=1,消去y并整理得(3+4k2设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为Q(x3,y3),则x1+x2=8k所以x3=x1+x22=4k23+4k2,y故线段MN的垂直平分线的方程为y+3k3+4k2=-1k在上述方程中,令x=0,得y0=k3+4k2当k<0时,3k+4k≤-43当且仅当3k=4k,k=-3当k>0时,3k+4k≥43,当且仅当3k=4k,k=3所以-312≤y0<0或0<y0≤3综上所述,y0的取值范围是-3方法技巧在求解圆锥曲线中的取值范围问题时,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的取值范围.在利用代数法解决取值范围问题时,常从以下方面考虑:①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;②利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系;③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;④利用基本不等式求出参数的取值范围;⑤利用求函数的值域的方法,确定参数的取值范围.1.(2024年全国Ⅲ卷,文20改编)已知斜率为1的直线m与椭圆C:x24+y23=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(x0(1)证明:|n|<37(2)过椭圆C的右焦点作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于G,H两点,线段GH的中点为P,过点P垂直于GH的直线与x轴交于点D17,0,求证解析(1)设直线AB的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组y=x+b,3x2+4y2=12消去y得关于x的方程7x由直线m与椭圆C相交于A,B两点,知Δ>0,即|b|<7.由一元二次方程的根与系数的关系,得x1+x2=-8b7,y1+y2=(x1+b)+(x2+b)=x1+x2+2b=∴n=y1+y22=(2)设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),设G(x3,y3),H(x4,y4),联立y=k(x-1),x24+y23=1整理得(4k2+由韦达定理得x3+x4=8k23+4k2,x3·则y3+y4=k(x1+x2)-2k=-6k∵P为线段GH的中点,∴P的坐标为4k又直线PD的斜率为-1k,故直线PD的方程为y--3k令y=0,得x=k2∵直线AB与x轴交于点D17,0,∴k23+4k2=172.(2024年浙江卷,21改编)如图,已知抛物线C:y2=2px(p≠0)的焦点F在直线2x+y-2=0上,点P是抛物线C上异于坐标原点O的随意一点,抛物线在点P处的切线分别与x轴、y轴交于点B、E.(1)设PE=λPB,求证:λ为定值.(2)在(1)的条件下,直线PF与抛物线C交于另一点A,求△PAB面积的最小值.解析(1)由题意知,抛物线C的焦点Fp2,0在在方程2x+y-2=0中,令y=0,得x=1,所以p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.由点P是C上异于坐标原点O的随意一点,设Pt24,t设切线BP的斜率为k,则切线BP的方程为y-t=kx-由y-t=kx-t24,y2=4x,由k≠0,Δ=16-4k(-kt2+4t)=0,可得4(kt-2)2=0.所以kt-2=0.所以切线BP的斜率k=2t所以切线BP的方程为y-t=2tx-t24在y=2tx+t2中,令x=0,得y=所以点E的坐标为0,在y=2tx+t2中,令y=0,得x=-所以点B的坐标为-t所以PE=0,t2-t24,t=-t2所以PE=12PB.故λ=1(2)由直线FP过点F(1,0),设直线FP的方程为x=my+1.由x=my+1,y2=4x,消去由韦达定理,得yAyP=-4.所以yA=-4yP=-于是S△PAB=12·|BF|·|yA-yP|=12·1+t24·-4t-令f(t)=18(4+t2)·4t+t(t≠0),则f(t)为偶函数,只需探讨函数f(t)在当t>0时,f(t)=18(4+t2)·4t+tf'(t)=183t2+8-16t2=18t2(3t4+8t2-16)当0<t<233时,f'(t)<0,f(当t>233时,f'(t)>0,f(t所以当t>0时,函数f(t)在t=233时取得最小值f23因为f(t)为偶函数,所以当t<0时,函数f(t)在t=-233时取得最小值f-2当t=233时,点P的坐标为当t=-233时,点P的坐标为综上所述,△PAB面积的最小值为163此时点P的坐标为13,21.(2024年江西上饶模拟)已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上,若右焦点到直线x-y+22=0的距离为3.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M,N,当AM=AN时,求m的取值范围.解析(1)依题意可设椭圆方程为x2a2+y2=1,则右焦点F(由题设知|a2-1+22|故所求椭圆的方程为x23+y2=(2)由y得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0.由于直线与椭圆有两个交点,则Δ>0,即m2<3k2+1.①设P为弦MN的中点,∴xP=xM+x∴yP=kxP+m=m3∴kAP=yP+1x又AM=AN,∴AP⊥MN,则-m+3k2+13mk=-1k,即2把②代入①,得2m>m2,解得0<m<2.又由②得k2=2m-13>∴所求m的取值范围是122.(2025届安徽省黄山市一模)设F1、F2分别是椭圆x24+y2=(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点,且PF1·PF2=-(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.解析(1)易知a=2,b=1,c=3,∴F1(-3,0),F2(3,0).设P(x,y)(x>0,y>0),则PF1·PF2=(-3-x,-y)(3-x,-y)=x2+y2-3=-54.又联立x2+y2=7故点P的坐标为1,(2)明显k=0不满意题意,故设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),联立x24+y2=1,y=kx+2,消去y,整理得(1+4∴x1x2=121+4+k2,x1+x2由Δ=(16k)2-4·(1+4k2)·12>0,得k2>34又∠AOB为锐角,∴cos∠AOB>0,∴OA·OB>0,∴OA·OB=x1x2+y1y2>0.∵y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2)·121+4k2+2k·-16k1+4k2+4=4(综合①②可知34<k2<∴直线l的斜率k的取值范围是-2,-33.(2025届山西省高三第一次模拟考试)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>(1)求椭圆E的方程;(2)若A,B,P(点P不与椭圆顶点重合)为E上的三个不同的点,O为坐标原点,且OP=OA+OB,求AB所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值.解析(1)由已知得c=1,2a=4+12+12=∴a=2,b=1,故椭圆E的方程为x22+y2=(2)设直线AB的方程为x=my+t(m≠0),代入x22+y2=1,得(m2+2)y2+2mty+t2-2=设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-2mtm2+2,y1y2=t2-2m2+2设P(x0,y0),由OP=OA+OB,得y0=y1+y2=-2mtm2+2,x0=x1+x2=my1+t+my2+t=m(y1+y2)+∵点P在椭圆E上,∴16t22(m2+2)2+4m2t2(在x=my+t中,令y=0,则x=t;令x=0,则y=-tm∴所求三角形的面积S=12|xy|=12×t2|m|=18×m2+2|m|=1当且仅当m2=2,t2=1时取等号,此时Δ=24>0,∴所求三角形面积的最小值为244.(安徽省马鞍山市2025届高三其次次教学质量监测)在直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(2,0),两动点C(0,m),D(0,n),且mn=3,直线AC与直线BD的交点为P.(1)求动点P的轨迹方程;(2)过点F(1,0)作直线l交动点P的轨迹于M,N两点,试求FM·FN的取值范围.解析(1)直线AC的方程:y=m2(x+2),直线BD的方程:y=-n2(x-2),上述两式相乘得y2=-mn4(x2-4)又mn=3,整理得x24+y2由mn=3得m≠0