函数单调性测试题及答案VIP

函数单调性测试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.函数\(y=2x+1\)在\(R\)上是（）A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增2.函数\(y=-x^2\)的单调递增区间是（）A.\((-\infty,0]\)B.\([0,+\infty)\)C.\((-\infty,+\infty)\)D.无3.若函数\(f(x)\)在区间\((a,b)\)上\(f^\prime(x)>0\)，则\(f(x)\)在\((a,b)\)上（）A.单调递减B.单调递增C.先增后减D.先减后增4.函数\(y=\frac{1}{x}\)在区间\((0,+\infty)\)上是（）A.增函数B.减函数C.常函数D.无法确定5.已知函数\(f(x)\)在\([1,3]\)上单调递增，若\(f(1)<f(x)\)，则\(x\)的取值范围是（）A.\((1,3]\)B.\([1,3]\)C.\((1,+\infty)\)D.\((-\infty,3]\)6.函数\(y=x^3\)的单调区间是（）A.增区间为\((-\infty,+\infty)\)B.减区间为\((-\infty,+\infty)\)C.增区间为\((0,+\infty)\)，减区间为\((-\infty,0)\)D.无单调区间7.函数\(f(x)\)在区间\(I\)上满足\(x_1<x_2\)时，\(f(x_1)>f(x_2)\)，则\(f(x)\)在\(I\)上（）A.单调递增B.单调递减C.不单调D.无法判断8.函数\(y=\sqrt{x}\)的单调递增区间是（）A.\((-\infty,0]\)B.\([0,+\infty)\)C.\((-\infty,+\infty)\)D.\((0,+\infty)\)9.若函数\(f(x)\)的导数\(f^\prime(x)=2x-4\)，则\(f(x)\)的单调递减区间是（）A.\((-\infty,2)\)B.\((2,+\infty)\)C.\((-\infty,+\infty)\)D.\((0,2)\)10.函数\(y=\sinx\)在区间\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)上是（）A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增二、多项选择题（每题2分，共20分）1.以下函数在定义域上单调递增的有（）A.\(y=3x\)B.\(y=x^2\)（\(x\geq0\)）C.\(y=2^x\)D.\(y=\log_2x\)（\(x>0\)）2.函数\(y=x^2-2x\)的单调区间说法正确的是（）A.单调递增区间是\([1,+\infty)\)B.单调递增区间是\((-\infty,1]\)C.单调递减区间是\([1,+\infty)\)D.单调递减区间是\((-\infty,1]\)3.若函数\(f(x)\)在区间\((a,b)\)和\((b,c)\)上都单调递增，则（）A.\(f(x)\)在\((a,c)\)上单调递增B.\(f(x)\)在\((a,c)\)上不一定单调递增C.\(f(x)\)在\(x=b\)处可能不连续D.\(f(x)\)在\((a,c)\)上单调性不确定4.下列函数中，在\((0,+\infty)\)上单调递减的有（）A.\(y=-x+1\)B.\(y=\frac{1}{x^2}\)C.\(y=\sqrt{1-x}\)D.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)5.函数\(y=\cosx\)的单调递增区间可能是（）A.\([-\pi,0]\)B.\([0,\pi]\)C.\([2\pi,3\pi]\)D.\([\pi,2\pi]\)6.关于函数单调性与导数关系正确的是（）A.\(f^\prime(x)>0\)时，\(f(x)\)单调递增B.\(f(x)\)单调递增时，\(f^\prime(x)>0\)C.\(f^\prime(x)<0\)时，\(f(x)\)单调递减D.\(f(x)\)单调递减时，\(f^\prime(x)<0\)7.已知函数\(f(x)\)在区间\([m,n]\)上单调，且\(f(m)f(n)<0\)，则（）A.\(f(x)\)在\((m,n)\)上有零点B.\(f(x)\)在\((m,n)\)上可能无零点C.\(f(x)\)在\((m,n)\)上零点唯一D.\(f(x)\)在\((m,n)\)上零点个数不确定8.函数\(y=x^3-3x\)的单调区间为（）A.单调递增区间是\((-\infty,-1)\)B.单调递增区间是\((1,+\infty)\)C.单调递减区间是\((-1,1)\)D.单调递减区间是\((-\infty,-1)\)9.以下函数中，是单调函数的有（）A.\(y=5\)B.\(y=x+2\)C.