2023-2025北京高三一模数学汇编：概率与统计章节综合（人教B版）

第1页/共1页2023-2025北京高三一模数学汇编概率与统计章节综合（人教B版）一、单选题1．（2024北京石景山高三一模）一袋中有大小相同的个红球和个白球，若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（

）A． B． C． D．二、填空题2．（2023北京门头沟高三一模）同一种产品由甲､乙､丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为0.95､0.90､0.80，甲､乙､丙三家产品数占比例为，将三家产品混合在一起.从中任取一件，求此产品为正品的概率.3．（2023北京丰台高三一模）从，，，，这个数中任取个不同的数，记“两数之积为正数”为事件，“两数均为负数为事件．则．三、解答题4．（2025北京丰台高三一模）京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表：注：以下高铁车次均能准点到达(1)某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时的概率；(2)甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响.（ⅰ）记随机变量为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求的分布列和数学期望；（ⅱ）甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明）5．（2025北京海淀高三一模）某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性．从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如下图所示：日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修．对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）：操作经济损失设备状态保留观察停机更换检查维修完好0105损坏1257假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立．(1)已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；(2)该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修．记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，求的分布列和数学期望；(3)该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况．下面有三种维护这2台设备的操作方案：发热情况操作方案编号发热未发热①检查维修保留观察②停机更换检查维修③停机更换保留观察直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号．6．（2025北京通州高三一模）某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下第一部第二部第三部第四部第五部第六部普通观众评分87.285.484.984.984.783.6专业观众评分88.780.081.677.476.172.2(1)从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率；(2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看.（ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望.（ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明）7．（2025北京东城高三一模）据国家相关部门统计，2023年华东地区、东北地区主要省份的水稻、小麦的播种面积和产量数据见下表：水稻小麦播种面积（千公顷）产量（万吨）播种面积（千公顷）产量（万吨）华东地区江苏省2221.02003.22389.51373.5浙江省649.0485.3152.666.4安徽省2500.71609.82862.71740.7福建省601.1394.60.10.0江西省3383.92070.711.33.5山东省101.086.14008.92673.8东北地区辽宁省500.5412.92.00.8吉林省828.8682.15.01.7黑龙江省3268.52110.019.37.5(1)从表1中的华东地区随机抽取1个省份，求该省水稻产量比小麦产量少的概率；(2)从表1的9个省份中随机抽取2个，设为水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数.求的分布列与数学期望；(3)2023年华东地区、东北地区和华北地区主要粮食作物的播种面积及其采用新技术的播种面积占该作物总播种面积的比值（简称新技术占比率）数据见下表：粮食作物播种面积（千公顷）新技术占比率粮食作物播种面积（千公顷）新技术占比率华东地区水稻9456.70.70小麦9425.10.60东北地区水稻4597.80.55玉米13800.00.65华北地区.小麦3184.50.65玉米9564.70.60记华东地区和东北地区水稻播种总面积的新技术占比率、华东地区和华北地区小麦播种总面积的新技术占比率、东北地区和华北地区玉米播种总面积的新技术占比率分别为.依据表2中的数据比较的大小.（结论不要求证明）8．（2025北京房山高三一模）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入人们的日常生活，在教育领域，赋能潜力巨大.为了解某校学生对某款学习软件的使用情况，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法随机抽取了90名学生，获得数据如下：是否使用该款学习软件男生女生使用40人30人不使用10人10人假设学生是否使用该款学习软件相互独立.