2025年中学数学模拟试题及答案

2025年中学数学模拟试题及答案一、选择题（每题2分，共12分）

1.下列各数中，有理数是：

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\frac{1}{2}$

D.$\sqrt{3}$

答案：C

2.已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公差$d=2$，则$a_{10}$的值为：

A.15

B.17

C.19

D.21

答案：D

3.若函数$f(x)=x^2-4x+3$的图像与x轴的交点为$(1,0)$和$(3,0)$，则$f(2)$的值为：

A.1

B.3

C.5

D.7

答案：B

4.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，则$\cosA$的值为：

A.$\frac{7}{25}$

B.$\frac{8}{25}$

C.$\frac{9}{25}$

D.$\frac{10}{25}$

答案：A

5.下列函数中，奇函数是：

A.$f(x)=x^2+1$

B.$f(x)=|x|$

C.$f(x)=\sqrt{x}$

D.$f(x)=\frac{1}{x}$

答案：D

6.若方程$2x^2-3x+1=0$的解为$x_1$和$x_2$，则$x_1+x_2$的值为：

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

二、填空题（每题2分，共12分）

7.若等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，公比$q=3$，则$a_5$的值为______。

答案：162

8.函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的图像与x轴的交点为______。

答案：$(1,0)$和$(2,0)$

9.在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，则$\sinA$的值为______。

答案：$\frac{3}{5}$

10.若函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上单调递减，则$f(x)$的图像为______。

答案：开口向下的双曲线

11.方程$2x^2-3x+1=0$的解为______。

答案：$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=1$

12.若等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=5$，公差$d=-2$，则$a_{10}$的值为______。

答案：-15

三、解答题（每题10分，共30分）

13.已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公差$d=2$，求：

（1）$a_5$的值；

（2）$\{a_n\}$的前10项和$S_{10}$。

答案：

（1）$a_5=11$；

（2）$S_{10}=55$。

14.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求：

（1）$f(2)$的值；

（2）$f(x)$的图像与x轴的交点。

答案：

（1）$f(2)=3$；

（2）$(1,0)$和$(2,0)$。

15.在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，求：

（1）$\sinA$的值；

（2）$\cosB$的值。

答案：

（1）$\sinA=\frac{3}{5}$；

（2）$\cosB=\frac{4}{5}$。

四、应用题（每题10分，共20分）

16.某商品原价为$1000$元，现进行打折促销，折扣率为$20\%$，求：

（1）打折后的价格；

（2）消费者购买该商品的实际花费。

答案：

（1）$800$元；

（2）$800$元。

17.某工厂生产一批产品，每天生产$100$件，每件产品成本为$10$元，售价为$15$元，求：

（1）每天该工厂的利润；

（2）若每天生产$200$件，则每天该工厂的利润。

答案：

（1）每天利润为$500$元；

（2）每天利润为$1000$元。

五、证明题（每题10分，共10分）

18.证明：若等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公差$d=2$，则$a_5+a_10=2a_8$。

答案：证明如下：

（1）由等差数列的定义，得$a_5=a_1+4d=3+4\times2=11$；

（2）由等差数列的定义，得$a_{10}=a_1+9d=3+9\times2=21$；

（3）由等差数列的定义，得$a_8=a_1+7d=3+7\times2=17$；

（4）将（1）、（2）代入$a_5+a_{10}=2a_8$，得$11+21=2\times17$；

（5）化简得$32=32$，等式成立。

六、综合题（每题10分，共10分）

19.某公司计划投资$100$万元，投资方式有股票、债券和基金三种，投资比例为$1:2:3$，求：

（1）股票、债券和基金各投资多少万元；

（2）若股票的年收益率为$10\%$，债券的年收益率为$5\%$，基金的年收益率为$8\%$，求该公司的年收益率。

答案：

（1）股票投资$10$万元，债券投资$20$万元，基金投资$30$万元；

（2）股票年收益为$10\%$，即$1$万元；债券年收益为$5\%$，即$2$万元；基金年收益为$8\%$，即$2.4$万元。因此，该公司的年收益为$1+2+2.4=5.4$万元，年收益率为$5.4\%$。

本次试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.C。有理数是可以表示为两个整数比的数，而$\frac{1}{2}$正好符合这个条件。

2.D。等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=3$和$d=2$得到$a_{10}=3+(10-1)\times2=3+18=21$。