\(y=\frac{1}{x}\)（\(x\neq0\)）D.\(y=x^3+1\)10.若函数\(f(x)\)在区间\(A\)上单调递增，在区间\(B\)上单调递减，则（）A.\(A\)与\(B\)可能有交集B.\(A\)与\(B\)一定无交集C.\(f(x)\)在\(A\cupB\)上不单调D.\(f(x)\)在\(A\capB\)上无定义三、判断题（每题2分，共20分）1.函数\(y=5\)是单调函数。（）2.若函数\(f(x)\)在区间\(I\)上有\(f^\prime(x)\geq0\)，则\(f(x)\)在\(I\)上单调递增。（）3.函数\(y=x^2\)在\(R\)上单调递增。（）4.单调函数一定有反函数。（）5.函数\(y=\log_3x\)在定义域上单调递增。（）6.若\(f(x)\)在区间\((a,b)\)上单调递增，\(g(x)\)在区间\((a,b)\)上单调递减，则\(f(x)-g(x)\)在\((a,b)\)上单调递增。（）7.函数\(y=\sinx\)在定义域内是单调函数。（）8.函数\(y=|x|\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。（）9.若函数\(f(x)\)在区间\(M\)和\(N\)上都单调递减，那么\(f(x)\)在\(M\cupN\)上也单调递减。（）10.函数\(y=e^x\)的单调递增区间是\((0,+\infty)\)。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述判断函数单调性的定义法步骤。-答案：设\(x_1\)，\(x_2\)是给定区间上的任意两个自变量的值，且\(x_1<x_2\)，计算\(f(x_1)-f(x_2)\)，对其进行变形，判断\(f(x_1)-f(x_2)\)与\(0\)的大小关系，若\(f(x_1)-f(x_2)<0\)，则函数单调递增；若\(f(x_1)-f(x_2)>0\)，则函数单调递减。2.求函数\(y=x^2-4x+3\)的单调区间。-答案：对函数求导得\(y^\prime=2x-4\)，令\(y^\prime>0\)，即\(2x-4>0\)，解得\(x>2\)，所以单调递增区间是\((2,+\infty)\)；令\(y^\prime<0\)，即\(2x-4<0\)，解得\(x<2\)，所以单调递减区间是\((-\infty,2)\)。3.已知函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上单调递增，且\(f(a)<0\)，\(f(b)>0\)，说明\(f(x)\)在\([a,b]\)上零点情况。-答案：因为\(f(x)\)在\([a,b]\)上单调递增，且\(f(a)<0\)，\(f(b)>0\)，根据零点存在定理，\(f(x)\)在\((a,b)\)内有且仅有一个零点。4.如何利用导数判断函数\(y=f(x)\)在区间\((a,b)\)上的单调性？-答案：先求\(f(x)\)的导数\(f^\prime(x)\)，若在区间\((a,b)\)上\(f^\prime(x)>0\)，则\(f(x)\)在\((a,b)\)上单调递增；若\(f^\prime(x)<0\)，则\(f(x)\)在\((a,b)\)上单调递减。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的单调性与\(a\)的取值关系。-答案：当\(a>1\)时，指数函数\(y=a^x\)在\(R\)上单调递增；当\(0<a<1\)时，指数函数\(y=a^x\)在\(R\)上单调递减。这是由指数函数的性质决定，\(a\)越大，函数值增长越快（\(a>1\)）；\(a\)越小，函数值减小越快（\(0<a<1\)）。2.举例说明函数在某区间上单调递增，但导数不一定恒大于\(0\)。-答案：例如\(y=x^3\)，其导数\(y^\prime=3x^2\)，在\(R\)上单调递增。但当\(x=0\)时，\(y^\prime=0\)，并非恒大于\(0\)。即函数单调递增时，导数可以在个别点处为\(0\)，只要在区间内导数不恒为\(0\)且大部分满足导数大于等于\(0\)即可。3.讨论函数\(y=\frac{1}{x}\)在不同区间上单调性与函数图象的关系。-答案：\(y=\frac{1}{x}\)在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上单调递减。从图象看，其图象在这两个区间分别位于第二、四象限，在各自区间内，随着\(x\)增大，\(y\)值减小，直观体现了单调性，且在\(x=0\)处不连续，这也影响了其单调性区间的划分。4.对于复合函数\(y=f(g(x))\)，如何讨论其单调性？-答案：先确定函数定义域，再分别分析内函数\(g(x)\)和外函数\(f(u)\)（\(u=g(x)\)）的单调性。根据“同增异减”原则，若\(g(x)\)与\(f(u)\)在相应区间单调性相同，则\(y=f(g(x))\)单调递增；若