用频率估计概率.(1)估计该校学生使用该款学习软件的概率；(2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，记这3人中使用该习软件的人数为，求的分布列和数学期望；(3)从该校所有学生中随机抽取1人，“”表示该生使用该款学习软件，“”表示该生不使用该款学习软件.假设该校一年级有200名男生和180名女生，从除一年级外其他年级学生中随机抽取1人，“”表示该生使用该款学习软件，“”表示该生不使用该款学习软件.的方差分别记为，试比较与的大小（结论不要求证明）.9．（2025北京门头沟高三一模）不同AI大模型各有千秋，适配领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同AI大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：甲学院乙学院使用不使用使用不使用款40人80人60人20人款70人50人30人50人假设所有学生对，两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率，(1)分别估计该校甲学院学生使用款大模型的概率、该校乙学院学生使用款大模型的概率；(2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，估计的数学期望；(3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小，（结论不要求证明）.10．（2025北京西城高三一模）发展纯电动、插电式混合动力等新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路．为调查研究，某地统计了辖区内从年至年这年的新能源汽车和纯电动汽车的销量，得到如下折线图（单位：百辆）：在每一年中，记该年纯电动汽车销量占该年新能源汽车销量的比重为．(1)从年至年这年中随机抽取年，求该年值超过的概率；(2)现从年至年这年中依次随机抽取，每次抽取个年份，若该年的值超过，则停止抽取，否则继续从剩余的年份中抽取，直至抽到值超过的年份．记抽取的次数为，求的分布列和数学期望；(3)记年至年这年新能源汽车销量数据的方差为，且这年纯电动汽车销量数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）11．（2025北京石景山高三一模）某市在高中阶段举办“环保知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动．现从参赛学生中随机抽取了男、女各30名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下：成绩男生人数361182女生人数ab1242(1)在抽取的60名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率；(2)从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；(3)试确定a，b的值，使得抽取的女生成绩方差最小．（结论不要求证明）12．（2025北京顺义高三一模）AI智能阅卷是一种利用人工智能技术对试卷进行批改和评估的技米，它可以帮助教师提高阅卷效率，并为学生提供更快速更有针对性的反馈.某教师尝试使用AI系统进行阅卷，由甲、乙两种系统进行独立阅卷评分.如果两个系统评分相差2分及以下，则以两种系统评分的平均分作为最后得分；如果两个系统评分相差3分及以上，则人工进行复核阅卷并给出最后得分.从两种系统进行阅卷的试卷中随机抽取12份试卷作为样本，其评分情况如下表所示：试卷序号123456789101112系统甲评分828876928766756990588684系统乙评分808276908061716588548280最后得分818576918564746789568483(1)从这12份试卷中随机选取1份，求甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的概率；(2)从这12份试卷中随机选取3份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的份数记为X，求X的分布列和数学期望；(3)从上述的12份试卷中随机抽取1份，设甲系统对其评分为，乙系统对其评分为，最后得分为.令，，试比较方差和的大小.（结论不要求证明）13．（2025北京平谷高三一模）某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，科研团队从某地区（人数众多）随机选取了40位患者和60位非患者，用该试剂盒分别对他们进行了一次检测，结果如下：抽样人群阳性人数阴性人数患者364非患者258(1)试估计使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率；(2)若从该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，求恰有一人检测结果错误的概率；(3)假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.2？并说明理由.14．（2025北京延庆高三一模）在北京延庆，源远流长的传统大集文化依旧焕发着生机.这是一种融合了传统文化与饮食娱乐的民间活动，人们在这里沉浸于这份朴素而直接的欢乐之中.2025年延庆大集的时间和地点信息汇总如下表，根据下表的统计结果，回答以下问题.时间地点周一周二周三周四周五周六周日康庄镇刁千营村√√康庄镇榆林堡村√√康庄镇小丰营村√√延庆镇付余屯村√√延庆镇东小河屯村√√√√√√√香营乡屈家窑村√旧县镇米粮屯村√√旧县镇东羊坊村√永宁镇古城北街√√√√√√√(1)若从周一和周四的大集中各随机选一个大集，求恰好选的都是延庆镇大集的概率；(2)若从周六和周日的大集中随机选3个大集，记X为选延庆镇东小河屯村大集的次数，求X的分布列及期望；(3)从周一到周四这四天的大集中任选2个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，从周五到周日这三天的大集中任选2个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，比较随机变量和随机变量的数学期望的大小.