2023-2025北京高三（上）期末数学汇编：空间几何体（人教B版）

第1页/共1页2023-2025北京高三（上）期末数学汇编空间几何体（人教B版）一、单选题1．（2025北京石景山高三上期末）我国有着丰富悠久的印章文化，印章是签署文件时代表身份的信物，因其独特的文化内涵，有时作为装饰物来使用.图1是一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的顶点在球的表面上，则球的半径为（

）

A． B． C． D．2．（2025北京通州高三上期末）如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，先需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为元，则该零部件的防腐处理费用是（

）A．元 B．元C．元 D．元3．（2025北京朝阳高三上期末）沙漏是一种古代计时仪器．如图，某沙漏由上下两个相同圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的，则这些细沙的体积为（

）

A． B． C． D．4．（2025北京东城高三上期末）如图，在棱长为6的正四面体中，以为顶点的圆锥在正四面体的内部（含表面），则该圆锥体积的最大值为（

）

A． B． C． D．5．（2024北京通州高三上期末）如图，已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，其边长为4，在该容器内放置一个圆柱，使得圆柱上底面的所在平面与圆锥底面的所在平面重合.若圆柱的高是圆锥的高的，则圆柱的体积为（

）A． B． C． D．6．（2024北京西城高三上期末）如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，，的高度依次为，则另外三根柱子的高度之和为（

）A．47m B．48m C．49m D．50m7．（2024北京海淀高三上期末）蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱，，，，，均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形，，构成.设，，则上顶的面积为（

）（参考数据：，）A． B． C． D．8．（2023北京通州高三上期末）要制作一个容积为的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，则圆柱的高和底面半径应分别为（

）A．， B．，C．， D．，二、填空题9．（2025北京一六六中高三上期末）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为.

参考答案1．B【分析】根据正四棱柱和正四棱锥的体积之比为可得高相等，根据对称性知球心在高线上，设出球的半径和正四棱柱的高，放在直角三角形中，利用勾股定理列方程，求解即可.【详解】

由题意，正四棱柱和正四棱锥的体积之比为，且共一个底面，所以正四棱柱和正四棱锥的高相等，则设正四棱柱和正四棱锥的高都为，如图所示，根据正四棱柱和一个正四棱锥的对称性可知：球心在高线上，设该几何体外接球的半径为，因为点都在球上，所以，，又，则，且，所以，在直角中，由勾股定理得：，在直角中，，，又点在球上，所以，所以由勾股定理得：，联立，解得，因此，球的半径为.故选：B.2．A【分析】根据棱台的高求出侧面等腰梯形的高，再计算出棱台的表面积，即可求得该零部件的防腐处理费用.【详解】如图所示，，，连接，分别是的中点，连接，取的中点，连接.由题意，在正四棱台中，平面，则，因为分别是的中点，所以，且，又分别是的中点，所以，且，故，则四点共面；因为平面，平面，所以，所以四边形为直角梯形，在直角梯形中，，又点是的中点，所以四边形为矩形，则，且，又，因此，在直角中，，所以在正四棱台中，侧面积，底面积，表面积（平方厘米），又每平方厘米的防腐处理费用为元，所以该零部件的防腐处理费用是（元）.故选：A3．B【分析】根据比例关系结合锥体的体积公式运算求解即可.【详解】由题意可知：这些细沙的体积为.故选：B.4．A【分析】由题意可知当圆锥的底面与相切时，圆锥体积最大，利用圆锥的体积公式和几何关系求解即可.【详解】由题意可知当圆锥的底面与相切时，圆锥体积最大，因为是棱长为6的正四面体，设底面圆半径为，中点为，则，解得，圆锥的高，所以圆锥体积，故选：A5．C【分析】根据题意，作出轴截面图，求出正三角形的高，再结合题意得圆柱的底面半径和高，进而计算体积即可.【详解】根据题意，轴截面如图：在等边三角形中，高，因为圆柱的高是圆锥的高的，所以圆柱的高,又且，所以是的中点，即，于是该圆柱的底面半径为1，高为，则体积为.故选：C.6．A【分析】根据梯形中位线求得，进而求得正确答案.【详解】依题意可知六点共面，设正六边形的中心为，连接，平面且平面，依题意可知相交于，连接交于，连接交于，根据正六边形的性质可知四边形是菱形，所以相互平分，则相互平分，根据梯形中位线有，即，在梯形中，是的中点，则是的中点，所以，同理可得，所以.故选：A【点睛】关键点睛：研究空间图形的结构，关键点在于利用空间平行、垂直、中点等知识.在本题中，柱子与地面垂直，柱子之间相互平行.柱子之间高度不相同，则构成了梯形，则可考虑利用中位线来对问题进行求解.7．D【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解.【详解】由于，所以,连接,取其中点为，连接,所以,由，且多边形为正六边形，所以，由于,所以，故一个菱形的面积为，因此上顶的面积为，故选：D8．C【分析】设圆柱的高为，底面半径为．由，可得，再利用基本不等式即可得出．【详解】解：设圆柱的高为，底面半径为．，．当且仅当，即当时取等