2023-2025北京高三（上）期末数学汇编：等差数列（人教B版）

第1页/共1页2023-2025北京高三（上）期末数学汇编等差数列（人教B版）一、单选题1．（2025北京海淀高三上期末）已知等差数列的前项和为，，则（

）A． B． C． D．2．（2025北京房山高三上期末）已知由正整数组成的集合，表示集合中所有元素的和，表示集合中偶数的个数.若.则的最小值为（

）A．5 B．7 C．9 D．103．（2025北京东直门中学高三上期末）设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（

）A． B．3 C．9 D．364．（2024北京顺义高三上期末）设为等差数列的前项和．若，公差，，则（

）A．5 B．4 C．3 D．25．（2024北京丰台高三上期末）在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积（单位：L）依次成等差数列，若，，则（

）A．5.4 B．6.3C．7.2 D．13.56．（2024北京石景山高三上期末）已知为等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．7．（2023北京通州高三上期末）等差数列中，，，则的通项为（

）A． B． C． D．8．（2023北京海淀高三上期末）已知为等差数列，，.若数列满足，记的前项和为，则（

）A． B． C． D．二、填空题9．（2025北京东城高三上期末）大衍数列来源于《乾坤谱》，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中，对于，数列是公差为的等差数列，且也是等差数列．已知，，则；的前9项和等于．10．（2024北京房山高三上期末）记为等差数列的前项和，已知，，则.11．（2024北京海淀高三上期末）已知无穷等差数列的各项均为正数,公差为,则能使得为某一个等差数列的前项和的一组,的值为,.12．（2023北京通州高三上期末）已知数列的前项和为，为数列的前项积，满足，给出下列四个结论：①；②；③为等差数列；④.其中所有正确结论的序号是.三、解答题13．（2025北京通州高三上期末）定义：若正整数能表示成（为正整数且）的形式，则称为“型数”，也称具有“结构”.若数列中的项均为“型数”，则称数列为“型数列”.(1)写出这四个数中的“型数”；(2)若为等差数列，且，，求证中任意一项均不为“型数”；(3)若数列，均为“型数列”，设，求证数列为“型数列”.14．（2024北京朝阳高三上期末）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定．(1)若，写出及的值；(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；(3)设集合，求证：且．15．（2024北京东城高三上期末）若有穷数列满足：，则称此数列具有性质.(1)若数列具有性质，求的值；(2)设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列；(3)把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在.16．（2023北京丰台高三上期末）设为正实数，若各项均为正数的数列满足：，都有．则称数列为数列．(1)判断以下两个数列是否为数列：数列：3，5，8，13，21；数列：，，5，10．(2)若数列满足且，是否存在正实数，使得数列是数列？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．(3)若各项均为整数的数列是数列，且的前项和为150，求的最小值及取得最小值时的所有可能取值．17．（2023北京房山高三上期末）若对，，当时，都有，则称数列受集合制约.(1)若，判断是否受制约，是否受区间制约；(2)若，受集合制约，求数列的通项公式；(3)若记：“受区间制约”，：“受集合制约”，判断是否是的充分条件，是否是的必要条件，并证明你的结论.