（结论不要求证明）15．（2024北京西城高三一模）10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛.三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下：环数6环7环8环9环10环甲的射击频数11102424乙的射击频数32103015丙的射击频数24101826假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立.(1)若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，并说明理由；(2)若甲、乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；(3)甲、乙、丙各射击10次，用分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于环的次数，其中，写出一个的值，使，并说明理由.16．（2024北京房山高三一模）《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m）（部分摘抄）：项目国际级运动健将运动健将一级运动员二级运动员三级运动员男子跳远8.007.807.306.505.60女子跳远6.656.355.855.204.50在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；丙：5.16，5.65，5.18，5.86．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，(1)估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；(2)设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X的数学期望；(3)在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m）如下表：第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳甲6.506.486.476.516.466.49丙5.845.825.855.835.86a若丙第6次试跳的成绩为a，用分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当时，写出a的值．（结论不要求证明）17．（2024北京朝阳高三一模）为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动.对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分.从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取10篇，这10篇论文的评分情况如下表所示.序号评委甲评分评委乙评分初评得分1678274.528086833617668.547884815708577.56818382784868586874719667771.510648273(1)从这篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的概率；(2)从这篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过的篇数记为，求的分布列及数学期望；(3)对于序号为的论文，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，分别记甲、乙两位评委对这10篇论文评分的平均数为，，标准差为，，以作为序号为的论文的标准化得分.对这10篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名，判断序号为2的论文的两种排名结果是否相同?（结论不要求证明）18．（2024北京海淀高三一模）某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：科普测试成绩x科普过程性积分人数4103a2b12302(1)当时，（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望；(2)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为.若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值.19．（2024北京门头沟高三一模）2024年1月11日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109新线高速公路（简称新高速)全线35坐桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到，预计今年上半年开始通车，通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40分钟。新高速全线设颀主线收费站两处（分别位于安家庄和西台子)和匝道收费站四处(分别位于雁翅、火村、清水和斋堂)。新高速的建成为市民出行带来了很大便利，为此有关部门特意从门头沟某居民小区中随机抽取了200位打算利用新高速出行的居民，对其出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查（问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速的出口)，具体情况如下：（假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）。