高数2定积分试题及答案

高数2定积分试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.定积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)的值与（）无关。A.积分下限\(a\)B.积分上限\(b\)C.被积函数\(f(x)\)D.积分变量的符号2.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{1}{5}\)3.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)=（）A.\(F(a)-F(b)\)B.\(F(b)-F(a)\)C.\(F^\prime(b)-F^\prime(a)\)D.\(F^\prime(a)-F^\prime(b)\)4.\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)=（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(-1\)5.定积分\(\int_{a}^{b}kdx\)（\(k\)为常数）等于（）A.\(k\)B.\(k(b-a)\)C.\(0\)D.\(kb\)6.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，则\((\int_{a}^{x}f(t)dt)^\prime\)=（）A.\(f(x)\)B.\(f(a)\)C.\(f(b)\)D.\(0\)7.\(\int_{0}^{2\pi}\sinxdx\)=（）A.\(0\)B.\(2\)C.\(-2\)D.\(4\)8.定积分\(\int_{0}^{1}e^xdx\)=（）A.\(e\)B.\(e-1\)C.\(1-e\)D.\(e+1\)9.若\(f(x)\)在\([-a,a]\)上是奇函数，则\(\int_{-a}^{a}f(x)dx\)=（）A.\(2\int_{0}^{a}f(x)dx\)B.\(0\)C.\(\int_{0}^{a}f(x)dx\)D.\(-\int_{0}^{a}f(x)dx\)10.\(\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx\)=（）A.\(\ln2\)B.\(\ln2-\ln1\)C.\(\ln1-\ln2\)D.\(1\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列哪些是定积分的性质（）A.\(\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx\)B.\(\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx\)（\(k\)为常数）C.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)（\(a\ltc\ltb\)）2.以下函数在给定区间上可积的有（）A.\(y=x\)在\([0,1]\)B.\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,1]\)C.\(y=\sinx\)在\([0,2\pi]\)D.\(y=\sqrt{x}\)在\([0,1]\)3.下列等式正确的是（）A.\(\int_{0}^{x}t^2dt=\frac{1}{3}x^3\)B.\((\int_{a}^{x}f(t)dt)^\prime=f(x)\)C.\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)（\(f(x)\)为偶函数）D.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(u)du\)4.计算定积分\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)用到的公式有（）A.\(\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx\)B.\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)\)C.\(\int_{a}^{b}kdx=k(b-a)\)D.\((\int_{a}^{x}f(t)dt)^\prime=f(x)\)5.下列关于定积分几何意义说法正确的是（）A.\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)（\(f(x)\geq0\)）表示由\(y=f(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)与\(x\)轴围成图形面积B.\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)（\(f(x)\leq0\)）表示由\(y=f(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)与\(x\)轴围成图形面积的相反数C.\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示由\(y=f(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)与\(x\)轴围成图形面积的代数和D.\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示曲线\(y=f(x)\)在\([a,b]\)上的长度6.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，则（）A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界B.\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定连续C.\(f(x)\)在\([a,b]\)上可能有有限个间断点D.\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)一定存在7.计算\(\int_{-1}^{1}|x|dx\)，正确做法是（）A.因为\(y=|x|\)是偶函数，\(\int_{-1}^{1}|x|dx=2\int_{0}^{1}xdx\)B.\(\int_{-1}^{1}|x|dx=\int_{-1}^{0}-xdx+\int_{0}^{1}xdx\)C.由定积分几何意义，\(\int_{-1}^{1}|x|dx\)表示\(y=|x|\)与\(x=-1\)，\(x=1\)及\(x\)轴围成图形面积D.