顺德高一数学竞赛试题及答案

顺德高一数学竞赛试题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.函数\(y=\log_2(x+1)\)的定义域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\((-\infty,-1)\)C.\((0,+\infty)\)D.\(R\)2.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，则\(\cos\alpha\)的值为（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)3.直线\(2x+y-1=0\)的斜率是（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)4.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，则公差\(d\)为（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)5.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,2,3\}\)D.\(\{2,3,4\}\)6.函数\(y=x^2-2x+3\)的最小值是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)7.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,4)\)，则\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)等于（）A.\((4,6)\)B.\((2,2)\)C.\((-2,-2)\)D.\((3,6)\)8.圆\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)的圆心坐标是（）A.\((1,-2)\)B.\((-1,2)\)C.\((1,2)\)D.\((-1,-2)\)9.若\(a\gtb\gt0\)，则下列不等式成立的是（）A.\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}{b}\)B.\(a^2\ltb^2\)C.\(a^3\gtb^3\)D.\(\lga\lt\lgb\)10.函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，是偶函数的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=|x|\)2.以下哪些是直线的方程形式（）A.点斜式B.斜截式C.两点式D.截距式3.等差数列的性质有（）A.若\(m+n=p+q\)，则\(a_m+a_n=a_p+a_q\)B.\(a_n=a_1+(n-1)d\)C.\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)D.\(a_{n+1}-a_n=d\)（\(d\)为公差）4.对于集合\(A\)、\(B\)，下列说法正确的是（）A.\(A\subseteqA\)B.若\(A\subseteqB\)且\(B\subseteqA\)，则\(A=B\)C.\(\varnothing\subseteqA\)D.\(A\capB\subseteqA\)5.下列三角函数值为正的是（）A.\(\sin120^{\circ}\)B.\(\cos225^{\circ}\)C.\(\tan30^{\circ}\)D.\(\sin(-30^{\circ})\)6.已知直线\(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\)，\(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，则（）A.\(A_1B_2-A_2B_1=0\)B.\(A_1C_2-A_2C_1=0\)C.\(B_1C_2-B_2C_1\neq0\)D.\(A_1A_2+B_1B_2=0\)7.二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图象特征与\(a\)、\(b\)、\(c\)的关系，说法正确的是（）A.\(a\)决定开口方向B.\(b\)与对称轴有关C.\(c\)是函数在\(y\)轴上的截距D.\(\Delta=b^2-4ac\)决定与\(x\)轴交点个数8.下列向量运算正确的是（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)B.\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)C.\(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}\)D.\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\)9.圆的方程有（）A.标准方程B.一般方程C.参数方程D.斜截式方程10.下列函数中，在\((0,+\infty)\)上单调递增的有（）A.\(y=x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=\log_2x\)判断题（每题2分，共10题）1.空集是任何集合的真子集。（）2.函数\(y=\frac{1}{x}\)是奇函数。（）3.直线\(x=1\)的斜率不存在。（）4.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，则\(\alpha=\beta\)。（）5.等差数列的前\(n\)项和公式是\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)。（）6.集合\(A=\{x|x^2-1=0\}\)，则\(A=\{1,-1\}\)。（）7.圆\(x^2+y^2=4\)的半径是\(4\)。（）8.若\(a\gtb\)，则\(a^2\gtb^2\)。（）9.函数\(y=\cosx\)的图象关于\(y\)轴对称。（）10.向量\(\overrightarrow{a}=(1,0)\)与向量\(\overrightarrow{b}=(0,1)\)垂直。（）简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=\sqrt{x-1}\)的定义域。答：要使根式有意义，则根号下的数非负，即\(x-1\geq0\)，解得\(x\geq1\)，定义域为\([1,+\infty)\)。2.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(d=3\)，求\(a_5\)。答：根据等差数列通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，\(n=5\)时，\(a_5=2+(5-1)×3=2+12=14\)。3.求直线\(2x-y+1=0\)与\(x\)轴、\(y\)轴的交点坐标。答：令\(y=0\)，则\(2x+1=0\)，解得\(x=-\frac{1}{2}\)，与\(x\)轴交点为\((-\frac{1}{2},0)\)；令\(x=0\)，则\(-y+1=0\)，解得\(y=1\)，与\(y\)轴交点为\((0,1)\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\alpha\)是第一象限角，求\(\cos\alpha\)的值。答：根据\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，可得\(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}\)，因为\(\alpha\)是第一象限角，所以\(\cos\alpha=\sqrt{1-(\frac{4}{5})^2}=\frac{3}{5}\)。讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=x^2-4x+3\)的单调性。答：对函数\(y=x^2-4x+3\)求对称轴\(x=-\frac{b}{2a}=2\)，\(a=1\gt0\)开口向上，所以在\((-\infty,2)\)上单调递减，在\((2,+\infty)\)上单调递增。2.探讨直线与圆的位置关系有哪些判断方法。答：一是几何法，比较圆心到直线的距离\(d\)与圆半径\(r\)的大小，\(d\gtr\)相离，\(d=r\)相切，\(d\ltr\)相交；二是代数法，联立直线与圆方程，看所得方程组解的个数，无解相离，一组解相切，两组解相交。3.说说如何在已知三角形两边及夹角的情况下求三角形面积。答：已知三角形两边\(a\)、\(b\)及夹角\(C\)，根据三角形面积公式\(S=\frac{1}{2}ab\sinC\)，直接代入两边长度和夹角正弦值即可求出面积。4.讨论在等差数列中，如何根据已知条件求前\(n\)项和\(S_n\)。答：若已知首项\(a_1\)、项数\(n\)和公差\(d\)，可用\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)；若已知首项\(a_1\)和末项\(a_n\)，则用\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，