项目斋堂出口清水出口安家庄出口雁翅出口火村出口西台子出口上班4082532旅游30201010128探亲161010554(1)从被调查的居民中随机选1人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率；(2)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人，从出行旅游的人中随机抽取1人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为，求的分布列和数学期望；(3)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取1人，用“”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速：从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，用“”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速，写出方差的大小关系．(结论不要求证明）．20．（2024北京石景山高三一模）为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据．其中两地区林下灌木层获得数据如表1，表2所示：表1：老山油松人工林林下灌木层植物名称植物类型株数酸枣灌木28荆条灌木41孩儿拳头灌木22河朔荛花灌木4臭椿乔木幼苗1黑枣乔木幼苗1构树乔木幼苗2元宝槭乔木幼苗1表2：妙峰山油松次生林林下灌木层植物名称植物类型株数黄栌乔木幼苗6朴树乔木幼苗7栾树乔木幼苗4鹅耳枥乔木幼苗7葎叶蛇葡萄木质藤本8毛樱桃灌木9三裂绣线菊灌木11胡枝子灌木10大花溲疏灌木10丁香灌木8(1)从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率；(2)以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株（假设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株数为，求的分布列和数学期望；(3)从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为．请直接写出与大小关系．（结论不要求证明）21．（2024北京丰台高三一模）某医学小组为了比较白鼠注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验．将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A，第2组注射药物B．试验结果如下表所示．疱疹面积（单位：）第1组（只）34120第2组（只）13231(1)现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于的概率；(2)从两组皮肤疱疹面积在区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望；(3)用“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内（），写出方差，的大小关系．（结论不要求证明）22．（2023北京海淀高三一模）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下：A组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30B组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.(1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；(2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望；(3)从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明）23．（2023北京门头沟高三一模）周末李梦提出和父亲､母亲､弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据李梦最近分别与父亲､母亲､弟弟比赛的情况，得到如下统计表：父亲母亲弟弟比赛的次数506040李梦获胜的次数103032以上表中的频率作为概率，求解下列问题.(1)如果按照第一场与父亲比赛､第二场与母亲比赛､第三场与弟弟比赛的顺序进行比赛.（i）求李梦连胜三场的概率；（ii）如果李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的分布列与期望；(2)记“与父亲､母亲､弟弟三场比赛中李梦连胜二场”的概率为p，此概率p与父亲，母亲，弟弟出场的顺序是否有关？如果有关，什么样的出场顺序使概率p最大（不必计算）？如果无关，请给出简要说明.24．（2023北京房山高三一模）某社区组织了一次公益讲座.向社区居民普及垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民.让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识向卷.这10位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确率如下表：1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号讲座前讲座后(1)从公益讲座前的10份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份.求这份答卷正确率低于的概率；(2)从正确率不低于的垃圾分类知识答卷中随机抽取3份，记随机变量X为抽中讲座前答卷的个数.求随机变量X的分布列和数学期望；(3)判断此次公益讲座的宣传效果.并说明你的理由.25．