\(\int_{-1}^{1}|x|dx=1\)8.下列定积分值为\(0\)的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x\sinxdx\)B.\(\int_{-1}^{1}x\cosxdx\)C.\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)D.\(\int_{-1}^{1}\frac{x}{1+x^2}dx\)9.定积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)与（）有关。A.积分下限\(a\)B.积分上限\(b\)C.被积函数\(f(x)\)D.积分区间长度\(b-a\)10.以下哪些函数可以用定积分定义求其在某区间上的和（）A.连续函数B.单调函数C.有界且只有有限个间断点的函数D.无界函数三、判断题（每题2分，共10题）1.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定连续。（）2.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{b}^{a}f(x)dx\)。（）3.定积分\(\int_{0}^{2\pi}\cosxdx=0\)。（）4.若\(f(x)\)在\([-a,a]\)上是偶函数，则\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。（）5.定积分\(\int_{a}^{b}kdx=k\)（\(k\)为常数）。（）6.\((\int_{a}^{x}f(t)dt)^\prime=f(x)\)。（）7.定积分\(\int_{0}^{1}x^ndx=\frac{1}{n+1}\)（\(n\neq-1\)）。（）8.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，\(g(x)\)在\([a,b]\)上可积，则\(\int_{a}^{b}[f(x)g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx\cdot\int_{a}^{b}g(x)dx\)。（）9.定积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示曲线\(y=f(x)\)在\([a,b]\)上的弧长。（）10.\(\int_{0}^{1}e^{-x}dx\)的值小于\(1\)。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述定积分的几何意义。定积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)（\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续），当\(f(x)\geq0\)时，表示由\(y=f(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)与\(x\)轴围成图形面积；当\(f(x)\leq0\)时，表示该图形面积相反数；一般情况下，表示这些图形面积的代数和。2.计算\(\int_{0}^{1}(2x+1)dx\)。根据定积分性质\(\int_{0}^{1}(2x+1)dx=\int_{0}^{1}2xdx+\int_{0}^{1}1dx\)。\(\int_{0}^{1}2xdx=2\times\frac{1}{2}x^2\big|_{0}^{1}=1\)，\(\int_{0}^{1}1dx=x\big|_{0}^{1}=1\)，所以结果为\(2\)。3.已知\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，且\(\int_{a}^{b}f(x)dx=5\)，\(\int_{a}^{b}g(x)dx=3\)，求\(\int_{a}^{b}[2f(x)-3g(x)]dx\)。根据定积分性质\(\int_{a}^{b}[2f(x)-3g(x)]dx=2\int_{a}^{b}f(x)dx-3\int_{a}^{b}g(x)dx\)。将\(\int_{a}^{b}f(x)dx=5\)，\(\int_{a}^{b}g(x)dx=3\)代入，得\(2×5-3×3=1\)。4.若\(f(x)\)在\([-a,a]\)上可积，且\(f(x)\)为奇函数，说明\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)的原因。由定积分性质\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx\)。令\(t=-x\)，则\(\int_{-a}^{0}f(x)dx=-\int_{a}^{0}f(-t)dt=\int_{0}^{a}f(-t)dt\)，因为\(f(x)\)是奇函数，\(f(-t)=-f(t)\)，所以\(\int_{-a}^{0}f(x)dx=-\int_{0}^{a}f(x)dx\)，故\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论定积分与不定积分的联系与区别。联系：不定积分是求导的逆运算，定积分通过牛顿-莱布尼茨公式与不定积分相联系，\(\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\)，\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数。区别：不定积分结果是函数族，定积分结果是一个数值；不定积分关注函数的全体原函数，定积分侧重于区间上的累积量。2.如何利用定积分求平面图形的面积？首先确定图形由哪些曲线围成及相应区间。然后根据曲线位置判断被积函数，若\(y_1\geqy_2\)，面积\(S=\int_{a}^{b}[y_1-y_2]dx\)（\(x\)型区域）或\(S=\int_{c}^{d}[x_1-x_2]dy\)（\(y\)型区域），最后计算定积分得出面积值。3.讨论定积分在物理中的应用（举例说明）。例如求变力做功。若力\(F(x)\)是位移\(x\)的函数，在区间\([a,b]\)上，力\(F(x)\)做的功\(W=\int_{a}^{b}F(x)dx\)。又如求变速直线运动的路程，速度\(v(t)\)是时间\(t\)的函数，在\([T_1,T_2]\)内路程\(s=\int_{T_1}^{T_2}|v(t)|dt\)。4.当被积函数\(f(x)\)在积分区间\([a,b]\)上有间断点时，定积分的计算需要注意什么？需要判断间断点类型。若为有限个第一类间断点，定积分仍可计算，可通过分段积分等方法。但若是无穷间断