机器人学导论 课件 第三章-3.4节-拉格朗日法

机器人技术基础

第3章机器人力学

3.4拉格朗日法

第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）10323.4.1一般质点系的拉格朗日方程3.4.2两自由度平面机械系统的拉格朗日方程3.4.3操作臂的拉格朗日方程本节目录拉氏函数L=K-U自由度广义坐标广义力广义速度一般质点系的拉格朗日方程以能量观点来研究机械系统的真实运动规律；属于分析力学范畴；区别于牛顿矢量力学；求解步骤规范、统一（确定广义坐标，列出动能、势能和广义力的表达式，代入上式即可）。有关拉氏方程的推导步骤，可以选修研究生阶段的机器人动力学43.4.1一般质点系的拉格朗日方程3.4.2两自由度平面机械系统的拉格朗日方程3.4.3操作臂的拉格朗日方程本节目录两自由度机械系统的动力学分析若机械臂在垂直平面上，考虑重力若机械臂在垂直平面上，无重力X0Y0系统动能是各个连杆动能之和式中，第j个连杆的动能Kj可表示为

事实上，操作臂的动能可以写成一般形式是操作臂惯性矩阵，

n╳n维，二次型，正定的，动能永远为正（1）系统的动能两自由度机械系统的动力学分析（2）系统的势能系统势能是各个连杆势能之和

第j个连杆的势能Pj可表示为式中，

注意：需要为系统定义一个重力势能参考平面，而不要为每个广义坐标定义一个重力势能参考平面。两自由度机械系统的动力学分析例：平面2R机械手的动力学建模选取2个转角为广义坐标。将两个杆均看作是位于在各杆末端的集中质量（即各杆的质心在其末端）。杆1质心的位置和速度：杆2质心的位置和速度：还有其它广义坐标的选择吗？两自由度机械系统的动力学分析例：平面2R机械手的动力学建模两杆的动能项两杆的势能项两自由度机械系统的动力学分析例：平面2R机械手的动力学建模

两自由度机械系统的动力学分析113.4.1一般质点系的拉格朗日方程3.4.2两自由度平面机械系统的拉格朗日方程3.4.3操作臂的拉格朗日方程本节目录操作臂的拉格朗日动力学方程（LagrangianDynamics）122025/6/1关于机械系统动力学的拉格朗日函数其中：

基于拉格朗日函数的动力学方程其中：τ

d为仅考虑惯量和重力的关节驱动力矢量132025/6/1机器人系统动能其中：

构件i

质心线速度动能构件i

角速度动能操作臂的拉格朗日动力学方程142025/6/1对于构件i的线速度和角速度项，根据速度雅可比矩阵可知：其中：

代入构件动能方程，得：Mi(Θ)为构件i的广义质量矩阵，是Θ的函数操作臂的拉格朗日动力学方程152025/6/1于是，机器人系统的总动能可表达为：其中：M(Θ)为系统在关节空间中的广义质量矩阵，n×n维，是Θ的函数我们知道，质点的动能表达式为：可见，机器人等多刚体机械系统的动能表达式，在形式上与质点的动能表达式类似操作臂的拉格朗日动力学方程162025/6/1机器人系统势能

构件i重力势能的构造定义一个零势能参考坐标系{ref}势能增量是重力做功的负值：其中：0gT=[0,0,-g]T为重力矢量

操作臂的拉格朗日动力学方程172025/6/1机器人系统势能

由于：于是，得：使参考面势能为零的项urefi其中：

操作臂的拉格朗日动力学方程182025/6/1完整的机器人拉格朗日动力学方程系统动能：系统势能：

操作臂的拉格朗日动力学方程192025/6/1例：右图所示两自由度及机器人，关节1为旋转关节，关节2为移动关节，l连杆1质心与关节1轴线距离为l1，连杆2质心与关节1轴线的距离为变量d2。两连杆各自的惯性张量为：连杆1动能：连杆2动能：系统总动能：X0Y0X1Y1操作臂的拉格朗日动力学方程X0Y0X1Y1202025/6/1连杆1势能：势能参考点在θ1=－90°位置连杆2势能：势能参考点在θ1=－90°、d2=d2max（最大值）位置系统总势能：根据拉格朗日方程：得：操作臂的拉格朗日动力学方程212025/6/1系统总势能：根据拉格朗日方程：首先，对θ1项求偏微分：系统总动能：得到τ1的表达式：惯性力科氏力重力操作臂的拉格朗日动力学方程222025/6/1系统总势能：根据拉格朗日方程：系统总动能：然后，对d2项求偏微分：得到τ2的表达式：惯性力向心力重力操作臂的拉格朗日动力学方程232025/6/1把系统动力学方程写成矩阵形式：惯性力项M(Θ)n×n—广义质量

向心力项C(Θ)n×n—向心系数重力项操作臂的拉格朗日动力学方程242025/6/1于是，可写出机器人动力学方程通式：其中：惯性力项，反应了关节加速度对关节驱动力的影响M(Θ)称为广义质量矩阵，为n×n维矩阵，其各元素对于移动关节而言表示质量，对转动关节是惯性矩/积其对角线元素称为有效质量，表示各关节加速度对本关节驱动力的影响非对角线元素称为耦合质量，表示各关节加速度之间的耦合影响科氏力项，反应了由于一对关节速度耦合对某关节驱动力的影响

向心力项，反应了角速度对关节驱动力的影响C(Θ)称为向心系数，为n×n维矩阵重力项，反应了各构件重力关节驱动力的影响，为n×1维矩阵有时，为了简洁，把第二、三两项合并，表示为：操作臂的拉格朗日动力学方程252025/6/1上式为无末端接触力的关节驱动力通式如果末端与环境有接触力F0则，关节总驱动力为：则可根据静力分析中的结论，计算末端接触力引起的关节负载τ0计算末端负接触力引起的关节负载τ0操作臂的拉格朗日动力学方程262025/6/1假设质量集中在杆末端点，质量矩阵为假设质量沿杆长均布，质量矩阵为3.在给定条件下，两种假设下，比较质量矩阵M(1,1)的相对误差：讨论：集中质量假设vs均布质量假设操作臂的拉格朗日动力学方程牛顿-欧拉与拉格朗日方程的对比272025/6/1拉格朗日方程方便推导、利于理解可以直接得到封闭形式的动力学方程，利于进行动力学特性分析封闭形式方程的计算机求解运算量大仅能得出关节力/力矩，而没有求出连杆间作用力，不能用于连杆受力分析、变形分析没有给出各连杆速度、加速度的显式解，不利于建立连杆上惯性传感器与关节速度、加速度的关系牛顿-欧拉方程推导过程复杂、不利于理解