（2023北京西城高三一模）根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：立定跳远单项等级高三男生高三女生优秀及以上及以上良好~~及格~~不及格及以下及以下从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）：男生女生假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；(2)从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望；(3)从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明）26．（2023北京朝阳高三一模）某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望；(3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明）27．（2023北京丰台高三一模）交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：TPI不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如下图：(1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；(2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为，求的分布列及数学期望；(3)把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为，将2022年同期TPI依次记为，记，．请直接写出取得最大值时的值．28．（2023北京石景山高三一模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.株高增量（单位：厘米）第1组鸡冠花株数92092第2组鸡冠花株数416164第3组鸡冠花株数1312132假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率；(2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望；(3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明）29．（2023北京平谷高三一模）“绿水青山就是金山银山”，某地区甲乙丙三个林场开展植树工程，2011-2020年的植树成活率（%）统计如下：（表中“/”表示该年末植树）：2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年甲95.59296.591.696.394.6////乙95.191.693.297.895.692.396.6///丙97.095.498.293.594.895.594.593.598.092.5规定：若当年植树成活率大于，则认定该年为优质工程．(1)从乙林场植树的年份中任抽取两年，求这两年都是优质工程的概率；(2)从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，以X表示这3年中优质工程的个数，求X的分布列；(3)若乙丙两个林场每年植树的棵数不变，能否根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小？

参考答案1．B【分析】利用古典概型的概率公式求出，，再由条件概率公式求解即可.【详解】依题意，，所以.故选：B2．0.86【分析】由全概率公式计算所求概率.【详解】由全概率公式，得所求概率.故答案为：.3．/【分析】根据古典概型的概率公式求出，，再由条件概率的概率公式计算可得.【详解】从，，，，这个数中任取个不同的数有种取法，其中满足两数之积为正数的有种取法，满足两数之积为正数且两数均为负数的有种取法，所以，，所以.故答案为：4．(1)(2)（ⅰ）分布列见解析，数学期望为；（ⅱ）甲，理由见解析【分析】（1）利用古典概率求概率公式得到答案；（2）（ⅰ）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列，并求出数学期望；（ⅱ）列车运行时长最短为7小时17分，在上午，分别计算出甲，乙，丙选取此列车的概率，比较后得到结论.【详解】（1）从北京西出发到广州南的高铁车次共7个，运行时长不超过10小时的有4个，超过10小时的有3个，故这趟列车的运行时长不超过10小时的概率为；（2）（ⅰ）上午运行时长不超过10小时的列车有2个，超过10小时的列车有2个，下午运行时长不超过10小时的列车有2个，超过10小时的列车有1个，甲选取的列车中运行时长不超过10小时的概率为，乙选取的列车中运行时长不超过10小时的概率为，丙选取的列车中运行时长不超过10小时的概率为，的可能取值为0,1,2,3，，，，，所以的分布列为0123数学期望为；（ⅱ）甲选取的列车运行时长最短的概率最大，理由如下：列车运行时长最短为7小时17分，在上午，甲选取此列车的概率为，乙选取此列车的概率为0，丙选取此列车的概率为，故甲选取的列车运行时长最短的概率最大.5．(1)；(2)分布列见解析，；(3)①，理由见解析.【分析】（1）根据题意，直接写出即可；（2）求得的取值，进而计算出其对应概率，即可写出分布列，求得数学期望；（3）计算不同方案下总经济损失的数学期望，比较大小，即可判断.【详解】（1）设“一台设备未出现发热情况，设备损坏”为事件，则.（2）依题意，一台设备出现发热情况，设备损坏的概率为，设备正常的概率为；易知，，，，，故的分布列如下所示：10故.（3）使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号为①，理由如下：记采用不同方案，这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，采用方案①：的取值为：，,故采用方案①，总经济损失的期望；采用方案②：的取值为：，,故采用方案②，总经济损失的期望；采用方案③：的取值为：，，故采用方案③：总经济损失的期望.综上，，故采用方案①，可使得总经济损失的期望最小.6．(1)(2)（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ）【分析】（1）运用古典概型概率公式计算；（2）（ⅰ）中求的分布列就是确定的所有可能取值，结合二项分布求每个取值的概率.进而得到分布列和均值；（ⅱ）运用超几何分布求出，与比较即可.【详解】（1）已知事件为“抽到的影片普通观众评分与专业观众评分都低于85分”，题中给出有部影片满足该条件，而影片总数为部.根据古典概型概率公式，所以.（2）（ⅰ）依题意，的可能取值为，，，，.因为每次抽取事件相互独立，且抽到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率为，共抽取次，所以服从参数，的二项分布，即.根据二项分布概率公式可得：，，，，，列出的分布列：.

