2025版高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明第1讲算法初步讲义理含解析

PAGEPAGE15第十一章算法、复数与推理证明第1讲算法初步[考纲解读]1.了解算法的含义及思想，驾驭程序框图的三种基本逻辑结构：依次结构、条件结构、循环结构．(重点)2.了解几种算法的基本语句，输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．[考向预料]从近三年高考状况来看，本讲是每年高考的必考内容.预料2024年将会考查：①框图的干脆计算；②依据框图的输出值添加满意的条件.题型为客观题，试题难度不大，属中、低档题型.1．算法的含义与程序框图(1)算法：算法是指依据eq\o(□,\s\up4(01))肯定规则解决某一类问题的eq\o(□,\s\up4(02))明确和eq\o(□,\s\up4(03))有限的步骤．(2)程序框图：程序框图又称eq\o(□,\s\up4(04))流程图，是一种用eq\o(□,\s\up4(05))程序框、eq\o(□,\s\up4(06))流程线及eq\o(□,\s\up4(07))文字说明来表示算法的图形．在程序框图中，一个或n个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行依次．(3)算法框图的图形符号及其功能2．三种基本逻辑结构及相应语句 续表1．概念辨析(1)一个程序框图肯定包含依次结构，也包含条件结构(选择结构)和循环结构．()(2)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．()(3)在算法语句中，X＝X＋1是错误的．()(4)输入语句可以同时给多个变量赋值．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)依据给出的程序框图(如图)，计算f(－1)＋f(2)＝()A．0B．1C．2D．4答案A解析f(－1)＝4×(－1)＝－4，f(2)＝22＝4，∴f(－1)＋f(2)＝－4＋4＝0.(2)计算机执行下面的程序段后，输出的结果是()eq\x(\a\al(a＝1,b＝3,a＝a＋b,b＝a－b,PRINTa，b,END))A．1,3B．4,1C．0,0D．6,0答案B解析读程序可知a＝1＋3＝4，b＝4－3＝1.(3)已知输入实数x＝12，执行如图所示的流程图，则输出的x是()A．25B．102C．103D．51答案C解析输入x＝12，经过第一次循环得到x＝2×12＋1＝25，n＝2，经过其次循环得到x＝2×25＋1＝51，n＝3，经过第三次循环得到x＝2×51＋1＝103，n＝4，此时输出x，故选C.(4)依据如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为()A．k≥16B．k＜8C．k＜16D．k≥8答案A解析程序运行过程中，各变量的值如下表所示：故退出循环的条件应为k≥16，故选A.题型eq\a\vs4\al(一)依次结构和条件结构1．阅读如图所示程序框图．若输入x为3，则输出的y值为()A．24B．25C．30D．40答案D解析a＝32－1＝8，b＝8－3＝5，y＝8×5＝40.2．(2024·江苏高考)下图是一个算法流程图．若输入x的值为eq\f(1,16)，则输出y的值是________．答案－2解析输入x＝eq\f(1,16)，eq\f(1,16)≥1不成立，执行y＝2＋log2eq\f(1,16)＝2－4＝－2.输出y的值为－2.条件探究将举例说明2中“输入x”改为“输出y”，求输入的x的值．解由题意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥1，,2＋log2x，x<1，))当x≥1时，2x≥2，所以若输出y＝eq\f(1,16)，则必有x<1,2＋log2x＝eq\f(1,16)，解得x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(31,16).应用依次结构与条件结构的留意点(1)依次结构：依次结构是最简洁的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的依次进行的．(2)条件结构：利用条件结构解决算法问题时，重点是推断框，推断框内的条件不同，对应的下一程序框中的内容和操作要相应地进行改变，故要重点分析推断框内的条件是否满意.定义运算a⊗b的结果为执行如图所示的程序框图输出的S，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\f(5π,3)))⊗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2tan\f(5π,4)))的值为()A．4B．3C．2D．－1答案A解析由程序框图可知，S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－b，a≥b，,ba＋1，a<b，))因为2coseq\f(5π,3)＝1,2taneq\f(5π,4)＝2,1<2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\f(5π,3)))⊗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2tan\f(5π,4)))＝2×(1＋1)＝4.题型eq\a\vs4\al(二)循环结构角度1由程序框图求输出(输入)结果1．(2024·烟台模拟)执行如图所示的程序框图，输出的n值为()A．6B．7C．8D．