北大考硏高数试题及答案

北大考硏高数试题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.函数\(y=\frac{1}{x-1}\)的定义域是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\neq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\lt1\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值为（）A.0B.1C.\(\infty\)D.不存在3.函数\(y=x^2\)在点\(x=1\)处的导数是（）A.1B.2C.3D.44.\(\intxdx\)等于（）A.\(\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(x^2+C\)C.\(\frac{1}{3}x^3+C\)D.\(2x+C\)5.曲线\(y=x^3\)的拐点是（）A.\((0,0)\)B.\((1,1)\)C.\((-1,-1)\)D.无拐点6.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则\(m\)的值为（）A.1B.2C.4D.87.级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)是（）A.发散的B.条件收敛的C.绝对收敛的D.不确定8.函数\(z=x^2+y^2\)在点\((1,1)\)处沿\(\vec{l}=(1,1)\)方向的方向导数为（）A.\(2\sqrt{2}\)B.\(2\)C.\(\sqrt{2}\)D.19.方程\(x^2+y^2-z^2=1\)表示的曲面是（）A.椭球面B.双曲面C.抛物面D.圆锥面10.\(\int_{0}^{1}e^xdx\)的值为（）A.\(e\)B.\(e-1\)C.\(1-e\)D.\(e+1\)多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，在其定义域内连续的有（）A.\(y=\sinx\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=e^x\)2.以下哪些是求导公式（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)3.下列积分中，值为0的有（）A.\(\int_{-a}^{a}x^3dx\)B.\(\int_{-\pi}^{\pi}\sinxdx\)C.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)D.\(\int_{-1}^{1}xdx\)4.多元函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处可微的必要条件有（）A.\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处连续B.\(f_x(x_0,y_0)\)存在C.\(f_y(x_0,y_0)\)存在D.\(f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处偏导数连续5.下列级数中，收敛的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)6.空间曲线\(\begin{cases}x=t\\y=t^2\\z=t^3\end{cases}\)在\(t=1\)处的切线方程为（）A.\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}\)B.\(x-1=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}\)C.\(\begin{cases}x=1+t\\y=1+2t\\z=1+3t\end{cases}\)D.\(\begin{cases}x=1-t\\y=1-2t\\z=1-3t\end{cases}\)7.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2\)的矩阵为（）A.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&2&0\\2&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)8.下列说法正确的是（）A.可导函数一定连续B.连续函数一定可导C.函数在某点极限存在则一定连续D.函数在某点可微则一定可导9.对于二重积分\(\iint_Df(x,y)d\sigma\)，\(D\)为\(x^2+y^2\leqslant1\)，下列说法正确的有（）A.可利用极坐标变换计算B.积分区域\(D\)是圆域C.当\(f(x,y)=1\)时，\(\iint_Df(x,y)d\sigma=\pi\)D.可以化为累次积分\(\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}f(x,y)dydx\)10.函数\(y=x^3-3x\)的极值点有（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=2\)判断题（每题2分，共10题）1.函数\(y=\sqrt{x}\)在\(x=0\)处可导。（）2.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)。（）3.若\(f^\prime(x_0)=0\)，则\(x_0\)一定是\(f(x)\)的极值点。（）4.函数\(z=x^2+y^2\)的全微分\(dz=2xdx+2ydy\)。（）5.级数\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)收敛。（）6.向量\(\vec{a}=(1,-1)\)与\(\vec{b}=(-1,1)\)平行。（）7.曲线\(y=\sinx\)的一个周期内与\(x\)轴围成图形的面积为\(0\)。（）8.函数\(f(x,y)=x^2+y^2\)在点\((0,0)\)处的梯度为\((0,0)\)。（）9.方程\(x^2+y^2=1\)在空间直角坐标系中表示圆柱面。（）10.定积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)的值与积分变量用什么字母表示无关。（）简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=x^3-2x^2+1\)的单调区间。答案：对\(y=x^3-2x^2+1\)求导得\(y^\prime=3x^2-4x=x(3x-4)\)。令\(y^\prime=0\)，解得\(x=0\)或\(x=\frac{4}{3}\)。当\(x\lt0\)或\(x\gt\frac{4}{3}\)时，\(y^\prime\gt0\)，函数单调递增；当\(0\ltx\lt\frac{4}{3}\)时，\(y^\prime\lt0\)，函数单调递减。2.计算\(\intx\sinxdx\)。答案：用分部积分法，设\(u=x\)，\(dv=\sinxdx\)，则\(du=dx\)，\(v=-\cosx\)。由分部积分公式\(\intudv=uv-\intvdu\)，得\(\intx\sinxdx=-x\cosx+\int\cosxdx=-x\cosx+\sinx+C\)。3.求函数\(z=\ln(x^2+y^2)\)的偏导数\(\frac{\partialz}{\partialx}\)和\(\frac{\partialz}{\partialy}\)。答案：\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{2x}{x^2+y^2}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{2y}{x^2+y^2}\)。4.简述判断级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛的比较判别法。答案：设\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)和\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)是两个正项级数，且\(u_n\leqslantv_n(n=1,2,\cdots)\)。若\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)收敛，则\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛；若\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)发散，则\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)发散。讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的渐近线情况。答案：垂直渐近线：令\(x^2-1=0\)，即\(x=\pm1\)，\(x=\pm1\)是垂直渐近线。水平渐近线：\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^2-1}=0\)，\(y=0\)是水平渐近线。无斜渐近线。2.讨论多元函数\(z=f(x,y)\)的极值与最值的关系。答案：极值是函数在局部范围内的最值。函数的极值点可能是最值点，但最值点不一定是极值点，最值还可能在区域边界取得。需比较函数在极值点与边界点处的值才能确定最值。3.讨论定积分与不定积分的联系与区别。答案：联系：定积分计算常借助不定积分，牛顿-莱布尼茨公式将二者相连。区别：不定积分是原函数族，定积分是一个数值。不定积分侧重于求原函数，定积分用于计算面积、体积等实际问题的值。4.讨论级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\)（\(p\gt0\)）的敛散性情况。答案：当\(p\gt1\)时，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收敛，原级数绝对收敛；当\(0\ltp\leqslant1\)时，\(\sum_{n=1}^{\infty}\