（ⅱ）确定服从的分布及参数：6部影片中有4部普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片，4名观众任意2名观众不能选看相同影片，所以服从超几何分布，其中，，.求：根据超几何分布的数学期望公式，可得.比较大小：因为，，所以.7．(1)；(2)分布列见解析，；(3).【分析】（1）应用古典概型的概率求法求华东地区随机抽取1个省份，水稻产量比小麦产量少的概率；（2）由题意可能值为，应用超几何分布的概率求法求概率，即得分布列，进而求期望；（3）根据表格分别求出各地区作物新技术占比率，比较大小即可.【详解】（1）由表格，华东地区6省中只有安徽省、山东省的水稻产量比小麦产量少，所以华东地区随机抽取1个省份，水稻产量比小麦产量少的概率；（2）由表格，水稻播种面积最大的5个省依次为江西、黑龙江、安徽、江苏、吉林，其中华东地区有3个，东北地区有2个，若9个省份中随机抽取2个，水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数可能值为，，，，分布列如下，012所以；（3）由表格知，，，所以.8．(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）根据题中数据，90名学生中使用学习软件的共人，即可求出；（2）随机变量的可能取值为，分别计算每个取值的概率，即可得到分布列和数学期望；（3）设从一年级学生中随机抽取1人，该生使用该款学习软件的方差记为，求出一年级学生和该校全体学生中使用该款学习软件的概率，由二项分布的方差计算公式求出，由的大小，即可比较的大小.【详解】（1）根据题中数据，90名学生中使用该款学习软件的共人，所以该校学生使用该款学习软件的概率可估计为.（2）从该校全体男生中随机抽取1人，“他使用该学习软件”记为事件A，从该校全体女生中随机抽取1人，“她使用该学习软件”记为事件，根据题中数据可知：.随机变量的可能取值为.则，，，.所以的分布列为：0123数学期望.（3）设从一年级学生中随机抽取1人，“”表示该生使用该款学习软件，“”表示该生不使用该款学习软件，的方差记为，一年级有200名男生和180名女生，一年级学生使用该学习软件的概率为，则，该校所有学生中使用该款学习的概率为，则，因为，即，所以除一年级外其他年级学生中使用该款学习软件的方差，即.9．(1)(2)(3)【分析】（1）利用古典概型结合表格计算即可；（2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可；（3）利用二项分布的方差公式计算并比较大小即可.【详解】（1）由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为，该校乙学院学生使用款大模型的概率为（2）由题意可知的可能取值为：，则，，，，所以；（3）同第一问，可知该校甲学院学生使用款大模型的概率为,该校乙学院学生使用款大模型的概率为，易知，由二项分布的方差公式可知，，则.10．(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）求出各年的值，利用古典概型概率公式求结论；（2）确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望；（3）先求新能源汽车销量数据的平均数，纯电动汽车销量数据的平均数，再求两组数据的方差，比较大小即可.【详解】（1）设从年至年这年中随机抽取1年，且该年的值超过为事件，由图表知，年的值为，年的值为，年的值为，年的值为，年的值为，年的值为，年的值为，年的值为，所以在年至年这年中，有且仅有年至年这年的值超过，所以．（2）由图表知，在年至年这年中，值超过的有年，所以随机变量的所有可能取值为，，．则，，．所以的分布列为：故的数学期望．（3）从年至年这年新能源汽车销量数据的平均数为，所以从年至年这年新能源汽车销量数据的方差，所以从年至年这年纯电动汽车销量数据的平均数为，从年至年这年纯电动汽车销量数据的方差，所以，所以.11．(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）先确定成绩在80分及以上的男、女生人数，再利用组合数计算从这些学生中随机抽取2人，恰好男、女生各1人且分数段不同的概率，用到古典概型的概率公式；（2）先求出从男生中随机抽取1人成绩在80分及以上的概率，判断随机变量X服从二项分布，然后根据二项分布的概率公式求出分布列，再根据期望公式求出数学期望；（3）根据方差的性质，数据越集中方差越小，确定a，b的值.【详解】（1）确定成绩在80分及以上的学生人数，男生中成绩在的有8人，在的有2人，共人；女生中成绩在的有4人，在的有2人，共人.所以成绩在80分及以上的学生共有人.从这16人中随机抽取2人的总组合数为种.要满足恰好男、女生各1人且分数段不同，分两种情况：男生从选，女生从选，有种选法.男生从选，女生从选，有种选法.所以满足条件的选法共有种.根据古典概型概率公式所求概率.（2）从男生中随机抽取1人，成绩在80分及以上的概率为.从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X，因为每次抽取是相互独立的，且概率相同，所以X服从参数为，的二项分布，即.根据二项分布的概率公式，可得：.....所以X的分布列为：X01234P根据二项分布的数学期望公式，可得.（3）因为抽取的女生共30人，所以，即.