12答案C解析由程序框图可知，第一次循环：S＝eq\f(1,3)，n＝2；其次次循环：S＝eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2，n＝3；第三次循环：S＝eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3，n＝4；……第六次循环：S＝eq\f(1,3)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))6＝eq\f(1－\f(1,729),2)<eq\f(1008,2024)，n＝7；第七次循环：S＝eq\f(1,3)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))7＝eq\f(1－\f(1,2187),2)>eq\f(1008,2024)，n＝8.故终止循环，输出n＝8.故选C.角度2完善程序框图2．(2024·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,99)－eq\f(1,100)，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入()A．i＝i＋1 B．i＝i＋2C．i＝i＋3 D．i＝i＋4答案B解析由S＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,99)－eq\f(1,100)，知程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最终再相减．因此在空白框中应填入i＝i＋2，选B.角度3逆向求解问题3．(2024·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为()A．5B．4C．3D．2答案D解析假设N＝2，程序执行过程如下：t＝1，M＝100，S＝0，1≤2，S＝0＋100＝100，M＝－eq\f(100,10)＝－10，t＝2，2≤2，S＝100－10＝90，M＝－eq\f(－10,10)＝1，t＝3，3＞2，输出S＝90＜91.符合题意．∴N＝2成立．明显2是最小值．故选D.1．循环结构程序框图求输出结果的方法解决此类问题最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体的过程中：第一，要明确是当型循环结构还是直到型循环结构，依据各自特点执行循环体；其次，要明确框图中的累加变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的改变；第三，要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体．2．程序框图补全问题的求解方法(1)先假设参数的推断条件满意或不满意；(2)运行循环结构，始终到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；(3)依据此时各个变量的值，补全程序框图.1．(2024·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满意3n－2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入()A．A>1000？和n＝n＋1B．A>1000？和n＝n＋2C．A≤1000？和n＝n＋1D．A≤1000？和n＝n＋2答案D解析因为题目要求的是“满意3n－2n＞1000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当内的条件不满意时，输出n，所以内填入“A≤1000？”．故选D.2．(2024·洛阳三模)定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[0.6]＝0，[2]＝2，[3.6]＝3，下图的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》．执行该程序框图，则输出a＝()A．9B．16C．23D．30答案C解析由程序框图得k＝1，a＝9，a－3·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))＝0≠2；k＝2，a＝16，a－3·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))＝1≠2；k＝3，a＝23，a－3·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))＝2，a－5·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,5)))＝3，退出循环体，所以输出a＝23，故选C.3．(2024·东北三省四市模拟)庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题．现用程序框图描述．如图所示，若输入某个正整数n后，输出的S∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,16)，\f(63,64)))，则输入的n的值为()A．7B．6C．5D．4答案C解析第一次循环得S＝eq\f(1,2)，k＝2；其次次循环得S＝eq\f(3,4)，k＝3；第三次循环得S＝eq\f(7,8)，k＝4；第四次循环得S＝eq\f(15,16)，k＝5；第五次循环得S＝eq\f(31,32)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,16)，\f(63,64)))，k＝6，此时满意题意，退出循环，所以输入的n值为5，故选C.题型eq\a\vs4\al(三)基本算法语句1．依据如图算法语句，当输入x为60时，输出y的值为()A．25B．30C．31D．61答案C解析该语句表示分段函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x，x≤50，,25＋0.6×x－50，x>50，))当x＝60时，y＝25＋0.6×(60－50)＝31.故输出y的值为31.2．如图程序执行后输出的结果是________．答案990解析程序反映出的算法过程为i＝11⇒S＝11×1，i＝10；i＝1