参考答案1．B【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式及前项和公式求解即可.【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，所以.故选：B2．B【分析】先排除有5个偶数不可能，再找一个有7个偶数的实例后可得正确的选项.【详解】45个正奇数的和不小于，因为中有50个不同的正整数，故中不可能有不超过5个不同的偶数.取，则中共有元素个数为，这个数的和为，故的最小值为7.故选：B.【点睛】思路点睛：对于组合最值问题，我们一般先找到一个范围，再验证临界值存在即可.3．C【分析】根据等差数列求和公式得到，即可得到，再由基本不等式计算可得.【详解】因为，所以，又，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为.故选：C4．C【分析】先由等差数列的前项和公式求得，将转化为关于的方程求解.【详解】根据题意：，公差，可知，所以，所以即为：，解得：.故选：C5．B【分析】利用等差数列的性质及求和公式求解.【详解】∵依次成等差数列，，∴，即，又，则.故选：B.6．C【分析】根据由求和公式得，再结合等差数列通项性质即可求解．【详解】由题意，所以，故选：C．7．A【分析】根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得.【详解】设等差数列的公差为，依题意，解得，所以.故选：A8．B【分析】求出等差数列的通项公式，可求得数列的通项公式，推导出数列为等差数列，再利用等差数列的求和公式可求出的值.【详解】设等差数列的公差为，则，所以，，，，所以，，则，所以，数列为等差数列，因此，.故选：B9．12140【分析】设等差数列的公差为，利用太极衍生原理由依次表示，进而求出；再求出即可求出前9项和.【详解】设等差数列的公差为，依题意，成等差数列，公差，由成公差为的等差数列，得，由成公差为的等差数列，得，而，即，解得，；，由成公差为的等差数列，得，所以的前9项和.故答案为：12；14010．【分析】由等差数列及其前项和的性质计算即可得.【详解】设，则，即，故.故答案为：.11．11（答案不唯一）【分析】设等差数列的前项和为,根据题意可得.根据结合等差数列的通项公式,可得关于的方程,解方程即可.【详解】设等差数列的前项和为,则又是公差为的等差数列,即整理得由题知故满足题意的一组,的值为,.（答案不唯一）故答案为：1;1（答案不唯一）12．①③④【分析】根据关系式，当时，即可求得的值；由得，当时，可得，可证明为等差数列，即可求得，则可求得，则可判断其他选项.【详解】因为，所以当时，，解得或，又，所以，故，故①正确；因为，可得，所以，当时，，所以，是以为首项，为公差的等差数列，所以，则，故④正确；所以，则，所以为等差数列，故③正确；当时，，又不符合所以，故②不正确.故答案为：①③④.13．(1)7，21，28．(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据“型数”概念直接写出答案；（2）利用反证法分，均可以被3整除等七类讨论即可；（3）分、和讨论即可.【详解】（1）7，14，21，28这四个数中的＂型数＂有7，21，28．；；.（2）因为为等差数列，且，所以有．所以．下面用反证法证明：假设存在N，使为＂T型数＂则有．①若，均可以被3整除，则一定被3整除，与矛盾．②若，则，与矛盾．③若，则与矛盾.④若，结论与②同．⑤若，结论与③同．⑥若，则与矛盾．⑦若，则结论与⑥同．综上，中任意一项均不为＂T型数＂．（3）因为数列均为＂T型数列＂，所以有为正整数且为正整数且不妨设，①当时，则存在正整数以及既约分数，使得则②当时，，③当时，则，由①②③可知为＂T型数＂，所以数列为＂T型数列＂．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用反证法，然后再合理分类讨论.14．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据题意先分别求出，，，，则易得及的值；（2）由题可知，分析判断时，与题设矛盾，推得；再假设存在使得，经推理得出与是等差数列矛盾，可得，利用等差数列基本量运算即得；（3）根据定义得到数列是递增数列；用反证法证明，假设存在正整数，若，则推出，与假设矛盾，所以；，所以要证，只需证，且，能推出，所以，所以，所以结论成立.【详解】（1）依题意，，，，，故得；（2）由题可知，所以，所以．若，则，所以，与是等差数列矛盾．所以．设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以．假设存在使得．设，由得．由得，与是等差数列矛盾．所以对任意都有．所以数列是等差数列，．（3）因为对于，所以．所以，即数列是递增数列．先证明．假设，设正整数．由于，故存在正整数使得，所以．因为是各项均为正整数的递增数列，所以．所以．所以．又因为数列是递增数列，所以，矛盾．所以．再证明．由题可知．设且，因为数列是各项均为正整数的递增数列，所以存在正整数，使得．令．若，则，即，所以．所以，所以．若，则，所以．所以，所以．因为，所以．所以．综上，且．【点睛】方法点睛：本题主要考查集合新定义问题，属于难题.对于集合新定义问题的解题策略，首先，要明确新定义的特点；其次，根据定义中的步骤对具体题目进行推理和运算，最后得到结论.15．(1)2；2；4(2)证明见详解(3)【分析】（1）由数列具有性质的定义可得；（2）由数列具有性质的定义和等差数列的定义可得.（3）分、和三种情况讨论即得.【详解】（1）由已知可得数列共有5项，所以，当时，有，当时，有，所以，当时，有，所以，（2）数列A具有性质，且为奇数，令，可得，设，由于当时，存在正整数，使得，所以这项均为数列A中的项，且，因此一定有即，这说明：为公差为的等差数列，再数列A具有性质，以及可得，数列A为等差数列；（3）当时，设A：，，，，，由于数列具有性质，且满足，由和，得，当时，不妨设，此时：，，此时结论成立，当时，同理可证，所以结论成立.当时，不妨设，反例如下：当时，不妨设，反例如下：综上所述，符合题意.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.16．(1)数列是，数列不是；(2)不存在，理由见解析；(3)答案见解析.【分析】（1）根据定义验证是否恒成立，即可判断；（2）假设存在，则由已知可推得.当时，，这与假设矛盾，所以不存在；（3）根据已知推出，进而推出，，，，相加可推得.根据基本式，结合题意可得的最小值不小于30.进而得出的范围，得到所有可能的整数解.分情况讨论，得出数列，即可得到的所以可能的取值.【详解】（1）根据定义，数列应满足，都有，即恒成立.对于数列：有，，，均满足，所以数列是数列；对于数列，因为不满足，所以数列不是数列.（2）不存在正实数，使得数列是数列.说明理由如下：假设存在正实数，使得数列是数列，则，都有，即恒成立.因为，所以，当时，，这与假设矛盾.所以，不存在正实数，使得数列是数列.（3）因为数列是数列，所以.所以，所以，，，，，，所以，即，所以.所以，因为数列是整数列，所以的最小值不小于30.假设，必有，解得，因为，所以可取9，10，11，12.当时，，存在满足条件的数列.，，，，，，，，；当时，，存在满足条件的数列.，，，，，，，，，；当时，，存在满足条件的数列.，，，，，，，，，，；当时，，存在满足条件的数列.，，，，，，，，，，，.以上都是的充分条件.所以的最小值为30，此时的所有可能的取值为，，20，.17．(1)受制约，不受制约，理由见解析(2)且.(3)是的充分不必要条件，证明见解析【分析】（1）根据数列新定义，判断、且是否有成立即可判断；（2）由题设可得，利用等差数列的定义写出的通项公式；（3）由新定义判断、的推出关系，结合充分、必要性的定义得到结论.【详解】（1）由、且，则，而，显然，则