当数据越集中时方差越小，所以当时，抽取的女生成绩方差最小.12．(1)(2)分布列见解析，1(3)【分析】（1）由古典概型概率公式即可求解；（2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解；（3）由方差计算公式即可求解；【详解】（1）设事件为从这12篇份试卷中随机抽取1份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分，又在这12篇份试卷中，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的有篇，所以；（2）由已知的可能取值为，，，3，，所以的分布列为所以的数学期望为；（3），证明如下：的取值依次为：1，3，0，1，2，2，1，2，1，2，2，1，平均数为：，的取值依次为：1，3，0，1，5，3，3，2，1，2，2，3，平均数为：，所以.13．(1)0.94(2)(3)超过，理由见解析【分析】（1）由古典概型概率计算公式求解即可；（2）设事件：患者检测结果正确，事件：非患者检测结果正确“，事件：该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误，由求解即可；（3）求得检测一次结果为阳性的人数，确定其中患者人数，即可判断；【详解】（1）由题意知，使用该试剂盒进行一次检测共有100人，其中检测结果正确的共有94人，所以使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率估计为.（2）设事件：患者检测结果正确，事件：非患者检测结果正确“，事件：该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误；根据题中数据，可估计为可估计为该地区的患者中抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误的概率为该地区的非患者中抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误的概率为所以，所以.因此恰有一人检测结果错误的概率为（3）此人患该疾病的概率超过0.2.理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为，其中患者人数为900.若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为.14．(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式得解；（2）求出随机变量的概率，列出分布列，求期望即可；（3）分别计算两个随机变量的期望，即可得解.【详解】（1）记“周一和周四的大集中各随机选一次大集，恰好选的都是延庆镇大集”为事件A，由表可知，周一选一次大集，恰好选的是延庆镇大集的概率为,周四选一次大集，恰好选的是延庆镇大集的概率为，所以.（2）随机变量的所有可能取值为，根据题意，，，随机变量的分布列是:012数学期望（3）由题意，可能取值为，，，，故；由题意，可能取值为，，，，故，所以.15．(1)甲进入决赛，理由见解析(2)(3)答案见解析【分析】（1）分别计算出丙射击成绩和甲射击成绩，比较大小即可判断.（2）根据题中数据，用频率估计概率分别得出甲、乙命中9环的概率和甲、乙命中10环的概率，再根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的乘法公式求解即可.（3）根据题意服从二项分布，利用二项分布方差公式求出每一个a对应的，即可解答.【详解】（1）甲进入决赛，理由如下：丙射击成绩的总环数为，甲射击成绩的总环数为，因为，所以用样本来估计总体可得甲进入决赛.（2）根据题中数据：“甲命中9环”的概率可估计为，“甲命中10环”的概率可估计为，“乙命中9环”的概率可估计为，“乙命中10环”的概率可估计为，所以估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率为.（3）或（写出其中一个即可）.根据题中数据：当时，在每次射击中，甲击中大于6环的概率为，在每次射击中，乙击中大于6环的概率为，在每次射击中，丙击中大于6环的概率为，由题意可知，，，此时，，，不满足．当时，在每次射击中，甲击中大于7环的概率为，在每次射击中，乙击中大于7环的概率为，在每次射击中，丙击中大于7环的概率为，由题意可知，，，此时，，，满足．当时，在每次射击中，甲击中大于8环的概率为，在每次射击中，乙击中大于8环的概率为，在每次射击中，丙击中大于8环的概率为，由题意可知，，，此时，，满足．当时，在每次射击中，甲击中大于9环的概率为，在每次射击中，乙击中大于9环的概率为，在每次射击中，丙击中大于9环的概率为，由题意可知，，，此时，，，不满足.16．(1)(2)(3)或.【分析】（1）由已知数据计算频率，用频率估计概率；（2）由X的取值，计算相应的概率，由公式计算数学期望；（3）当两人成绩满足的模型，方差相等.【详解】（1）甲以往的10次比赛成绩中，有4次达到国家二级及二级以上运动员标准，用频率估计概率，估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率为；（2）设甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员分别为事件，以往的比赛成绩中，用频率估计概率，有，，，X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，则X可能的取值为0，1，2，3，，，，，估计X的数学期望；（3）甲的6次试跳成绩从小到大排列为：，设这6次试跳成绩依次从小到大为，丙的5次试跳成绩从小到大排列为：，设丙的6次试跳成绩从小到大排列依次为，当时，满足，成立；当时，满足，成立.所以或.17．(1)(2)分布列见解析，(3)相同【分析】（1）直接利用古典概型的公式求解即可；（2）的可能取值为，，，利用超几何分布分别求出概率，然后再求期望即可；（3）计算序号为2的论文和序号为3的论文的标准化得分的排名即可.