机器人学导论 课件 第二章-2.4节-速度雅可比

第2章机器人运动学2.4节速度雅可比第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）103机器人技术基础22.4.1刚体的线速度和角速度2.4.2操作臂连杆的运动速度2.4.3速度雅可比2.4.4奇异性本节目录时变位置的符号表示——线速度32025/6/1若{B}中有一时变矢量BQ（t）设有两坐标系{A}、{B}{A}{B}Q则，其在{B}中的速度表达为：其在{A}中的速度表达为：

（速度是自由矢量）刚体的线速度42025/6/1{B}原点在{A}中的向量为APBORG；{B}相对于{A}仅有平移运动；{B}中有一向量BQ，相对于{B}原点的线速度为BVQ；求Q相对于{A}的线速度AVQ已知两刚体，各自的固联坐标系为{A}和{B}AVQ由两个速度向量合成得到：AVQ注意：为求解AVQ，所有矢量都必须转换到{A}坐标系中表达AVQ是相对于{A}的速度，需要用到速度矢量合成计算质点相对参考坐标系的运动坐标系之间的相对平动时变位置的符号表示——角速度52025/6/1点的相对运动只有线速度、而没有角速度刚体之间的相对运动既有线速度、又有角速度角速度一定指两个刚体坐标系之间的相对转动速度角速度表示符号Ω注意：AΩB为一向量，其方向表示{B}相对于{A}旋转的瞬时旋转轴，其大小为旋转速率（回顾等效轴角姿态表示）；角速度也可以在不同坐标系描述，如：C(AΩB)为{B}相对于{A}的角速度在{C}中的描述；ωC=UΩC表示{C}相对于参考坐标系{U}的角速度设有两个刚体坐标系{A}、{B}，原点重合，仅有相对转动，则它们之间的角速度为：刚体的角速度62025/6/1{A}、{B}原点重合；{B}相对于{A}仅有旋转运动，旋转角速度为AΩB；{B}中有一向量BQ，相对于{B}原点的线速度为BVQ；求Q相对于{A}的线速度AVQ已知两刚体，各自的固联坐标系为{A}和{B}首先假设Q在{B}中固定不动，即：但是，由于{B}相对于{A}的旋转AΩB，AVQ显然不等于零72025/6/1从{A}观察Q的变化情况，如右图AQ(t)AQ(t+Δt)AQ(t)绕AΩB右图轴转动，下一时刻到达AQ(t+Δt)显然，AQ(t)和AQ(t+Δt)是以坐标系原点为顶点、AΩB为轴线的圆锥上的两条母线AQ的微分增量Δ一定垂直于AQ和AΩB，且其大小为：其中：θ为AQ与AΩB的夹角于是，AVQ的大小为：方向遵循右手定则，垂直于AQ和AΩB实际上，AVQ垂直等于AQ、AΩB的叉乘：刚体的角速度82025/6/1如果考虑Q的相对于{B}的变化，即：则：于是，若：则：利用旋转变换，把已知变量变换到{A}坐标系，得：质点相对参考坐标系的运动坐标系之间的相对转动回顾叉乘计算方法：刚体的角速度角速度矢量的意义92025/6/1假设通过等效轴-角变换获得该矩阵刚体{B}相对于{A}的姿态矩阵为R

K为旋转矢量

假设经过小时间间隔Δt，转轴不变，而转角为Δθ则可定义角速度矢量可以把角速度矢量简单理解为刚体{B}绕瞬时转轴旋转的时，转角对时间的导数与单位转轴矢量的乘积102025/6/1

对右图所示的{i+1}坐标系，有：角速度矢量的意义线速度与角速度的综合112025/6/1综合{A}和{B}纯平动和纯转动：得：AVBORF≠0BVQ≠0AΩB≠0如果两刚体{A}和{B}之间既有平动，也有转动，且{B}中向量Q相对于{B}有运动，即：

AVBORG

≠0AΩB

≠0BVQ

≠0纯平动纯转动质点相对参考坐标系的运动坐标系之间的相对转动坐标系之间的相对平动注意：此式中，线速度矢量AVBORG、BVQ和位置矢量BQ很容易获得，而如何获得角速度矢量却不明确122.4.1刚体的线速度和角速度2.4.2操作臂连杆的运动速度2.4.3速度雅可比2.4.4奇异性本节目录机器人连杆运动——迭代计算132025/6/1以坐标系{0}为参考坐标系，则各连杆{i}在坐标系{0}中的速度表示为：任一瞬时，连杆{i}的速度矢量如下图所示线速度：υi角速度：ωi图中线速度和角速度均定义在连杆坐标系{i}中线速度：iυi角速度：

