极限方法试题及答案

极限方法试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.当\(x\to0\)时，\(x\)与\(\sinx\)的关系是（）A.\(x\)比\(\sinx\)高阶B.\(x\)与\(\sinx\)同阶C.\(x\)比\(\sinx\)低阶D.\(x\)与\(\sinx\)等价2.\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{x}=\)（）A.0B.1C.3D.\(\infty\)3.若\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)，则\(f(x)\)在\(x=a\)处（）A.一定有定义B.一定无定义C.不一定有定义D.有定义且\(f(a)=A\)4.\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=\)（）A.0B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.25.\(\lim_{x\to+\infty}(1+\frac{1}{x})^x=\)（）A.eB.\(e^{-1}\)C.0D.16.当\(x\to0\)时，\(\sqrt{1+x}-1\)与\(\frac{x}{2}\)是（）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但不等价无穷小D.等价无穷小7.\(\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+3n}{n^2+1}=\)（）A.0B.1C.3D.\(\infty\)8.若\(\lim_{x\tox_0^{-}}f(x)=\lim_{x\tox_0^{+}}f(x)=A\)，则（）A.\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\)B.\(f(x_0)=A\)C.\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)不存在D.\(f(x)\)在\(x_0\)连续9.\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=\)（）A.0B.1C.\(e\)D.\(\frac{1}{e}\)10.函数\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)处的极限为（）A.0B.1C.2D.不存在答案：1.D2.C3.C4.C5.A6.D7.B8.A9.B10.C二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列极限存在的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{x^2+1}\)D.\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)2.当\(x\to0\)时，下列是无穷小量的有（）A.\(x^2\)B.\(\sinx\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(e^x-1\)3.极限的运算法则包含（）A.加法法则B.减法法则C.乘法法则D.除法法则4.若\(\lim_{x\toa}f(x)\)与\(\lim_{x\toa}g(x)\)都存在，则（）A.\(\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))=\lim_{x\toa}f(x)+\lim_{x\toa}g(x)\)B.\(\lim_{x\toa}(f(x)g(x))=\lim_{x\toa}f(x)\lim_{x\toa}g(x)\)C.\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\toa}f(x)}{\lim_{x\toa}g(x)}\)（\(\lim_{x\toa}g(x)\neq0\)）D.\(\lim_{x\toa}(f(x)-g(x))=\lim_{x\toa}f(x)-\lim_{x\toa}g(x)\)5.下列关于无穷小量的性质正确的是（）A.有限个无穷小量的和是无穷小量B.有限个无穷小量的积是无穷小量C.无穷小量与有界函数的积是无穷小量D.两个无穷小量的商是无穷小量6.若\(\lim_{x\to+\infty}f(x)=A\)，\(\lim_{x\to+\infty}g(x)=B\)，则（）A.\(\lim_{x\to+\infty}(f(x)+g(x))=A+B\)B.\(\lim_{x\to+\infty}(f(x)g(x))=AB\)C.\(\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）D.\(\lim_{x\to+\infty}(f(x)-g(x))=A-B\)7.下列极限为\(1\)的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)D.\(\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\)8.求极限的方法有（）A.利用极限的定义B.利用极限的四则运算法则C.利用两个重要极限D.等价无穷小替换9.当\(x\to\infty\)时，下列函数是无穷小量的有（）A.\(\frac{1}{x^2}\)B.\(\frac{\sinx}{x}\)C.\(\frac{x}{x^2+1}\)D.\(\frac{1}{x}\)10.极限\(\lim_{x\toa}f(x)\)存在的充要条件是（）A.\(\lim_{x\toa^{-}}f(x)=\lim_{x\toa^{+}}f(x)\)B.\(f(x)\)在\(x=a\)处有定义C.\(f(x)\)在\(x=a\)的某个去心邻域内有定义D.\(\lim_{x\toa^{-}}f(x)\)与\(\lim_{x\toa^{+}}f(x)\)都存在答案：1.BCD2.ABCD3.ABCD4.ABCD5.ABC6.ABCD7.ABC8.ABCD9.ABCD10.ACD三、判断题（每题2分，共10题）1.\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=1\)（）2.无穷小量是一个很小的数。（）3.若\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=B\)且\(A>B\)，则在\(a\)的某个去心邻域内\(f(x)>g(x)\)。（）4.\(\lim_{n\to\infty}q^n=0\)（\(|q|<1\)）。（）5.两个无穷大量的和一定是无穷大量。（）6.极限\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty\)。（）7.函数\(f(x)\)在\(x=a\)处的极限存在，则\(f(x)\)在\(x=a\)处一定连续。（）8.当\(x\to0\)时，\(\cosx-1\)与\(-\frac{x^2}{2}\)是等价无穷小。（）9.若\(\lim_{x\toa}f(x)=0\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=0\)，则\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}\)一定为\(0\)。（）10.\(\lim_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^x=e\)（）答案：1.×2.×3.√4.√5.×6.√7.×8.√9.×10.×四、简答题（每题5分，共4题）1.简述极限的定义答案：设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某一去心邻域内有定义，如果存在常数\(A\)，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（无论它多么小），总存在正数\(\delta\)，使得当\(x\)满足不等式\(0<|x-x_0|<\delta\)时，对应的函数值\(f(x)\)都满足不等式\(|f(x)-A|<\varepsilon\)，那么常数\(A\)就叫做函数\(f(x)\)当\(x\tox_0\)时的极限。2.简述等价无穷小替换原理及应用条件答案：原理：在求极限过程中，若\(\alpha\sim\alpha_1\)，\(\beta\sim\beta_1\)（\(\sim\)表示等价无穷小），则\(\lim\frac{\alpha}{\beta}=\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}\)。应用条件：只能在乘除运算中使用等价无穷小替换，加减运算中一般不能随意用。3.列举两个重要极限答案：\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)；\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)或\(\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\)。4.说明如何判断函数在某点极限是否存在答案：函数\(f(x)\)在\(x_0\)处极限存在的充要条件是\(\lim_{x\tox_0^{-}}f(x)=\lim_{x\tox_0^{+}}f(x)\)。即左极限与右极限都存在且相等，那么函数在该点极限存在。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论极限在实际应用中的意义答案：极限在实际有重要意义。如在物理中求瞬时速度、加速度等，通过极限将平均变化率转化为瞬时值。在经济领域，求边际成本、边际收益等也需要极限概念，帮助分析经济变量在某一时刻或某一状态的变化情况，辅助决策制定。2.探讨无穷小量和无穷大量之间的关系答案：无穷小量（非零）与无穷大量互为倒数关系。当\(f(x)\)在某一变化过程中是无穷大量时，\(\frac{1}{f(x)}\)就是该过程中的无穷小量；反之，若\(f(x)\)是无穷小量且\(f(x)\neq0\)，则\(\frac{1}{f(x)}\)是无穷大量。这种关系在极限运算等方面有重要应用。3.谈谈如何运用极限知识理解函数的连续性答案：函数\(f(x)\)在\(x_0\)处连续的定义为\(\lim_{x\tox_0}f(x)=f