全国甲卷文数试题及答案

全国甲卷文数试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB=(\)\)A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.已知\(i\)为虚数单位，\((1+i)i=(\)\)A.\(1-i\)B.\(-1-i\)C.\(1+i\)D.\(-1+i\)3.函数\(y=\log_2(x+1)\)的定义域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(m=(\)\)A.\(4\)B.\(-4\)C.\(1\)D.\(-1\)5.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，则\(a_5=(\)\)A.\(9\)B.\(8\)C.\(7\)D.\(6\)6.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，则\(\cos\alpha=(\)\)A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)7.直线\(y=x+1\)被圆\(x^2+y^2=1\)截得的弦长为（）A.\(1\)B.\(\sqrt{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(2\)8.若\(a=0.3^2\)，\(b=2^{0.3}\)，\(c=\log_20.3\)，则（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(c\lta\ltb\)C.\(c\ltb\lta\)D.\(a\ltc\ltb\)9.双曲线\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)的渐近线方程为（）A.\(y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}x\)B.\(y=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}x\)C.\(y=\pm\frac{5}{4}x\)D.\(y=\pm\frac{4}{5}x\)10.函数\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些是奇函数（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\log_2x\)2.下列说法正确的是（）A.若\(a\gtb\)，则\(a^2\gtb^2\)B.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，则\(a-c\gtb-d\)C.若\(a\gtb\gt0\)，则\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)D.若\(a\gtb\)，\(c\gt0\)，则\(ac\gtbc\)3.已知直线\(l_1:ax+y+1=0\)，\(l_2:x+ay+1=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，则\(a\)的值可能为（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(2\)4.椭圆\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的性质正确的是（）A.长轴长为\(6\)B.短轴长为\(4\)C.离心率\(e=\frac{\sqrt{5}}{3}\)D.焦点坐标为\((\pm\sqrt{5},0)\)5.以下是等比数列的是（）A.\(1,2,4,8,\cdots\)B.\(1,-1,1,-1,\cdots\)C.\(1,0,0,0,\cdots\)D.\(2,2,2,2,\cdots\)6.已知函数\(f(x)=x^2-2x+3\)，则（）A.\(f(x)\)的对称轴为\(x=1\)B.\(f(x)\)在\((-\infty,1)\)上单调递减C.\(f(x)\)的最小值为\(2\)D.\(f(x)\)的图象与\(x\)轴有两个交点7.下列三角函数值正确的是（）A.\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)B.\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\)C.\(\tan\frac{\pi}{4}=1\)D.\(\sin\frac{\pi}{2}=1\)8.若\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，则（）A.目标函数\(z=x+2y\)的最大值为\(3\)B.目标函数\(z=x+2y\)的最小值为\(\frac{1}{2}\)C.目标函数\(z=2x-y\)的最大值为\(1\)D.目标函数\(z=2x-y\)的最小值为\(-3\)9.已知函数\(y=f(x)\)的图象关于点\((a,0)\)对称，则有（）A.\(f(a+x)+f(a-x)=0\)B.\(f(x)=-f(2a-x)\)C.\(f(x+2a)=-f(x)\)D.\(f(x)\)是奇函数10.关于函数\(y=\cosx\)，下列说法正确的是（）A.最小正周期是\(2\pi\)B.值域是\([-1,1]\)C.是偶函数D.在\([0,\pi]\)上单调递减三、判断题（每题2分，共10题）1.空集是任何集合的子集。（）2.函数\(y=x^2\)在\(R\)上是单调递增函数。（）3.若\(a\)，\(b\)为实数，且\(ab=0\)，则\(a=0\)且\(b=0\)。（）4.直线\(x=1\)的斜率不存在。（）5.等差数列的前\(n\)项和公式为\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（）6.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，则\(\alpha=\beta\)。（）7.圆\((x-1)^2+(y+2)^2=4\)的圆心坐标为\((1,-2)\)，半径为\(2\)。（）8.对数函数\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的定义域是\((0,+\infty)\)。（）9.若向量\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，则\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)。（）10.函数\(y=2^x\)与\(y=\log_2x\)的图象关于直线\(y=x\)对称。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=3x^2-2x+1\)的对称轴和顶点坐标。答案：对于二次函数\(y=ax^2+bx+c\)，对称轴\(x=-\frac{b}{2a}\)。此函数\(a=3\)，\(b=-2\)，对称轴\(x=\frac{1}{3}\)。把\(x=\frac{1}{3}\)代入得\(y=\frac{2}{3}\)，顶点坐标\((\frac{1}{3},\frac{2}{3})\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值。答案：将\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)分子分母同时除以\(\cos\alpha\)得\(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)，把\(\tan\alpha=2\)代入，得\(\frac{2+1}{2-1}=3\)。3.求过点\((1,2)\)且与直线\(2x-y+1=0\)平行的直线方程。答案：两直线平行斜率相等，已知直线斜率为\(2\)。设所求直线方程为\(y-2=2(x-1)\)，整理得\(2x-y=0\)。4.已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=n^2\)，求\(a_n\)。答案：当\(n=1\)时，\(a_1=S_1=1\)；当\(n\geq2\)时，\(a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-(n-1)^2=2n-1\)。\(n=1\)时也满足，所以\(a_n=2n-1\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=\frac{1}{x}\)的单调性和奇偶性。答案：单调性：在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上分别单调递减。奇偶性：\(f(-x)=\frac{1}{-x}=-f(x)\)，定义域关于原点对称，所以是奇函数。2.如何判断直线与圆的位置关系？请举例说明。答案：可通过圆心到直线的距离\(d\)与半径\(r\)比较。\(d\gtr\)时相离，\(d=r\)时相切，\(d\ltr\)时相交。例如圆\(x^2+y^2=1\)与直线\(x+y-2=0\)，圆心\((0,0)\)到直线距离\(d=\frac{\vert-2\vert}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\gt1\)，相离。3.等差数列和等比数列在实际生活中有哪些应用？答案：等差数列如房贷还款等额本息，每月还款金额组成等差数列。等比数列如细胞分裂，每次分裂后细胞数量构成等比数列。它们可用于解决经济、生物等多方面实际问题。4.结合函数图象，说明\(y=\sinx\)与\(y=\cosx\)的关系。答案：\(y=\sinx\)的图象向左平移\(\frac{\pi}{2}\)个单位就得到\(y=\cosx\)的图象。二者周期都是\(2\pi\)，值域都是\([-1,1]\)