【详解】（1）设事件为从这10篇论文中随机抽取1篇，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过，又在这10篇论文中，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过的有篇，所以；（2）由已知的可能取值为，，，，，所以的分布列为所以的数学期望为；（3）根据数据序号为2的论文初评得分排名为第，由已知，，明显序号为7的论文甲乙两评委评分均最高，故初评得分排名为第，标准化得分排名仍然为第，现在就看初评得分排名为第的序号为的论文其标准化得分排名是否会发生变化，根据表中数据观察可得评委甲的评分波动大，故，所以，即，所以序号为2的论文标准化得分排名为第，所以序号为2的论文的两种排名结果相同.18．(1)（i）；（ⅱ）；(2)7.【分析】（1）（i）求出科普过程性积分不少于3分的学生数，再求出频率，并用频率估计概率即得；（ⅱ）求出X的所有可能值，由（i）的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率，再求出期望即得.（2）求出的最大值，再求出100名学生科普测试成绩的平均值的最小值，由题设信息列出不等式求解即得.【详解】（1）当时，（i）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为，则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为，所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为.（ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为，所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为，同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为，的所有可能值为6，7，8，，，，所以的数学期望.（2）由表知，，则，从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，则的最大值为69，100名学生科普测试成绩的平均值记为，要恒成立，当且仅当，显然的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，因此，则，解得，所以根据表中信息能推断恒成立的a的最小值是7.19．(1)(2)见详解(3)【分析】（1）根据古典概型在清水出口下高速的人数比总样本数即可得到概论。（2）由题意，随机变量的所有可能为0，1，2，3，分别求出概率，即可求出分布列，利用期望公式求出期望。（3）通过对，方差的估算，即可得出。【详解】（1）解：样本中被调查的居民人数为200，其中利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的人数为10，所以该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率为：，（2）解：从样本中所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取1人，此人从斋堂出口下高速的概率为；从样本中所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，此人从斋堂出口下高速的概率为，由题设，的所有可能取值为0，1，2，3.,，，，所以随机变量X的分布列为：0123所以X的数学期望.（3）解：20．(1)；(2)分布列见解析，期望(3)【分析】（1）根据古典概型概率公式，以及组合数公式，即可求解；（2）根据二项分布概率公式，即可求解；（3）根据两个表格中的植物类型分布的数据，即可求解.【详解】（1）表1中的灌木有株，乔木幼苗有株，共有100株，所以，所以求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率为；（2）表2中的灌木有株，乔木幼苗有株，木质藤本有8株，抽取1株是灌木的概率为，由题意可知，,，，，，分布列如下，0123；（3）表1中植物间的数量差距较大，表2中每种植物的数量差不多，所以选出来不同种类，表2的概率更大，所以.21．(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）根据古典概型的概率公式及相互独立事件的概率公式计算可得；（2）依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；（3）分别求出，，，，从而求出、，即可比较.【详解】（1）记被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于为事件，其中从第1组中选出的只白鼠皮肤疱疹面积小于的概率为，从第组中选出的只白鼠皮肤疱疹面积小于的概率为，所以.（2）依题意的可能取值为、、，且，，，所以的分布列为：所以.（3）依题意可得，，所以，所以，又，，所以，所以，所以.22．(1)(2)(3)【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；（2）由题可知，X的可能取值为0，1，2，再分别求出对应的概率，由期望公式即可求出；（3）根据方差公式计算可知，．【详解】（1）设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件，在组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则.（2）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，可知：X的可能取值为0，1，2，则有：，，，所以．（3）依题可知，，的可能取值为0，1，2，且，服从超几何分布，，，，，，，因为，，可得，，所以．23．(1)（i）；（ii）答案见解析(2)有关，出场顺序为妈妈弟弟爸爸或爸爸弟弟妈妈【分析】（1）李梦获胜的概率分别为，，，计算即可，的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.（2）出场顺序共有6种，分别计算概率，比较大小即可.【详解】（1）李梦与爸爸比