iωi连杆{i}轴线{i}机器人连杆运动——迭代计算142025/6/1考虑右图通过转动关节连接的两个连杆：在{i}坐标系中考察{i+1}杆的角速度

iωi+1

iωi+1包含两项：连杆{i}的角速度：

把第二项转换到{i}坐标系，两项相加，可得：机器人连杆运动——迭代计算152025/6/1

在{i}坐标系中考察{i+1}杆坐标原点的线速度

iυi+1

两项相加，可得：iυi+1包含两项：连杆{i}的线速度：关节i的角速度iωi引起的线速度：转换到{i+1}坐标系：机器人连杆运动——迭代计算162025/6/1同样地，可以写出{i+1}为移动关节的速度迭代公式{i+1}为转动关节的速度迭代公式根据上述迭代公式，即可从基坐标{0}开始，根据连杆参数和相邻连杆之间的旋转矩阵，依次求出各连杆在自身坐标系中的速度

迭代计算——实例172025/6/1建立各连杆坐标系，如下图求右图平面2R机器人的末端速度：各相邻连杆之间的齐次变换矩阵为：注意利用了旋转矩阵的转置从基座到末端的旋转矩阵依次为：坐标系平移矢量和基座速度矢量：迭代计算——实例182025/6/1坐标系{1}：利用转动关节的迭代公式，依次计算各杆在自身坐标系下的速度：已知：迭代计算——实例192025/6/1坐标系{2}：利用迭代公式，依次计算各杆在自身坐标系下的速度：已知：迭代计算——实例202025/6/1坐标系{3}：利用迭代公式，依次计算各杆在自身坐标系下的速度：已知：迭代计算——实例212025/6/1则：

迭代计算结果的矩阵表达222025/6/1观察0υ3和0ω3的矩阵表达式把关节速度提出，并写成矩阵相乘的形式：迭代计算结果的矩阵表达232025/6/1把线速度与角速度合并成一个列向量，得：2R平面机器人的速度雅可比矩阵上式为2R平面机器人末端的速度正运动学模型它表明关节速度与末端速度呈线性关系！242.4.1刚体的线速度和角速度2.4.2操作臂连杆的运动速度2.4.3速度雅可比2.4.4奇异性本节目录雅可比矩阵的数学定义252025/6/1设应变量Y=[y1,y2,y3,y4,y5,y6]T、自变量X=[x1,x2,x3,x4,x5,x6]T雅可比矩阵J函数关系微分关系矩阵形式标量形式机器人速度雅可比J机器人速度雅可比矩阵——微分法262025/6/1例题：求右图所示3R平面机器人的速度雅可比矩阵建立D-H坐标系如右下图所示机器人正运动学模型（末端{T}的位姿矩阵）末端位置向量末端姿态矩阵写成函数形式末端位置函数末端姿态函数机器人速度雅可比矩阵——微分法272025/6/1上式对

1、

2、

3取微分，得：把上式写成时间导数的形式：速度雅可比矩阵J上式的矩阵形式为：机器人速度雅可比矩阵——微分法282025/6/1速度雅可比矩阵J

上式的矩阵形式为：速度雅可比矩阵的意义

292025/6/1建立了机器人关节速度矢量与末端速度矢量的线性映射

左上标0表示相对于基坐标系，Θ表示关节矢量速度雅可比矩阵的意义

302025/6/1不同坐标系之间的雅可比矩阵关系例：已知坐标系{B}中的雅可比矩阵，以及坐标系{A}、{B}的旋转矩阵312.4.1刚体的线速度和角速度2.4.2操作臂连杆的运动速度2.4.3速度雅可比2.4.4奇异性本节目录奇异性分析

322025/6/1雅可比矩阵的逆如果雅可比矩阵可逆，则可以根据末端速度矢量，直接得出关节速度矢量在实现机器人直角坐标轨迹控制时，需要使用雅可比的逆雅可比矩阵一定可逆（非奇异）吗？雅可比矩阵的可逆性在机器人的整个工作空间都一致吗？工作空间边界——机器人完全展开或收回工作空间内部——两个或两个以上关节轴共线/平行奇异位形问题——工作空间中雅可比矩阵不可逆的位形奇异位形的几何意义332025/6/1奇异位形实例对于如右图所示的2R平面机器人，已知末端相对于坐标系{3}的雅可比矩阵的线速度项为：显然，当θ=0°或180°时：则，雅可比矩阵的行列式为：当杆完全伸直或收回时，末端只能沿Y3方向移动，而不能沿X3方向移动属于工作空间边界奇异位形奇异性分析

342025/6/1奇异位形实例在末端相对于{0}坐标系的雅可比矩