3.B。由于函数的图像与x轴的交点即为函数的根，因此可以直接计算$f(2)=2^2-4\times2+3=4-8+3=-1$。

4.A。根据余弦定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$，代入$a=5$，$b=7$，$c=8$得到$\cosA=\frac{7^2+8^2-5^2}{2\times7\times8}=\frac{49+64-25}{112}=\frac{88}{112}=\frac{7}{25}$。

5.D。奇函数满足$f(-x)=-f(x)$，而$\frac{1}{x}$的图像关于原点对称，满足奇函数的定义。

6.B。根据韦达定理，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入$a=2$，$b=-3$得到$x_1+x_2=-\frac{-3}{2}=1.5$。

二、填空题答案及解析：

7.162。由等比数列的通项公式$a_n=a_1q^{n-1}$，代入$a_1=2$和$q=3$得到$a_5=2\times3^{5-1}=2\times3^4=2\times81=162$。

8.$(1,0)$和$(2,0)$。将$f(x)=x^2-4x+3$设为0，解得$x=1$和$x=3$，所以交点为$(1,0)$和$(2,0)$。

9.$\frac{3}{5}$。根据正弦定理，$\sinA=\frac{a}{2R}$，其中$R$是$\triangleABC$的外接圆半径，由海伦公式可求得$R=\frac{abc}{4S}$，$S$是$\triangleABC$的面积，代入$a=3$，$b=4$，$c=5$计算得到$\sinA=\frac{3}{5}$。

10.开口向下的双曲线。因为$f(x)=\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上单调递减，其图像是一个开口向下的双曲线。

11.$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=1$。使用求根公式解方程$2x^2-3x+1=0$得到$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=1$。

12.-15。由等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=5$和$d=-2$得到$a_{10}=5+(10-1)\times(-2)=5-18=-13$。

三、解答题答案及解析：

13.$a_5=11$；$S_{10}=55$。由等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=3$和$d=2$得到$a_5=3+4\times2=11$。等差数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$n=10$，$a_1=3$和$a_{10}=11$得到$S_{10}=\frac{10}{2}(3+11)=55$。

14.$f(2)=3$；$(1,0)$和$(2,0)$。将$x=2$代入$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$得到$f(2)=2^3-3\times2^2+4\times2-1=8-12+8-1=3$。由于函数的图像与x轴的交点即为函数的根，因此直接计算得到交点为$(1,0)$和$(2,0)$。

15.$\sinA=\frac{3}{5}$；$\cosB=\frac{4}{5}$。根据正弦定理，$\sinA=\frac{a}{2R}$，其中$R$是$\triangleABC$的外接圆半径，由海伦公式可求得$R=\frac{abc}{4S}$，$S$是$\triangleABC$的面积，代入$a=3$，$b=4$，$c=5$计算得到$\sinA=\frac{3}{5}$。同理，$\cosB=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}$，代入$a=3$，$b=4$，$c=5$计算得到$\cosB=\frac{4}{5}$。

四、应用题答案及解析：

16.$800$元；$800$元。打折后的价格为$1000\times(1-20\%)=1000\times0.8=800$元。消费者购买的实际花费即为打折后的价格，所以也是$800$元。

17.每天利润为$500$元；每天利润为$1000$元。每天利润为销售收入减去成本，销售收入为$100\times15=1500$元，成本为$100\times10=1000$元，所以每天利润为$1500-1000=500$元。若每天生产$200$件，则每天销售收入为$200\times15=3000$元，成本为$200\times10=2000$元，所以每天利润为$3000-2000=1000$元。

五、证明题答案及解析：

18.证明如下：

（1）由等差数列的定义，得$a_5=a_1+4d=3+4\times2=11$；

（2）由等差数列的定义，得$a_{10}=a_1+9d=3+9\times2=21$；

（3）由等差数列的定义，得$a_8=a_1+7d=3+7\times2=17$；

（4）将（1）、（2）代入$a_5+a_{10}=2a_8$，得$11+21=2\times17$；

（5）化简得$32=32$，等式成立。

六、综合题答案及解析：

19.股票投资$10$万元，债券投资$20$万元，基金投资$30$万元；年收益率为$5.4\%$。投资比例总和为$1+2+3=6$，所以股票投资为$100\times\frac{1}{6}=16.67$万元，债券投资为$100\times\frac{2}{6}=33.3