机器人学导论 课件 第三章-3.1节-静力学

机器人技术基础

第3章机器人力学

3.1机器人静力学

第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）10325.1.1静力学5.1.2静力学的迭代求解5.1.3力雅可比5.1.4速度和力矢量的坐标变换本节目录静力学的概念32025/6/1已知机器人末端负载（静力学不考虑杆件质量）求解机器人静止状态下，各关节的驱动力或力矩机器人静力学分析方法假定关节为锁定状态从末端到基座逐级列出各连杆的静力平衡方程逐级求解关节负载关节负载中包含运动副的结构约束力和关节驱动力关节负载的符号定义fi：连杆i-1施加在连杆i上的力ni：连杆i-1施加在连杆i上的力矩45.1.1静力学5.1.2静力学的迭代求解5.1.3力雅可比5.1.4速度和力矢量的坐标变换本节目录静力的迭代求解52025/6/1力平衡方程单个连杆的静力平衡方程力矩平衡方程其中：ifi为连杆i-1作用在连杆i上的力在{i}中的描述ifi+1为连杆i+1反作用于连杆i的力（或末端杆件所受外力）在{i}中的描述其中：ini为连杆i-1作用在连杆i上的力矩在{i}中的描述ini+1为连杆i+1反作用于连杆i的力矩（或末端杆件所受外力矩）在{i}中的描述iPi+1×ifi+1为ifi+1附加作用于连杆i的力矩在{i}中的描述静力的迭代求解62025/6/1将旋转矩阵代入，重写静力平衡方程静力迭代公式上式即为静力迭代公式，可根据末端负载逐次迭代计算各杆件之间的作用力（包含运动副的结构约束力和关节驱动力）问题：如何求解关节驱动力/力矩思路：连杆i-1对连杆i的作用力ifi或力矩ini矢量中，沿移动关节导路的力分量或绕旋转关节轴的力矩分量显然由驱动器提供关节力/力矩应为关节负载与关节轴线矢量的点积（沿关节轴线分量）移动关节驱动力转动关节驱动力矩静力的迭代求解72025/6/1建立各连杆坐标系，如右图实例：右图所示2R平面机器人，已知末端力矢量3f3，以及当前位形的关节角，求关节力矩

写出从末端到基座各坐标系间的旋转矩阵、坐标原点矢量、负载矢量将上述已知量从末端{3}到基座{0}，逐次代入下式，计算关节转矩静力的迭代求解82025/6/1

对于关节2，已知则静力的迭代求解92025/6/1

对于关节1，已知则静力的迭代求解102025/6/1

最终，得到：写成矩阵形式：思考：当θ2=0°或180°，且fy=0时会发生什么现象？此时，无论fx多大，关节力矩始终为零！数学上，末端负载到关节负载的映射矩阵奇异！静力的迭代求解112025/6/1

回顾坐标系{3}中表达的速度雅可比矩阵：JT在末端坐标系中，末端负载到关节负载的映射矩阵是速度雅可比矩阵的转置这不是巧合！125.1.1静力学5.1.2静力学的迭代求解5.1.3力雅可比5.1.4速度和力矢量的坐标变换本节目录力雅可比矩阵132025/6/1虚功原理当受力物体的位移趋向无穷小时，不同广义坐标系下力做的功相等虚功等于广义力与广义微位移的点积功是标量，可在不同广义坐标系下描述利用虚功原理可建立不同广义坐标系下的力、位移映射关系对6自由度机器人而言，其中：F为笛卡尔空间的广义力，6×1维δX为笛卡尔空间微位移，6×1维τ为关节空间的广义力，6×1维δΘ为关节空间的微位移，6×1维力雅可比矩阵142025/6/1根据雅可比矩阵的定义可得：虚功原理δΘ是广义坐标的变分，可任意取，上式成立则必然有：上式是在末端坐标系中的结论，如果已知相对于{0}坐标系的雅可比矩阵，则用下式：力雅可比矩阵的特性152025/6/1力雅可比矩阵建立了从笛卡尔空间的力F到关节空间的力τ之间的映射关系从末端力到关节力的映射直接基于正运动学模型获得，而无需求逆运算，这一特性有利于在控制中实现末端力控制或补偿末端负载力雅可比矩阵同样存在奇异性，对应着机器人的奇异位形在奇异位形，微小的关节力矩将对应着极大的末端力，几何上对应着机构死锁位置（连杆间压力角为90°）165.1.1静力学5.1.2静力学的迭代求解5.1.3力雅可比5.1.4速度和力矢量的坐标变换本节目录速度和力矢量在不同坐标系间的变换172025/6/1假定在一个刚体上存在两个坐标系{A}、{B}，已知在{A}中定义的力矢量和{A}的速度矢量问题：如何获得在坐标系{B}中定义的力矢量和{B}的速度矢量由前述定义，可知如下表达：6×1维速度矢量6×1维力矢量思路：需要考虑由于{A}、{B}坐标原点偏移引起的线速度变化和附加力矩可以利用连杆速度和力迭代计算的方法，区别仅在于没有关节速度和关节力速度和力矢量在不同坐标系间的变换182025/6/1回顾速度迭代公式：

于是，可得：写成矩阵形式：速度矢量的变换其中，叉乘算子为：速度和力矢量在不同坐标系间的变换192025/6/1把上式写成紧凑形式：速度矢量的变换反之，如果已知坐标系{B}的速度矢量，则：注意速度伴随变换矩阵与坐标变换矩阵的区别和联系速度伴随变换矩阵速度和力矢量在不同坐标系间的变换202025/6/1回